第第頁(yè)【解析】2023年浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)4.5相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用同步測(cè)試（培優(yōu)版）登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

2023年浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)4.5相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用同步測(cè)試（培優(yōu)版）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2023九上·金山期末）一個(gè)三角形框架模型的三邊長(zhǎng)分別為20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根長(zhǎng)為60厘米的木條為一邊，做一個(gè)與模型三角形相似的三角形，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度不符合條件的是（）

A．30厘米、45厘米；B．40厘米、80厘米；

C．80厘米、120厘米；D．90厘米、120厘米

2．（2022九上·江城期末）如圖，小紅利用小孔成像原理制作了一個(gè)成像裝置，他在距離紙筒處準(zhǔn)備了一支蠟燭，蠟燭長(zhǎng)為，紙筒的長(zhǎng)度為，則這支蠟燭所成像的高度為（）

A．B．C．D．

3．（2023九上·寧波月考）如圖是一個(gè)由A、B、C三種相似的直角三角形紙片拼成的矩形，A、B、C的紙片的面積分別為S1、S2、S3，（S1與S2，S2與S3的相似比相同），相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，若S1＞S2＞S3，則這個(gè)矩形的面積一定可以表示為（）

A．4S1B．6S2C．4S2+3S3D．3S1+4S3

4．（2023九上·南昌期末）如圖，在矩形中，，分別為，的中點(diǎn)，線段，與對(duì)角線分別交于點(diǎn).設(shè)矩形的面積為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．B．

C．D．

5．（2023九上·杭州月考）如圖，是的重心，過(guò)的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與的頂點(diǎn)重合），，分別表示四邊形和的面積，則的最大值是（）

A．B．1C．D．

6．（2023九上·拱墅期中）如圖，H是△ABC的重心，延長(zhǎng)AH交BC于D，延長(zhǎng)BH交AC于M，E是DC上一點(diǎn)，且DE∶EC＝5∶2，連結(jié)AE交BM于G，則BH∶HG∶GM等于（）

A．7∶5∶2B．13∶5∶2C．5∶3∶1D．26∶10∶3

7．（2023九上·寧波期末）如圖，，，，分別是矩形四條邊上的點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，且，，矩形矩形，連接交，于點(diǎn)，，下列一定能求出面積的條件是（）

A．矩形和矩形的面積之差

B．矩形與矩形的面積之差

C．矩形和矩形的面積之差

D．矩形和矩形的面積之差

8．（2022九上·南山期末）如圖，在矩形中，過(guò)點(diǎn)作對(duì)角線的垂線并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，連接，且，則下列結(jié)論正確的有（）個(gè)：①；②；③；④

A．1B．2C．3D．4

9．（2022九上·電白期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且．過(guò)點(diǎn)B作，交邊CD于點(diǎn)F．以C為圓心，CF長(zhǎng)為半徑畫圓，交邊BC于點(diǎn)G，連接DG，交BF于點(diǎn)H．則（）

A．10：3B．3：1C．8：3D．5：3

10．（2022九上·瑞安期中）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．點(diǎn)P，Q分別為AB，GH的中點(diǎn)，若PQ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，則的值為（）

A．B．3C．D．4

二、填空題（每空3分，共18分）

11．（2023九上·慈溪月考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若BD=6，AE=5，AB=7，則AC=.

12．（2023九上·蕭山期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，作交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)O，以O(shè)A為半徑作⊙O恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并交直線DE于點(diǎn)M，N則MN的值為．

13．（2023九上·秦淮期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），若過(guò)點(diǎn)D的直線截得的三角形與△ABC相似，并且平分△ABC的周長(zhǎng)，則AD的長(zhǎng)為．

14．（2023九上·通川期中）如圖，為的邊上的點(diǎn)、且，中線被截得的三線段為，則

15．（2023九上·富陽(yáng)期末）如圖，面積為4的正方形中，分別是各邊的中點(diǎn)，將一邊兩端點(diǎn)分別和對(duì)邊中點(diǎn)連結(jié)，所得陰影部分為各邊相等的八邊形，則八邊形每條邊的長(zhǎng)度是.

16．（2023九上·溫州期末）某戶外遮陽(yáng)棚如圖1，其截面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.支撐柱AB上地面，AB=120cm，Р是支撐柱AB上一動(dòng)點(diǎn)，傘桿CP可繞著中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，CD=CP=40cm，斜拉桿AE可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AE=CP．若∠APE=30°，則BP=cm；傘展開長(zhǎng)PD==300cm，若A，C，D在同一條直線上，某時(shí)太陽(yáng)光線恰好與地面垂直，則PD落到地面的陰影長(zhǎng)為cm.

