用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)并求均方偏差摘要：數(shù)值分析是研究分析用計算機求解數(shù)學計算問題的數(shù)值計算方法及其理論的學科，是數(shù)學的一個分支，它以數(shù)字計算機求解數(shù)學問題的理論和方法為研究對彖。本文通過對一組數(shù)據(jù)用origin先得到散點圖，然后根據(jù)散點圖來預測函數(shù)。接著用matlab軟件采用最小二乘法擬合，得到兩個不同的函數(shù)，并計算它們的均方偏差，以便比較這兩個擬合函數(shù)的優(yōu)劣。關鍵字：數(shù)值分析；origin;matlab;最小二乘法;均方偏差Abstraction:Numeiicalanalysisisacomputationalmethodanditsnumericalcomputationproblemissolvedbycomputeranalysisofmathematicalresearchsubject,isabranchofmathematics,itisbasedonthetheoiyandmethodologyofdigitalcomputertosolvemathematicalproblemsastheresearchobject.Thisarticletliioughtoasetofdatawithorigintogetscatterplot,thenpredictfunctionaccordmgtothescatterplot.Thenusmgleastsquaresfittmgwiththematlabsofhvaie,gettwodifferentfunction,andthemeansquaredeviation,theycalculatedtocomparetheadvantagesanddisadvantagesofthetwofittingfiinction.Keyword:Numericalanalysis;ongm;matlab:theleastsquaremethod;MeanSquareEnoi1、引言數(shù)值分析主要介紹現(xiàn)代科學計算中常用的數(shù)值計算方法及其基本原理，研究并解決數(shù)值問題的近似解，是數(shù)學理論與計算機和實際問題的有機結合。隨著科學技術的迅速發(fā)展，運用數(shù)學方法解決科學研究和工程計算領域中的實際問題，己經(jīng)得到普遍重視。數(shù)學建模是數(shù)值分析聯(lián)系實際的橋梁。在數(shù)學建模過程中，無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、擬合法等，那么如何在數(shù)學建模中正確的應用數(shù)值分析內容，就成了解決實際問題的關鍵。其中最小二乘法（乂稱最小平方法）是一種數(shù)學優(yōu)化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化躺用最小二乘法來表達。本文主要運用的數(shù)值分析算法就是最小二乘法。2、用最小二乘法解決問題2.1、 最小二乘法的歷史簡介1801年，意大利天文學家朱賽普?皮亞齊發(fā)現(xiàn)了第一顆小行星谷神星。經(jīng)過40天的跟蹤觀測后，由于谷神星運行至太陽背后，使得皮亞齊失去了谷神星的位置。隨后全世界的科學家利用皮亞齊的觀測數(shù)據(jù)開始尋找谷神星，但是根據(jù)大多數(shù)人計算的結果來尋找谷神星都沒有結果。時年24歲的高斯也計算了谷神星的軌道。奧地利天文學家海因里希?奧爾伯斯根據(jù)高斯計算出來的軌道重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作《天體運動論》中。法國科學家勒讓徳于1806年獨立發(fā)現(xiàn)“最小二乘法”，但因不為世人所知而默默無聞。勒讓徳曾與高斯為誰最早創(chuàng)立最小二乘法原理發(fā)生爭執(zhí)。1829年，高斯提供了最小二乘法的優(yōu)化效果強于其他方法的證明，因此被稱為高斯-馬爾可夫定理。