3.1不等式的基本性質(zhì)第3章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解不等式的概念,掌握不等式的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象)2.能用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系.(數(shù)學(xué)建模)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入(1)如圖,某城市的高樓有的高,有的矮,有的高度相同.(2)任意兩個實數(shù)之間有三種關(guān)系:a>b,a=b,a<b.(3)同號兩數(shù)的積為正值.通過以上三例我們可以發(fā)現(xiàn)在客觀世界中,量與量之間的關(guān)系有哪些?知識點撥一、實數(shù)a,b的大小比較實數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示,數(shù)軸上的每個點都表示一個實數(shù),且右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大,所以實數(shù)可以比較大小,如下表所示:文字語言符號表示如果a>b,那么a-b是正數(shù);如果a<b,那么a-b是負數(shù);如果a=b,那么a-b等于零.反之亦然a>b?a-b>0;a<b?a-b<0;a=b?a-b=0要點筆記“?”右邊的式子反映了實數(shù)的運算性質(zhì),左邊的式子反映的是實數(shù)的大小順序,二者結(jié)合起來就是實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系.微思考

x2+1與2x兩式都隨x的變化而變化,其大小關(guān)系并不顯而易見.你能想個辦法,比較x2+1與2x的大小,而且具有說服力嗎?提示

作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,所以x2+1≥2x.二、不等式的性質(zhì)

名稱式子表達性質(zhì)1(對稱性)a>b?b<a性質(zhì)2(傳遞性)a>b,b>c?a>c性質(zhì)3(可加性)a>b?a+c>b+c推論a+b>c?a>c-b性質(zhì)4(可乘性)a>b,c>0?ac>bca>b,c<0?ac<bc性質(zhì)5(不等式同向可加性)a>b,c>d?a+c>b+d性質(zhì)6(不等式同向正數(shù)可乘性)a>b>0,c>d>0?ac>bd性質(zhì)7(乘方性)a>b>0?an>bn(n∈N*)性質(zhì)8(開方性)a>b>0?>(n∈N*)名師點析

1.使用不等式的性質(zhì)時,一定要注意它們成立的前提條件,不可強化或弱化它們成立的前提條件,盲目套用.2.在不等式的性質(zhì)中,對表達不等式性質(zhì)的各不等式,要注意“箭頭”是單向的還是雙向的,即符號“?”表示等價關(guān)系,可以互相推出,而符號“?”只能從左邊推右邊,該性質(zhì)不具備可逆性.尤其在證明不等式時,要注意是否可逆.微練習(xí)

1已知a>b,c>d,且cd≠0,則(

)A.ad>bc

B.ac>bcC.a-c>b-d

D.a+c>b+d答案

D解析

a,b,c,d的符號未確定,排除A,B;同向不等式相減,結(jié)果未必是同向不等式,排除C,故選D.微練習(xí)

2若a>b>0,c<d<0,則一定有(

)答案

D解析

∵c<d<0,∴-c>-d>0.∵a>b>0,∴-ac>-bd,課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一用不等式(組)表示不等關(guān)系例1用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長為xm.試用不等式表示其中的不等關(guān)系.反思感悟用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意,明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語:至多、至少、不多于、不少于等.(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量.(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語并連接變量得不等式.變式訓(xùn)練1某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車,有9名駕駛員.此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次,乙型卡車每輛每天可往返8次,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.解

設(shè)每天派出甲型卡車x輛,乙型卡車y輛,則

探究二比較兩數(shù)(式)的大小反思感悟1.作差法比較兩數(shù)(式)大小的步驟及變形方法:(1)作差法比較的步驟:作差→變形→定號→結(jié)論.(2)變形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④分母或分子有理化;⑤分類討論.2.如果兩實數(shù)同號,亦可采用作商法來比較大小,即作商后看商是大于1,等于1,還是小于1.變式訓(xùn)練2已知x<1,比較x3-1與2x2-2x的大小.解

(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)探究三不等式性質(zhì)的應(yīng)用反思感悟利用不等式的性質(zhì)證明

不等式的注意事項(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記憶不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時,應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.證明

由a>b>c,得-c>-b,素養(yǎng)形成利用不等式的性質(zhì)求取值范圍典例(1)已知1<a<4,2<b<8,試求2a+3b與a-b的取值范圍;(2)已知1<a<4,2<b<8,求

的取值范圍;(3)已知-6<a<8,2<b<3,求

的取值范圍.解

(1)∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24,∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.∴2a+3b的取值范圍是{2a+3b|8<2a+3b<32},a-b的取值范圍是{a-b|-7<a-b<2}.點評利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍要注意的問題(1)恰當(dāng)設(shè)計解題步驟,合理利用不等式的性質(zhì).(2)運用不等式的性質(zhì)時要切實注意不等式性質(zhì)的前提條件,切不可用似乎是很顯然的理由,代替不等式的性質(zhì),如由a>b及c>d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b2等.(3)準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì),不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤.當(dāng)堂檢測1.(2020廣東羅湖深圳中學(xué)期中)已知實數(shù)a1∈(0,1),a2∈(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則(

)A.M<N B.M>NC.M=N D.大小不確定答案

B解析

作差比較,M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N.故選B.2.(2020山西高一月考)若a>b,c>d,則下列不等關(guān)系不一定成立的是(

)A.a-b>c-d B.a+c>b+dC.a-c>b-c D.a-c<a-d答案

A解析

對于A,若a=0,b=-1,c=3,d=-2,顯然a-b<c-d,故A不一定成立;對于B,由a>b,c>d,則a+c>b+d,故B一定成立;對于C,由a>b,則a-c>b-c,故C一定成立;對于D,由c>d,則-c<-d,則a-c<a-d,故D一定成立.故選A.3.某路段有如圖所示的路標(biāo),提示司機在該路段行駛時,汽車的速度