三、解答題（共9題，共72分）

17．（2022九上·濟(jì)南期末）如圖1，長(zhǎng)、寬均為3cm，高為8cm的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6cm，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，將這個(gè)情景轉(zhuǎn)化成幾何圖形，如圖3所示．

（1）利用圖1、圖2所示水的體積相等，求的長(zhǎng)；

（2）求水面高度．

18．（2022九上·大安期末）學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)知識(shí)后，小明和同學(xué)們想利用“標(biāo)桿”測(cè)量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點(diǎn)F處，他的同學(xué)在點(diǎn)B處豎立“標(biāo)桿”，使得小明的頭頂點(diǎn)E、桿頂點(diǎn)A、樓頂點(diǎn)C在一條直線上（點(diǎn)F、B、D也在一條直線上）．已知小明的身高米，“標(biāo)桿”米，又米，米．

（1）求大樓的高度為多少米（垂直地面）？

（2）小明站在原來(lái)的位置，同學(xué)們通過(guò)移動(dòng)標(biāo)桿，可以用同樣的方法測(cè)得樓上點(diǎn)G的高度米，那么相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)米.

19．（2022九上·臨汾期中）如圖為幸福小區(qū)入口處安裝的汽車出入道閘示意圖．如圖1，道閘關(guān)閉時(shí)，四邊形是矩形．如圖2，在道閘打開的過(guò)程中，邊固定，直線l，連桿、分別繞點(diǎn)A、D轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊始終與邊平行，P為上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），過(guò)點(diǎn)P作直線l，，垂足分別為E，F(xiàn)，即四邊形是矩形，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為Q，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)R．

（1）與相似嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．

（2）若道閘長(zhǎng)米，寬米，點(diǎn)D距地面米，米，米，米．

①求點(diǎn)B到地面l的距離；

②求的長(zhǎng)．

20．（2022九上·鎮(zhèn)海區(qū)開學(xué)考）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在直線上方的拋物線是有一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

21．（2023九上·寧波期中）我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”.

（1）概念理解：

如圖1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，試判斷△ABC是否是“等高底”三角形.（填“是”或“否”）

（2）問(wèn)題探究：

如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得到△A'BC，連接AA'交直線BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)B是△AA′C的重心，求的值.

（3）應(yīng)用拓展：

如圖3，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，有一邊的長(zhǎng)是BC的倍.將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B′C，A′C所在直線交l2于點(diǎn)D，直接寫出CD的值.

22．（2023九上·永嘉期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且，連接，當(dāng)直線交x軸正半軸于點(diǎn)L，交y軸于點(diǎn)V時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線交線段于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)G作交線段于點(diǎn)Q，的平分線交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)R，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

23．（2023九上·海曙期末）如圖：

（1）[基礎(chǔ)鞏固]如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，求證：；

（2）[嘗試應(yīng)用]如圖2，四邊形為平行四邊形，F(xiàn)在邊上，，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，連接、、，若，求的長(zhǎng)；

（3）[拓展提高]如圖3，E是內(nèi)部一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連接，已知，，求的值.

24．（2023九上·余姚期末）如圖

（1）[基礎(chǔ)鞏固]如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，求證：AC2=AD·AB．

（2）[嘗試應(yīng)用]如圖②，在矩形ABCD中，AD=2，點(diǎn)F在AB上，F(xiàn)B=2AF，DF⊥AC于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)．

（3）[拓展提高]如圖③，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，NDCE與NDFE關(guān)于直線DE對(duì)稱，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)F在邊AB上，G為AD中點(diǎn)，連結(jié)GC交DF于點(diǎn)M，GC∥FE，若AD=2，求GM的長(zhǎng)．

25．（2023九上·鎮(zhèn)海區(qū)期末）

（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，在中，E是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作的平行線交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)G，求證：；

（2）【嘗試應(yīng)用】

如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，，若，、恰好將三等分，求的值；

（3）【拓展延伸】

如圖3，在等邊中，，連結(jié)，點(diǎn)E在上，若，求的值.

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)60cm的木條與20cm是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度分別為90cm與120cm；

當(dāng)60cm的木條與30cm是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度分別為40cm與80cm；

當(dāng)60cm的木條與40cm是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度分別為30cm與45cm；

所以A、B、D選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)符合題意，

故答案為：C.

【分析】討論：若20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為60厘米、x厘米、y厘米；

若20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為x厘米、60厘米、y厘米，；

若20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為x厘米、y厘米、60厘米，然后利用比例的性質(zhì)分別計(jì)算出各組對(duì)應(yīng)值即可．

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，

∵，，

∴，，

∴，

∵，，，

∴，

解得：．

答：這支蠟燭所成像的高度為．

故答案為：B．

【分析】過(guò)點(diǎn)O作，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，先證明，可得，再將數(shù)據(jù)代入可得，最后求出即可。

3．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意，A、B、C三個(gè)直角三角形相似，A與B，B與C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，

∴如圖，設(shè)相似比為k，EF=m，則MK=GH=mk，F(xiàn)H=mk2，

∴EH=EF+FH=m(1+k2)，

∴FM==，F(xiàn)K=kEH=km(1+k2)，

由FK+MK=FM得：km(1+k2)+mk=，

∴k4+k2－1=0，

解得：或（舍去），

∴S2=k2S1=S1，S3=k2S2=k4S1=，

∴S2+S3=S1，

∴矩形面積等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.

