2021大學《，無抵秋今(C)y>錦程曲基

詹旎t4微4A

但右主考教師：試卷類型：(A卷)

一、選事

1、若級數(shù)￡>“和，匕都發(fā)散，則下列級數(shù)中必發(fā)散的是(D)

〃=|"=1

(A)￡("“+乙)(B)￡(說+切(C)(D)￡(叫+聞).

n=\n=l〃=1n=l

2、若￡%(x-1)"在x=—2處收斂，則此級數(shù)在x=3處(A)

w=i

(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定.

3、設級數(shù)收斂，則lima”(1一cos")=(A)

oo

n=l

(A)0(B)1(C)極限不存在(D)不能確定.

4、具有特解M=e2-了2=",%=x"的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是(B).

(A)12〈+3丁'+丁=0(B)y"—4y+5y'—2y=0

(C))〃一4y"—3y'+y=0(D)yw+5/+4/-y=0.

二、填空題(每個空3分，共15分)

1、設必=3,%=3+2已為=3+2/+2/均為某二階線性微分方程的特解，則該微

x

分方程的通解為y=+c2e+3。

2、差分方程如2-+y-4=/⑺為-差階差分方程。

3、差分方程%-4y=0的通解為yt=44,。

8丫2〃+1

4、幕級數(shù)—的收斂域為(-8,8)，和函數(shù)為Q。

S?!----------

三、判別下列級數(shù)的斂散性(每小題6分，共24分)

co1

1、E

z?=l(?-l)(n+2)

解lim/I1

〃一＞8(H-1)(H+2)/n~

81

而〃級數(shù)XF收斂，由比較審斂法，可知原級數(shù)收斂.

003"+sinn

2、Z

3"+sin〃v3"+1

4“一4〃，

limU4/，=l,而等比級數(shù)收斂,

e4"/4M4"

由比較審斂法，可知原級數(shù)收斂.

3、才(-1嚴\nn

n=ln

解1)由于〃“=地>0(〃>1),所以￡(—1)向電3是交錯級數(shù).

〃〃=in

令/(x)=—(x>3),<f'(x)=匕學<0(x>3),即〃>3時，|是遞減數(shù)列，

xX[nJ

利用洛必達法則有l(wèi)im處=lim吧=lim-=0,由萊布尼茨定理知該級數(shù)收斂.

x->oo/7x-H<20xX->-KOx

2)|M|=(〃23),因為調和級數(shù)發(fā)散，所以￡回發(fā)散。

nnn=1n

綜上，題設級數(shù)為條件收斂。

8

4自㈠產(chǎn)正而

解令1)向‘一，考察級數(shù)工|"“|是否絕對收斂,

"5+1)!

M=1

采用比值審斂法:

lim風?=lim（〃+l）"一（"+?

0000

"f|Un|"f[（724-1）+1]!〃〃+

=1而竺丫

"->或n）+2）

=lim1+-

〃一認nJ

=e>1,

所以原級數(shù)非絕對收斂.

由lim與端■>>可知當〃充分大時，有|w〃+||>|〃〃|,故lim工0,所以原級數(shù)發(fā)散.

\utJ\"e

四、求下列微分方程或差分方程的通解（每小題6分，共24分）

y

1、y=e；+2

X

解設則包="+彳包，

xdxdx

代入原方程得，u+x—^eu+u,

dx

整理得，x@=e",

dx

分離變量得，e-du^-dx,

X

兩邊積分得，-e-tt=ln|x|+ln|C|,

將"=上回代，則得到題設方程的通解為—J，=In|x|+In|C|.

X

2、（/-6x）V+2y=0

解（V—6x）半+2y=0,

ax

dx（6x-y2）

2

dx_（fix-y）=3。

=辦_2y

y2

此為一階線性微分方程，其通解為：

子尸%+C=嗚+,

3、/-7/+12y=0

解所給微分方程的特征方程為產(chǎn)-7r+12=0,

其根4=3,4=4是兩個不相等的實根，因此所求通解為^=。?3，+。204，.

4、%2-2加+2/=0

解此方程對應的特征方程為

A2—24+2=0,

解之得共輾復根4=l+i,4=1—i,即ai=l,0=1,

故r=個a?+戶=血,又tan6=2=1,故6=

于是原方程的通解為

a4

y=（夜）cos^/+A,sin

81

五、將函數(shù)/（%）=arctanx展開成元的事級數(shù),并求級數(shù)Z（-1）"T—的和。（10分）

〃=i2〃-1

-cxdx

arctanx=-----

J。1+X2

=1口―f+J-…+(—1)G2"+..必

J0

11丫2〃+1

=X——X3+—X5---+(-l)Z，----+…，XG(-1,1).

352/2+1

當x=l時，級數(shù)￡異二收斂;當x=-l時，級數(shù)￡且匕收斂.且當x=±l時，函數(shù)arctanx連

士2〃+1士2/1+1

續(xù)，所以

2+l82/1+1

115,八“X"

drctdnx—xA+A,,,+(1)+???=Z(1)c,xe[-l,l].

352/1+1M2/1+1

8]④]7E

當x=1時，V(-1)〃7-----=V(-l)w-----=arctan1=—

念2n-\￡2〃+l4

六、求方程>"+&2y=/zsin(p幻的通解，其中仁九〃均為實數(shù)且k>0,〃>0。(15分)

解：方程對應的齊次方程為y"+Z2y=0,