第一章

習(xí)題8.將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式:2)-1;解解解1)i;解第1頁(yè)1.2.當(dāng)x,y等于什么實(shí)數(shù)時(shí),等式求下列復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部,共軛復(fù)數(shù),模與輻角:

解或(k=0,±1,±2,…)成立?解由立得x+1=2,y-3=8,故x=1,y=11.第2頁(yè)9.將下列坐標(biāo)變換公式寫成復(fù)數(shù)形式:1)平移公式2)旋轉(zhuǎn)公式解1)x+iy=(x1+a1)+i(y1+b1)=x1+iy1+a1+ib1令z=x+iy,z1=x1+iy1,A=a1+ib1,則平移公式為z=z1+A.xyo(z)x1y1A(z1)x1y1xya1b12)x+iy=(x1+iy1)cos+(ix1-y1)sin=(x1+iy1)cos+i(x1+iy1)sin令z=x+iy,z1=x1+iy1,則旋轉(zhuǎn)公式為z=z1(cos+isin)=z1ei=(x1+iy1)(cos

+isin

)xyo(z)x1y1(z1)

x1

xyy1第3頁(yè)11.證明|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+

|z2|2)并說(shuō)明其幾何意義.證法一:|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+

|z2|2)法二:由p8例2.2)已證明由p4例3兩式相加立得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+

|z2|2)其幾何意義是:平行四邊形兩對(duì)角線平方和等于各邊平方和.oxyz1+z2

z1

z2

z1-z2

第4頁(yè)14.求下列各式值:2)(1+i)6;解4)(1-i)1/3;解(k=0,1,2)第5頁(yè)16.1)21.求方程z3+8=0所有根.解(k=0,1,2)指出下列各題中點(diǎn)z軌跡或所在范圍,并作圖:2)|z+2i|1;解代入z=x+iy得|x+i(y+2)|1,故

x2+(y+2)2

1.因此,|z+2i|1表達(dá)到點(diǎn)-2i距離大于或等于1點(diǎn)軌跡,這是以-2i為中心,半徑為1圓周及其外部區(qū)域.xyo1-2iz2+2iz-41第6頁(yè)解代入z=x+iy得故y=3,這是過(guò)虛軸上點(diǎn)3i與實(shí)軸平行直線.y=3

oyx3i解由|z-3||z-2|代入z=x+iy得|(x-3)+iy||(x-2)+iy|即(x-3)2+y2(x-2)2+y2,解出x5/2.這是實(shí)軸上點(diǎn)2和3連線垂直平分線及其左半平面.x=5/2

oyx2310)arg(z–i)=/4;解代入z=x+iy得z-i=x+(y-1)i,即y=x+1(x>0),這是以虛軸上點(diǎn)i為起點(diǎn),與x軸正向夾角為/4射線.y=x+1

oyxi/4第7頁(yè)22.描出下列不等式所確定區(qū)域或閉區(qū)域,并指明它是有界還是無(wú)界,單連通還是多連通:2)|z-1|>4;解代入z=x+iy得(x-1)2+y2>16這是以1為中心,半徑為4圓周外部區(qū)域(不包括圓周),xyo14是無(wú)界多連通域.4)2|z|3;解代入z=x+iy這是以原點(diǎn)為中心,半徑為2和3圓周之間圓環(huán)域(包括兩圓周),xyo23是有界多連通域.6)–1<argz<-1+;解這是射線=-1和=-1+之間角形域(不包括兩射線),為半平面,是無(wú)界單連通域.8)|z-2|+|z+2|6;解代入z=x+iy得這是橢圓及其內(nèi)部閉區(qū)域(包括橢圓周),是有界單連通域.xy3得22

x2+y232;xyo-1-1+

第8頁(yè)23.證明復(fù)平面上直線方程可寫成:(其中0為復(fù)常數(shù),c為實(shí)常數(shù)).證(1)由復(fù)數(shù)方程推出直角坐標(biāo)系方程:設(shè)復(fù)常數(shù)=b+di,而z=x+yi,代入復(fù)數(shù)方程得(b+di)(x-yi)+(b-di)(x+yi)=cbx+dy+i(dx-by)+bx+dy-i(dx-by)=c從而有2bx+2dy=c.(2)由直角坐標(biāo)系方程推出復(fù)數(shù)方程:設(shè)直角坐標(biāo)系直線方程為Ax+By=C,其中A,B,C為實(shí)常數(shù).代入若令C=c,則有第9頁(yè)24.證明復(fù)平面上圓周方程可寫成:(其中

0為復(fù)常數(shù),c為實(shí)常數(shù)).證(1)由復(fù)數(shù)方程推出直角坐標(biāo)系方程:設(shè)復(fù)常數(shù)=b+di,而z=x+yi,代入復(fù)數(shù)方程x2+y2+2bx+2dy+c=0從而有(x+b)2+(y+d)2=b2+d2-c.(2)由直角坐標(biāo)系方程推出復(fù)數(shù)方程:設(shè)直角坐標(biāo)系圓周方程為x2+y2+Ax+By=C,其中A,B,C為實(shí)常數(shù).代入若令C=-c,則有利用23題成果得第10頁(yè)26.函數(shù)把下列z平面上曲線映射成w平面上如何曲線?1)x2+y2=4

;解令z=x+yi,w=u+vi代入由此得法一:這是z平面上以原點(diǎn)為中心,半徑為2圓周.即這是w平面上以原點(diǎn)為中心,半徑為1/2圓周.法二:|z|=2代入,立得|w|=1/2.2)y=x.這是z平面上一,三象限角平分線.即u=-v,這是w平面上二,四象限角平分線.xy2uv1/2xyuv第11頁(yè)27.已知映射w=z3,求:1)點(diǎn)z1=i,z2=1+i,z3=3+i在w平面上象.解w1=z13=i3=-i,w2

z2

xyuv(z)(w)w1

z1w2=z23=(1+i)3=1+3i+3i2+i3=1+3i-3-i=-2+2iz3w32)區(qū)域0<argz<

/3在w平面上象.解由于argw=3argz,區(qū)域0<argz<

/3在w平面上象滿足0<argw<,即w平面上上半平面.xyuv(z)(w)第12頁(yè)30.31.設(shè)證明f(z)在z0某一去心鄰域內(nèi)是有界,即存在一種實(shí)常數(shù)M>0,使在z0某一去心鄰域內(nèi)有|f(z)|M.證對(duì)于任意給定>0,存在>0,當(dāng)0<|z-z0|<時(shí),有|f(z)-A|<.由于|f(z)|-|A||f(z)-A|,故|f(z)|-|A|<,從而有|f(z)|<|A|+,任取實(shí)常數(shù)M|A|+>0,則在z0某一去心鄰