故答案為：A.

【分析】對(duì)圖形進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，設(shè)相似比為k，EF=m，則MK=GH=mk，F(xiàn)H=mk2，EH=m(1+k2)，F(xiàn)M=，F(xiàn)K=km(1+k2)，根據(jù)FK+MK=FM可求出k2，根據(jù)S2=k2S1，S3=k2S2=k4S1分別表示出S2、S3，據(jù)此解答.

4．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】①四邊形ABCD是矩形

點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

A不符合題意；

②

同理得：

B不符合題意

③

設(shè)則

同理可得：

C不符合題意；

④由③可知：

D符合題意；

故答案為：D．

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和面積公式進(jìn)行計(jì)算求解即可。

5．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）；三角形的重心及應(yīng)用

【解析】【解答】解：過(guò)O作MN∥BC交AB于N，交AC于M，過(guò)M作ME∥AB交GH于E

∵O是△ABC的重心，

∴，D是BC中點(diǎn)

∴BD=CD，

∵M(jìn)N∥BC

∴

∴，

∴

∵M(jìn)E∥AB

∴

∴

∴

設(shè)

∴

∴

∴

∵x為定值

∴當(dāng)y越小時(shí)值越大

∴當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)GH∥BC

故答案為：A.

【分析】過(guò)O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，過(guò)M作ME∥AB交GH于E，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得BD=CD，，證得，利用AAS證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得，設(shè)可得故=，，即得，由于x為定值，當(dāng)y越小時(shí)比值越大，可得當(dāng)y=0時(shí)比值越大.

6．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平行線分線段成比例；三角形的重心及應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)C作CF∥BM，交AE的延長(zhǎng)線于F，

∵H是△ABC的重心，

∴M是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，

∴G是AF的中點(diǎn)，

∴GM＝CF，

設(shè)CF＝a，則GM＝a，

∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中點(diǎn)，

∴＝，

∴BG＝6CF＝6a，

∴BM＝a，

∵H是△ABC的重心，

∴BH＝BM＝a，

∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，

∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．

故答案為：D．

【分析】過(guò)C作CF∥BM，交AE的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)平行線分線段成比例得出G是AF的中點(diǎn)，設(shè)CF=a，則GM＝a，由CF∥BG，DE∶EC=5∶3，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)求出BG=6a，再根據(jù)H是△ABC的重心，得到BH=BM=a，根據(jù)線段的和差關(guān)系表示出HG，則可得到BH∶HG∶GM的值，即可作答.

7．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接BP、BQ，

根據(jù)矩形的性質(zhì)點(diǎn)B、D到AC的距離相等，

又∵，

∴

設(shè)，，，

∵，，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

∴，

∵

，

∵，

∴.

∴

故答案為：A.

【分析】連接BP、BQ，根據(jù)矩形的性質(zhì)點(diǎn)B、D到AC的距離相等，根據(jù)同底等高的三角形面積相等得S△DPQ=S△BPQ，設(shè)BF=a，BG=b，AG=kb，判斷出△AGP∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得，推出GP=ka，同理△FQC∽△ABC，得，推出FQ=kb，根據(jù)割補(bǔ)法得S△BPQ=S△ABC-S△ABP-S△BQC，進(jìn)而根據(jù)矩形面積計(jì)算方法得S矩形BGIF=ab，S矩形EIHD=k2ab，則，據(jù)此就可得出結(jié)論了.

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：①由題意可得：，，，，

∴，

∴，

∴，

∴，①符合題意；

②由題意可得：，

∴，

∴，即，

∴，即，②不符合題意；

③由題意可得：，

∴，

∴，即

又∵，

∴，③符合題意；

④過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如下圖：

由題意可得：，，

∴，，

∴，

∴，

由勾股定理可得：，

∵，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

又∵，

∴，即，④符合題意；

正確的個(gè)數(shù)為3，

故答案為：C

【分析】利用全等三角形的判定方法和性質(zhì)，相似三角形的判定方法和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。

9．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示，連接AH，CH，設(shè)AE與BF交于M，

∵BF⊥AE，

∴∠AMB=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，

∴∠ABM+∠CBF=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE=CF，

∴BF=DF，

∵CG=CF，∠DCG=∠BCF，DC=BC，

∴△BCF≌△DCG（SAS），

∴∠CBF=∠CDG，

又∵∠BHG=∠DHF，

∴△BHG≌△DHF（AAS），

∴HG=HF，

又∵HC=HC，CG=CF，

∴△HCG≌△HCF（SSS），

∴∠HCG=∠HCF=45°，

∴A、H、C三點(diǎn)共線，

∵，

∴△ADH∽△CGH，

∴，

故答案為：B．

【分析】連接AH，CH，設(shè)AE與BF交于點(diǎn)M，先證得A、H、C三點(diǎn)共線，由AD∥BC，可得△ADH∽△CGH，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即得結(jié)論.