2.2、 最小二乘法及其計算在函數(shù)的最佳平方逼近中f(x)eC[a,b],如果f(x)只在一組離散點｛x’，i二0,1,……，m｝上給出，這就是科學實驗中常見到的實驗數(shù)據(jù)｛(xx,yj,i=0,1, ,m｝的曲線擬合，這里Yi=f(xj(i=0,1, ,m),要求一個函數(shù)y=s*(x)與所給的數(shù)據(jù)｛(Xi,Yi),i=0,1,……,m｝擬合,若記誤差送=s*(兀)一XU=0,1,…加),6= …3m)T設4)o(x),4>1(x), 4>n(x)是C[a,b]上線性無關函數(shù)族,在4)=span｛4>o(x),4>i(x),……4Ux)｝中找一個函數(shù)s"x),使誤差平方和m ni - nt12心工旁=R[嚴(兀)-％]=平巴工[$(兀)-汀，/=0 1=0 “回1=0這里S(x)=a000(x)+如(x)+…+an札(x),(n<m).這就是一般的最小二乘逼近，用兒何語言說，就稱為曲線擬合的最小二乘法。已知數(shù)據(jù)如表2-1X1.22.84.35.46.87.9y2.111.528.141.972.391.4根據(jù)表2-1所給的數(shù)據(jù)，用Origin軟件得出它的散點圖2-18C602(A（x）圖2-1根據(jù)散點圖2-1可看出該圖形可能為多項式函數(shù)，所以不妨設該方程式為y=a*x2+b*x+Co根據(jù)所給數(shù)據(jù)，由最小二乘法，取必（x）=l, （X）=X,（p2（X）=x2,6\x）=1,得（0],00）=（00，01）=工忑=28.41=05（如?）=（加@）=（循00）=工x；=165.58i=0（0o,0o）=65（加@）=工€=7288.8706i=0（0。，開）￡1=247.3/=0（0』）=￡栩=1595.51,=0（0,）1）=!＞；）：=10881.9831=0故得方程：6*a+28?4*b+165?58紅二247.328.4*a+165.58*b+1068.122*c=1595.51 ②165.58*a+1068.122*b+7288.8706=10880.983 ③由①、②、③可得a二1.4424b=0.4740c二-0.8328所以方程式為y二1.4424*x'+0.4740*x-0.83282.3、Matlab編程Matlab編程編程如下：?x=[l?2,2?&4?3,5?46&7?9];?y=[2.L11.5,2&1,41?9/72?3,91?4];?gildon?holdon?p=polyfk(x,y,2)P=1.4424 0.4740 -0.8328?xl=[1.2:l:7.9];?yl=poly\Tal(p.xl);?plot(x,y；*r\xl,yl；-b,)由Matlab編程編程得到的圖像如圖2-2所力―圖2-23、選擇另一種曲線方程擬合3.1另一種曲線擬合方程的最小二乘算法同理，根據(jù)所給的散點圖，可選擇如下線性函數(shù)作擬合曲線，即令s(x)=a0+a1X,這里0o(X)=1,?(x)=x,co(x)三1,故（%%）=65（%（p）=5%）=》X,=28?4f=o5（04）=fi65?58z=o（00，開）=工）1=247.31=0（9，兀）=工兀兀=1595.51i=0由上述式子得線性方程組6a（）+28.4ai=247.328.4a0+165.58a:=1595.51解得迦二-23.3498,a】二13.6408。于是所求擬合曲線為：S（x）=13.6408*x-23.34983.2另一種曲線擬合方程的Matlab編程Matlab編程編程如下：?x=[L2,2.8,43,5.4,6.8,7.9];y=[2丄11?5,28丄41972.3,91.4];?gridon?holdon?p=polyfit（x,y4）P=13.6408-23.3498?xl=[1.2:l:7.9];?yl=poly\Tal（p.xl）;?plot（x,y；*r\xl,yl；-br）由Matlab編程編程得到的圖像如圖3T所示:2 3 45 6■22 3 45 6■2°;圖3-14、比較上面兩個擬合函數(shù)的偏方均差的優(yōu)劣由上面兩個擬合函數(shù)得：A A Ay(r0)=1.813056,y(/J=12.068256,y(t2)=27.875376AAAy(fj=43.787184,y(f4)=69.086976,y(t5)=92.931984Affl2-2屮擬合的y值AAAy(/”o)=-6.98084,y(〃?J=14.84444、y(叫)=35.30564A A Ay(/”$)=503494,y(inj=69.407649y(m5)=84.41252人y(“)--圖3-1擬合的y值又因為均方偏差公式為：MSE(/)=丄f(*/)-)?))1=1其中：人y(f)--通過擬合得到的值XO--表2-1屮的)值，即實際值經(jīng)過計算得：1 5AMSE（f）=匚工（曲）一）0））一2.78136?=o1 5AMSE（〃7）=—工（））（〃?）-y（加