第九章重積分一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分二重積分定義及計(jì)算三重積分定義及計(jì)算重積分應(yīng)用1第1頁一、二重積分定義及計(jì)算1.定義:將區(qū)域D

任意提成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一種常數(shù)I,使可積,在D上二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分體現(xiàn)式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上有界函數(shù),則稱稱為積分變量2第2頁說明：表達(dá)一種確定數(shù)值，它只與有關(guān)，與D分割法、取法、積分變量所使用字母無關(guān)，即(1)(2)當(dāng)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，定義中和式極限必存在，即二重積分必存在.(3)底為D，頂為曲頂柱體體積為：平面薄片質(zhì)量為：3第3頁（4）二重積分幾何意義即當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)不大于零時(shí)，二重積分二重積分是柱體體積．特殊地：若在D上,則D面積是柱體體積負(fù)值.？4第4頁則面積元素為：D（5）直角坐標(biāo)系下面積元素假如在D上可積,也常二重積分記作：這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸直線來劃記作：？5第5頁性質(zhì)１(k為常數(shù))性質(zhì)２(二重積分與定積分有類似性質(zhì))2.二重積分性質(zhì)性質(zhì)３性質(zhì)４若為D面積，性質(zhì)５若在D上則有6第6頁性質(zhì)6（二重積分中值定理）(二重積分估值不等式)設(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上最大值和最小值，為D面積，則性質(zhì)7設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，為D面積，則在D上最少存在一點(diǎn)使得7第7頁例1.設(shè)D是第二象限一種有界閉域,且0<y<1,則大小次序?yàn)?)

提醒:因0<y<1,故故在D上有:8第8頁3.利用積分區(qū)域?qū)ΨQ性和被積函數(shù)奇偶性簡(jiǎn)化計(jì)算二重積分.9第9頁注意:10第10頁例2.(2023)解:由輪換對(duì)稱性，有11第11頁4.二重積分在直角坐標(biāo)下計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）［Y－型］［X－型］★假如積分區(qū)域?yàn)椋骸锛偃绶e分區(qū)域?yàn)椋和庀薅ㄏ揶k法------投影法內(nèi)限定限辦法--平行線穿越法12第12頁5.二重積分在極坐標(biāo)系下計(jì)算公式13第13頁說明：(1)何時(shí)用極坐標(biāo)？(2)應(yīng)掌握化極坐標(biāo)系下二重積分為二次積分.定限辦法----射線穿越法：14第14頁6.計(jì)算二重積分步驟及注意事項(xiàng)?畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便區(qū)域邊界應(yīng)盡可能多為坐標(biāo)線.被積函數(shù)有關(guān)坐標(biāo)變量易分離.積分域分塊要少.累次積分好算為妙(首先內(nèi)積分易積).(充足利用對(duì)稱性，幾何意義和性質(zhì)等)“平行線穿越法”“射線穿越法”15第15頁解:例3.如圖則xyo1116第16頁例4.計(jì)算其中D是由所圍區(qū)域.解:xyox=y+2(4,2)(1,-1)-12區(qū)域D圖形如右陰影部分，解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),(4,2),則D：于是17第17頁解:直接用對(duì)稱性.xoy-111y=x18第18頁例6.計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域?yàn)?1解:如圖，記于是19第19頁例7.計(jì)算二重積分其中D是由曲線所圍成平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域形心坐標(biāo)xoy-1220第20頁例8.