10．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BE于點(diǎn)M，

設(shè)BE=a，GH=b，

∵△AHD≌△BEA，

∴AH=BE=a，

∵四邊形EFGH是正方形，

∴FG=GH=EH=EF=b，

∵∠AEB=∠PMB=90°，

∴PM∥AE，

∴BP∶AP=BM∶ME，

∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

∴AP=BP，

∴BM=EM=a，

∴PM是△ABE的中位線，

∴PM=AE=（a-b），

又∵點(diǎn)Q是GH的中點(diǎn)，

∴GQ=GH=b，

∵∠PMF=∠BFC=90°，

∴△PM∥FC，

∴∠MPF=∠GFQ，

∵∠PMF=∠FGQ=90°，

∴△PMF∽△FGQ，

∴PM∶FG=MF∶GQ，

∴PM×GQ=FG×MF，

∵M(jìn)F=EM-EF=a-b，

∴（a-b）×b=b（a-b），

整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，

∵b≠0，

∴3b-a=0，

∴a=3b，

∴AE=AH-EH=a-b=2b，

∴，

∴AB∶EF=.

故答案為：C.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BE于點(diǎn)M，設(shè)BE=a，GH=b，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AH=BE=a，根據(jù)正方形的性質(zhì)得FG=GH=EH=EF=b，易得PM是△ABE的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得BM=EM=a，PM=AE=（a-b），根據(jù)中點(diǎn)的定義得GQ=GH=b，易得△PM∥FC，然后判斷出△PMF∽△FGQ，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得PM×GQ=FG×MF，代入并整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，由于b≠0，故可得a=3b，用勾股定理表示出AB，據(jù)此就可求出答案了.

11．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵∠DBC和∠DAC所對(duì)的弧都是CD弧，

∴∠DAC=∠DBC，

∵AD平分∠BAC即∠BAD=∠DAC，

∴∠DBC=∠BAD，

∵∠BDE=∠ADB，

∴△ABD∽△BDE，

∴BD：DE=AD：BD，即6：DE=（5+DE）：6，

解得DE=4，DE=-9（舍），

∴AD=AE+DE=4+5=9，

∵∠ACE和∠D所對(duì)的弧都是AB弧，

∴∠ACE=∠D，

∵∠DBC=∠CAD，

∴△AEC∽△ABD，

∴AB：AE=AD：AC，即7：5=9：AC，

∴AC=，

故答案為：.

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，結(jié)合角平分線的定義，證明△ABD∽△BDE，則用相似三角形的性質(zhì)定理求出DE的長(zhǎng)，同理證明△AEC∽△ABD，在利用相似三角形的性質(zhì)定理即可求出AC的長(zhǎng).

12．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理；軸對(duì)稱的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，連接OC，延長(zhǎng)CO交AB于H，交圓于F，連接BF，再連接OC、OM，OC交MN于K，

∵△ACB為等腰三角形，

∴CH⊥AB，

CH===4，

∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，

∴△BHC∽△FBC，

∴BC：CH=CF：BC，

，

∴OM=，

∵點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)O，

∴OK=KC=，

∴MK=，

∴MN=2MK=.

故答案為：.

【分析】連接OC，延長(zhǎng)CO交AB于H，交圓于F，連接BF，再連接OC、OM，OC交MN于K，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，先求出CH的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求出CF的長(zhǎng)，則知圓的半徑的長(zhǎng)，再由對(duì)稱的性質(zhì)得出OK的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可求出MK的長(zhǎng)，則知MN的長(zhǎng).

13．【答案】、、

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線與△ABC的另一個(gè)交點(diǎn)為E，

∵AC＝4，BC＝3，∴AB==5

設(shè)AD=x，BD=5-x，

∵DE平分△ABC周長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的一半為（3+4+5）÷2=6，

分四種情況討論：

①△BED∽△BCA，如圖1，BE=1+x

∴，即：，

解得x=，

②△BDE∽△BCA，如圖2，BE=1+x

∴，即：，

解得：x=，

BE=>BC，不符合題意.

③△ADE∽△ABC，如圖3，AE=6-x

∴，即，

解得：x=，

④△BDE∽△BCA，如圖4，AE=6-x

∴，即：，

解得：x=，

綜上：AD的長(zhǎng)為、、.

【分析】根據(jù)直線平分三角形周長(zhǎng)得出線段的和差關(guān)系，再通過(guò)四種情形下的相似三角形的性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng).

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的重心及應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵

∴

∴F是BC的中點(diǎn)

∵BD是三角形ABC的中線；

∴點(diǎn)N為三角形ABC的重心，

∴，

設(shè)FN=k，則AN=2k，AF=3k

過(guò)點(diǎn)B作BG//AF交AE的延長(zhǎng)線于G，

∴△BGE∽△FAE，

∴

∴BG=1.5k，

∵BG//AF

∴△BGM∽△NAM，

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：.

【分析】由BE：EF：FC=1：2：3可得BF：FC=1，即F是BC的中點(diǎn)，推出點(diǎn)N為△ABC的重心，得到FN：AN=1：2，DN：BN=1：2，設(shè)FN=k，則AN=2k，AF=3k，過(guò)點(diǎn)B作BG//AF交AE的延長(zhǎng)線于G，證明△BGE∽△FAE，△BGM∽△NAM，由相似三角形的性質(zhì)可得BG，BM：MN=3：4，根據(jù)DN：BN=1：2可得BM：MN：DN=3：4：3.5，據(jù)此求解.

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如圖：

∵正方形的面積為4

∴正方形的邊長(zhǎng)為2，

∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

∴，

在與中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵＝，

∴＝

∴，

由題意可得：

∴

∴

∴

同理可得：

∴

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：.

【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積可得邊長(zhǎng)為2，利用SAS證明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，結(jié)合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面積法可得DM，然后求出GM，證明△DCK∽△DGM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，證明△OKL∽△GML，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

16．【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：（1）如圖，連接AC，

∵E為PC中點(diǎn)，AE=CP，

∴△PAC為直角三角形，

∵∠APE=30°，PC=，

∴AC=

∴AP=.

（2）如圖，連結(jié)AC，作DF⊥BF，

∵A，C，D在同一條直線上，

∴AD⊥AB，

∴∠CAP=∠PAD=90°

設(shè)AC=a，

在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，

∴()2-a2=3002-（a+）2，

整理，解得：a=，

∴AD=AC+CD=+=，

∴PD落到地面的陰影長(zhǎng)BF=AD=.

故答案為：；.

【分析】(1)連接AC，E為PC中點(diǎn)，AE=CP，利用斜邊中線等于斜邊的一半逆定理可推出△PAC為直角三角形，在根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半求出AP，進(jìn)而可求出BP長(zhǎng)；

（2）連接AC，A，C，D在同一條直線上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，進(jìn)而求出AD，由BF等于AD可得影長(zhǎng)值.

17．【答案】（1）解：如圖所示，

設(shè)DE=xcm，則AD=（8－x）cm，

根據(jù)題意得：（8－x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，

∴DE=4（cm）

（2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3，

∴CD=5，

∵∠BCE=∠DCF=90°，

∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB，

∴∠DCE=∠BCF

∵∠DEC=∠BFC=90°，

∴△CDE∽△CBF，

∴，即，

∴CF=（cm），

答：CF的高是cm

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）設(shè)DE=xcm，則AD=（8－x）cm，根據(jù)“圖1、圖2所示水的體積相等”列出方程并解之即可；

（2）由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再證△CDE∽△CBF，可得，據(jù)此即可求解.

18．【答案】（1）解：作于M，交于N，

可得，米，米，米．

∴米，米，

∵，

∴，

∴，即

∴米，

米，

答：大樓的高度為14米．

（2）0.5

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】（2）類似（1）可得，

∴，

∵米，米，米，米，

∴米，

∴，

∴米，

相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)（米），

答：相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)0.5米．

【分析】（1）作于M，交于N，證出，得出米，代入求解即可；

（2）類似（1）可得，得出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可。

19．【答案】（1）解：，理由如下，

，

，

四邊形是矩形，

，，

，

，

，，

，

，

，

；

（2）解：①如圖，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)G，可知米，米，

米；

②設(shè)米，

米，米，

米，

，

，

米，

，

解得：，

米．

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）利用兩組角相等的三角形相似的判定方法求解即可；

（2）①延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)G，可知米，米，利用線段的和差求出BG的長(zhǎng)即可；

②根據(jù)，可得，將數(shù)據(jù)代入可得，求出x的值，最后利用線段的和差求出PF的長(zhǎng)即可。

20．【答案】（1）解：該拋物線過(guò)點(diǎn)，

可設(shè)該拋物線的解析式為．

將，代入，

得，

解得，

此拋物線的解析式為

（2）解：存在．如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，，．

又，

當(dāng)，

在拋物線上，

，

，

，

∽，

即．

解得，舍去，

．

當(dāng)時(shí)，∽，即．

解得，均不合題意，舍去

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，，

或，

把代入得：，，

解得：第一個(gè)方程的解是舍去舍去，

第二個(gè)方程的解是，舍去

求出，，

則，

當(dāng)時(shí)，，．

或，

則：，，

解得：第一個(gè)方程的解是舍去，舍去，第二個(gè)方程的解是舍去，，

時(shí)，，

則，

綜上所述，符合條件的點(diǎn)為或或，

（3）解：如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

過(guò)作軸的平行線交于．

由題意可求得直線的解析式為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，

，

當(dāng)時(shí)，面積最大，

．

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的性質(zhì)；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx-2，將A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m，m2+m-2），當(dāng)14時(shí)，AM=m-4，PM=m2-m+2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出m的值，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得mBC，不符合題意.

③△ADE∽△ABC，如圖3，AE=6-x

∴，即，

解得：x=，

④△BDE∽△BCA，如圖4，AE=6-x

∴，即：，

解得：x=，

綜上：AD的長(zhǎng)為、、.

【分析】根據(jù)直線平分三角形周長(zhǎng)得出線段的和差關(guān)系，再通過(guò)四種情形下的相似三角形的性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng).