如圖所示交換下列二次積分次序:解:變化積分次序一般步驟：(1)由二次積分將區(qū)域D用不等式組表達(dá);(2)由上面不等式組作出D圖形；(3)改寫成另一形式即可.21第21頁例9.將表達(dá)為極坐標(biāo)下累次積分解:在極坐標(biāo)系下,Ｄ可表達(dá)為：于是原式22第22頁例10.設(shè)f(x)連續(xù),則等于2023Ｄ可表達(dá)為：解:23第23頁二、三重積分定義及計(jì)算說明：(1)叫體積元素.(3)在直角坐標(biāo)系中：于是，三重積分記為：其中叫做直角坐標(biāo)系中體積元素.24第24頁可推廣到三重積分上面.二重積分有關(guān)術(shù)語及性質(zhì)，25第25頁1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

辦法1、“先一后二”辦法2、“先二后一”又叫“投影法”又叫“截面法”26第26頁定限辦法：1.將空間閉(積分)區(qū)域投影到xoy面上，得投影區(qū)域Dxy;射線穿越閉區(qū)域若入口面方程為出口面方程為則z范圍為：“投影法”2.在投影區(qū)域Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y),過該點(diǎn)作平行于z軸3.寫出三重積分累次積分形式注意:27第27頁外限定限辦法------投影法內(nèi)限定限辦法---平行線穿越法28第28頁截面法定限辦法:xyzo

z29第29頁2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

要求：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)關(guān)系為:設(shè)Ｍ(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)Ｍ在xoy面上投影Ｐ極坐標(biāo)為則叫點(diǎn)Ｍ柱面坐標(biāo).(1)柱面坐標(biāo)定義：圓柱面；半平面；平面．=常數(shù)=常數(shù)=常數(shù)坐標(biāo)面分別為:30第30頁在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此事實(shí)上就是把“先一后二”中“二”用極坐標(biāo)計(jì)算.適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表達(dá)時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表達(dá)時(shí)變量互相分離.31第31頁3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系:坐標(biāo)面分別為:球面半平面錐面常數(shù)常數(shù)常數(shù)(1)球面坐標(biāo)定義：32第32頁在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有注意：球面坐標(biāo)適用范圍:

積分域表面用球面坐標(biāo)表達(dá)時(shí)方程簡(jiǎn)單;

被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表達(dá)時(shí)變量互相分離.33第33頁例1.xoyx+y=111D計(jì)算三重積分，其中為三個(gè)坐標(biāo)面所圍成閉區(qū)域.及平面解:34第34頁例2.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分其中

解:(1)畫圖(2)確定

z，ρ，

上下限將向xoy面投影，得用極坐標(biāo)表達(dá)為過(ρ,

)∈D做平行于z軸直線,得35第35頁即于是另解用截面法：36第36頁結(jié)論1補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算37第37頁假如積分區(qū)域有關(guān)平面對(duì)稱（輪換對(duì)稱性）尤其地則注：有關(guān)對(duì)稱，即交換，保持不變.結(jié)論238第38頁例3.解:利用對(duì)稱性39第39頁例4.設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算解:（利用對(duì)稱性）（用球坐標(biāo)）40第40頁三、重積分應(yīng)用問題：滿足什么條件量可用重積分處理？1.能用重積分處理實(shí)際問題特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性分布在有界閉域上整體量2.用重積分處理問題辦法-----元素法41第41頁元素法步驟：把定積分元素法推廣到二重積分應(yīng)用中.42第42頁1.幾何方面：（1）面積平面域D面積曲面面積公式設(shè)光滑曲面（2）立體體積曲頂柱體頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

立體體積為43第43頁解:xoyxzy=？44第44頁xoy面積為45第45頁例2.求半徑為a球面與半頂角為

內(nèi)接錐面所圍成立體體積.解:

在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為46第46頁質(zhì)量,質(zhì)心,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,引力2.物理方面：47第47頁則得：則薄片質(zhì)心坐標(biāo)為：48第48頁例3.解:49第49頁古魯金第二定理：平面有界閉區(qū)域D繞該平面內(nèi)不與它相交直線旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體，其體積等于D面積與D形心坐標(biāo)所劃出圓周之長(zhǎng)乘積.證明：用元素法如圖，取D繞x軸旋轉(zhuǎn)，取一種小區(qū)域旋轉(zhuǎn)體體積為：由于D形心坐標(biāo)為：故50第50頁(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.51