14．（2023九上·通川期中）如圖，為的邊上的點(diǎn)、且，中線被截得的三線段為，則

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的重心及應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵

∴

∴F是BC的中點(diǎn)

∵BD是三角形ABC的中線；

∴點(diǎn)N為三角形ABC的重心，

∴，

設(shè)FN=k，則AN=2k，AF=3k

過(guò)點(diǎn)B作BG//AF交AE的延長(zhǎng)線于G，

∴△BGE∽△FAE，

∴

∴BG=1.5k，

∵BG//AF

∴△BGM∽△NAM，

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：.

【分析】由BE：EF：FC=1：2：3可得BF：FC=1，即F是BC的中點(diǎn)，推出點(diǎn)N為△ABC的重心，得到FN：AN=1：2，DN：BN=1：2，設(shè)FN=k，則AN=2k，AF=3k，過(guò)點(diǎn)B作BG//AF交AE的延長(zhǎng)線于G，證明△BGE∽△FAE，△BGM∽△NAM，由相似三角形的性質(zhì)可得BG，BM：MN=3：4，根據(jù)DN：BN=1：2可得BM：MN：DN=3：4：3.5，據(jù)此求解.

15．（2023九上·富陽(yáng)期末）如圖，面積為4的正方形中，分別是各邊的中點(diǎn)，將一邊兩端點(diǎn)分別和對(duì)邊中點(diǎn)連結(jié)，所得陰影部分為各邊相等的八邊形，則八邊形每條邊的長(zhǎng)度是.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如圖：

∵正方形的面積為4

∴正方形的邊長(zhǎng)為2，

∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

∴，

在與中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵＝，

∴＝

∴，

由題意可得：

∴

∴

∴

同理可得：

∴

∴

∵

∴

∴

∴

故答案為：.

【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積可得邊長(zhǎng)為2，利用SAS證明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，結(jié)合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面積法可得DM，然后求出GM，證明△DCK∽△DGM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，證明△OKL∽△GML，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

16．（2023九上·溫州期末）某戶外遮陽(yáng)棚如圖1，其截面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.支撐柱AB上地面，AB=120cm，Р是支撐柱AB上一動(dòng)點(diǎn)，傘桿CP可繞著中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，CD=CP=40cm，斜拉桿AE可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AE=CP．若∠APE=30°，則BP=cm；傘展開長(zhǎng)PD==300cm，若A，C，D在同一條直線上，某時(shí)太陽(yáng)光線恰好與地面垂直，則PD落到地面的陰影長(zhǎng)為cm.

【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】解：（1）如圖，連接AC，

∵E為PC中點(diǎn)，AE=CP，

∴△PAC為直角三角形，

∵∠APE=30°，PC=，

∴AC=

∴AP=.

（2）如圖，連結(jié)AC，作DF⊥BF，

∵A，C，D在同一條直線上，

∴AD⊥AB，

∴∠CAP=∠PAD=90°

設(shè)AC=a，

在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，

∴()2-a2=3002-（a+）2，

整理，解得：a=，

∴AD=AC+CD=+=，

∴PD落到地面的陰影長(zhǎng)BF=AD=.

故答案為：；.

【分析】(1)連接AC，E為PC中點(diǎn)，AE=CP，利用斜邊中線等于斜邊的一半逆定理可推出△PAC為直角三角形，在根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半求出AP，進(jìn)而可求出BP長(zhǎng)；

（2）連接AC，A，C，D在同一條直線上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，進(jìn)而求出AD，由BF等于AD可得影長(zhǎng)值.

三、解答題（共9題，共72分）

17．（2022九上·濟(jì)南期末）如圖1，長(zhǎng)、寬均為3cm，高為8cm的長(zhǎng)方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6cm，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時(shí)的示意圖，將這個(gè)情景轉(zhuǎn)化成幾何圖形，如圖3所示．

（1）利用圖1、圖2所示水的體積相等，求的長(zhǎng)；

（2）求水面高度．

【答案】（1）解：如圖所示，

設(shè)DE=xcm，則AD=（8－x）cm，

根據(jù)題意得：（8－x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，

∴DE=4（cm）

（2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3，

∴CD=5，

∵∠BCE=∠DCF=90°，

∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB，

∴∠DCE=∠BCF

∵∠DEC=∠BFC=90°，

∴△CDE∽△CBF，

∴，即，

∴CF=（cm），

答：CF的高是cm

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）設(shè)DE=xcm，則AD=（8－x）cm，根據(jù)“圖1、圖2所示水的體積相等”列出方程并解之即可；

（2）由勾股定理求出CD的長(zhǎng)，再證△CDE∽△CBF，可得，據(jù)此即可求解.

18．（2022九上·大安期末）學(xué)習(xí)了相似三角形相關(guān)知識(shí)后，小明和同學(xué)們想利用“標(biāo)桿”測(cè)量大樓的高度．如圖，小明站立在地面點(diǎn)F處，他的同學(xué)在點(diǎn)B處豎立“標(biāo)桿”，使得小明的頭頂點(diǎn)E、桿頂點(diǎn)A、樓頂點(diǎn)C在一條直線上（點(diǎn)F、B、D也在一條直線上）．已知小明的身高米，“標(biāo)桿”米，又米，米．

（1）求大樓的高度為多少米（垂直地面）？

（2）小明站在原來(lái)的位置，同學(xué)們通過(guò)移動(dòng)標(biāo)桿，可以用同樣的方法測(cè)得樓上點(diǎn)G的高度米，那么相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)米.

【答案】（1）解：作于M，交于N，

可得，米，米，米．

∴米，米，

∵，

∴，

∴，即

∴米，

米，

答：大樓的高度為14米．

（2）0.5

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用

【解析】【解答】（2）類似（1）可得，

∴，

∵米，米，米，米，

∴米，

∴，

∴米，

相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)（米），

答：相對(duì)于第一次測(cè)量，標(biāo)桿應(yīng)該向大樓方向移動(dòng)0.5米．

【分析】（1）作于M，交于N，證出，得出米，代入求解即可；

（2）類似（1）可得，得出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可。

19．（2022九上·臨汾期中）如圖為幸福小區(qū)入口處安裝的汽車出入道閘示意圖．如圖1，道閘關(guān)閉時(shí)，四邊形是矩形．如圖2，在道閘打開的過(guò)程中，邊固定，直線l，連桿、分別繞點(diǎn)A、D轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊始終與邊平行，P為上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），過(guò)點(diǎn)P作直線l，，垂足分別為E，F(xiàn)，即四邊形是矩形，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為Q，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)R．

（1）與相似嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．

（2）若道閘長(zhǎng)米，寬米，點(diǎn)D距地面米，米，米，米．

①求點(diǎn)B到地面l的距離；

②求的長(zhǎng)．

【答案】（1）解：，理由如下，

，

，

四邊形是矩形，

，，

，

，

，，

，

，

，

；

（2）解：①如圖，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)G，可知米，米，

米；

②設(shè)米，

米，米，

米，

，

，

米，

，

解得：，

米．

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）利用兩組角相等的三角形相似的判定方法求解即可；

（2）①延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)G，可知米，米，利用線段的和差求出BG的長(zhǎng)即可；

②根據(jù)，可得，將數(shù)據(jù)代入可得，求出x的值，最后利用線段的和差求出PF的長(zhǎng)即可。

20．（2022九上·鎮(zhèn)海區(qū)開學(xué)考）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在直線上方的拋物線是有一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：該拋物線過(guò)點(diǎn)，

可設(shè)該拋物線的解析式為．

將，代入，

得，

解得，

此拋物線的解析式為

（2）解：存在．如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，，．

又，

當(dāng)，

在拋物線上，

，

，

，

∽，

即．

解得，舍去，

．

當(dāng)時(shí)，∽，即．

解得，均不合題意，舍去

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，，

或，

把代入得：，，

解得：第一個(gè)方程的解是舍去舍去，

第二個(gè)方程的解是，舍去

求出，，

則，

當(dāng)時(shí)，，．

或，

則：，，

解得：第一個(gè)方程的解是舍去，舍去，第二個(gè)方程的解是舍去，，

時(shí)，，

則，

綜上所述，符合條件的點(diǎn)為或或，

（3）解：如圖，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

過(guò)作軸的平行線交于．

由題意可求得直線的解析式為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，

，

當(dāng)時(shí)，面積最大，

．

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的性質(zhì)；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx-2，將A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（m，m2+m-2），當(dāng)14時(shí)，AM=m-4，PM=m2-m+2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出m的值，進(jìn)而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得m<1時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0<t<4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為|t2+t-2|，過(guò)D作y軸的平行線交AC于E，求出直線AC的解析式，表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，得到DE，根據(jù)三角形的面積公式表示出S△DAC，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大值以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo).

21．（2023九上·寧波期中）我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”.

（1）概念理解：

如圖1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，試判斷△ABC是否是“等高底”三角形.（填“是”或“否”）

（2）問(wèn)題探究：

如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得到△A'BC，連接AA'交直線BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)B是△AA′C的重心，求的值.

（3）應(yīng)用拓展：

如圖3，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，有一邊的長(zhǎng)是BC的倍.將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B′C，A′C所在直線交l2于點(diǎn)D，直接寫出CD的值.

【答案】（1）是

（2）解：如圖2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴AD＝BC，

∵△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形是△A'BC，

∴∠ADC＝90°，

∵點(diǎn)B是△AA′C的重心，

∴BC＝2BD，

設(shè)BD＝x，則AD＝BC＝2x，CD＝3x，

由勾股定理得AC＝，

∴；

（3）CD的值為或2或2

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形的重心及應(yīng)用

【解析】【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形.

理由：如圖1，過(guò)A作AD⊥BC于D，則△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，

∵∠ACB＝30°，AC＝6，

∴，

∴AD＝BC＝3，

即△ABC是“等高底”三角形.

故答案為：是.

（3）①當(dāng)AB＝BC時(shí)，

Ⅰ.如圖3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”為BC，l1∥l2，l1與l2之間的距離為2，AB＝BC，

∴BC＝AE＝2，AB＝2，

∴BE＝2，即EC＝4，

∴AC＝2，

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C，

∴∠DCF＝45°，

設(shè)DF＝CF＝x，

∵l1∥l2，

∴∠ACE＝∠DAF，

∴，即AF＝2x，

∴AC＝3x＝2，

∴x＝，CD＝x＝.

Ⅱ.如圖4，此時(shí)△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴CD＝AC＝2.

②當(dāng)AC＝BC時(shí)，

Ⅰ.如圖5，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△A'B'C，

∴A'C⊥l1，

∴CD＝AB＝BC＝2；

Ⅱ.如圖6，作AE⊥BC于E，則AE＝BC，

∴AC＝BC＝AE，

∴∠ACE＝45°，

∴△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到△A'B'C時(shí)，點(diǎn)A'在直線l1上，

∴A'C∥l2，即直線A'C與l2無(wú)交點(diǎn)，

綜上所述，CD的值為或2或2.

【分析】（1）過(guò)A作AD⊥BC于D，則△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AD=AC=3，則AD=BC=3，據(jù)此判斷；

（2）由題意可得AD＝BC，∠ADC＝90°，根據(jù)重心的概念可得BC＝2BD，設(shè)BD＝x，則AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定理表示出AC，據(jù)此求解；

（3）①當(dāng)AB＝BC時(shí)，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，則BC＝AE＝2，AB＝2，進(jìn)而可得EC＝4，AC＝2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DCF＝45°，設(shè)DF＝CF＝x，則AF＝2x，AC＝3x＝2，求出x，進(jìn)而可得CD；②當(dāng)AC＝BC時(shí)，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，A'C⊥l1，則CD＝AB＝BC；作AE⊥BC于E，則AE＝BC，AC＝BC＝AE，此時(shí)∠ACE＝45°，直線A'C與l2無(wú)交點(diǎn)，據(jù)此解答.

22．（2023九上·永嘉期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且，連接，當(dāng)直線交x軸正半軸于點(diǎn)L，交y軸于點(diǎn)V時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線交線段于點(diǎn)F，連接，過(guò)點(diǎn)G作交線段于點(diǎn)Q，的平分線交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)R，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）解：拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A（10，0），B（，6）兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，

∴，

∵點(diǎn)P在直線，且橫坐標(biāo)為t，

∴，

∴點(diǎn)P到x軸的距離即為△APC的邊AC上的高，即為，底，

∴；

（3）解：過(guò)點(diǎn)P作PT⊥x軸于點(diǎn)T，如圖所示：

∵FM平分∠CFG，，

∴，

∴，

∵，軸，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，即為點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，

設(shè)直線BP的解析式為，則有：

，解得：，

∴直線BP的解析式為，

∴當(dāng)時(shí)，則，解得：，

∴，，

∴，

由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)代入直線BP的解析式可得：，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

化簡(jiǎn)得：，

由勾股定理可得，即，

解得：（不符合題意，舍去），

∴點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可；

（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得AC＝8，根據(jù)直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)設(shè)P（t，2t-4），由于點(diǎn)P到x軸的距離即為△APC的邊AC上的高，從而利用三角形面積公式求解即可；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PT⊥x軸于點(diǎn)T，首先用AAS判斷出△RFH≌△GHM，得FR=HG，推出FG=GQ，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且OE=OD得CE=CD，由等邊對(duì)等角及平行線的性質(zhì)得∠PGC=∠PCG，則PC=PG，進(jìn)而得CT=GT，表示出PT、CT，可得CG、OG，即可得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，令解析式中的y=0算出對(duì)應(yīng)的自變量x的值，表示出OL、CL、GL、將點(diǎn)F的橫坐標(biāo)代入直線BP的解析式算出對(duì)應(yīng)的y的值，可得FG、QG，判斷出△GQL∽△CFL，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例表示出CF，最后根據(jù)勾股定理建立方程可求出t的值，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

23．（2023九上·海曙期末）如圖：

（1）[基礎(chǔ)鞏固]如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，求證：；

（2）[嘗試應(yīng)用]如圖2，四邊形為平行四邊形，F(xiàn)在邊上，，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上，連接、、，若，求的長(zhǎng)；

（3）[拓展提高]如圖3，E是內(nèi)部一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連接，已知，，求的值.

【答案】（1）證明：∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

（2）解：∵四邊形為平行四邊形，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴；

（3）解：過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∴，

∵，

∴；

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴.

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的概念可得∠ABD=∠DBC，由已知條件可知∠ADB=∠DCB，證明△ABD∽△DBC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）根據(jù)平行四邊形以及平行線的性質(zhì)可得∠AFB=∠FBC，∠DFC=∠FCB，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AFB=∠ABF，則∠ABF=∠FBC，由已知條件可知∠EFB=∠DFC，則∠EFB=