考點31數(shù)列的通項公式18種常見考法歸類考點一觀察法考點二等差等比定義求通項考點三由an與Sn的關系求通項（一）消Sn（二）消an（三）內部消化（四）隱藏的Sn考點四因式分解考點五累加法求通項考點六累乘法求通項考點七構造法求通項（一）型（二）型（三）型（四）型（五）型考點八同除以指數(shù)考點九取倒數(shù)求通項（一）形如型（二）形如型考點十不動點法求通項考點十一對數(shù)變換法考點十二周期數(shù)列考點十三等和數(shù)列考點十四等積數(shù)列考點十五前n項積型考點十六正負相間討論、奇偶討論型考點十七結合實際背景求通項考點十八構造常數(shù)列解決遞推數(shù)列通項公式1.觀察法：觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項的變化規(guī)律，求其通項．使用觀察法時要注意：=1\*GB3①觀察數(shù)列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者部分．=2\*GB3②考慮各項的變化規(guī)律與序號的關系．=3\*GB3③應特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．2.等差等比定義求通項等差數(shù)列判定：①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數(shù)結論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無常數(shù)項的二次函數(shù).等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(2)等比中項法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．3.利用與的關系依據(jù)求出.已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫注：an與Sn關系的應用策略(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實施消元法，將遞推關系轉化為僅含an的關系式或僅含Sn的關系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經過恒等變形后能否得到簡單可求的數(shù)列關系，如等差數(shù)列關系或等比數(shù)列關系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數(shù)列關系，那么就應當消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關系找”．(3)值得一提的是：數(shù)列通項公式an求出后，還需要驗證數(shù)列首項a1是否也滿足通項公式，即“通項求出莫疏忽，驗證首項滿足否”，這一步學生容易忘記，切記！4.累加法與累乘法（1）累加法：形如的解析式形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關于的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．注：累加法求通項公式的4步驟累乘法：形如的解析式形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．注：累乘法求通項公式的4步驟5.構造法(1)形如型的遞推式：f(當f(n)=0時,an是等比數(shù)列,首項a1當f(n)=q(q≠0)時,由an+1=pan+q,設an+1+x=f(設f(n)=An+B(A≠0),an+1=pan+An+Bf(設f(n)=An2+Bn+c(A≠0),設af(設f因an+1=pan+pn+1設f方法一：因an+1=pan+qn+1,則an+1qn+1=pq?anq方法二：因an+1=pan+qn+1,設an+1+xqn+1=pan(2)形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．6.同除法對于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數(shù))型方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數(shù)列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以a1＋eq\f(c,p－q)·q為首相以為公比的等比數(shù)列。（注：應用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效）方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。方法三：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1，則有，然后利用待定系數(shù)法求解。7.分式型取倒數(shù)法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．8.不動點法求通項（1）定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點．利用函數(shù)的不動點，可將某些遞推關系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種求數(shù)列通項的方法稱為不動點法．（2）形如的遞推關系式①當時，若，利用特征根方程求出特征根，如果特征方程只有一個實根，可將視為一個整體，構造等差數(shù)列求解，即將遞推關系式兩邊減去，然后用1除化簡得，其中.②如果特征方程有兩個實根，可將可視為一個整體，構造等比數(shù)列求解。即遞推關系式兩邊分別減去，再將兩式相除得，其中，∴.③如果特征方程無實根，則是周期數(shù)列。9.對數(shù)變換法形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．10.常見周期數(shù)列數(shù)列周期62323211.形如型（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列{}為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.12.前n項積類比前項和求通項過程：（1），得（2）時，13.關于正負相間型和奇偶分類型（1）利用n的奇偶分類討論，觀察正負相消的規(guī)律（2）分段數(shù)列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列考點一觀察法1．（2023秋·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）若數(shù)列的前6項為，則數(shù)列的通項公式可以為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察每項的特點，分別確定項的符號以及分子分母的取值的規(guī)律，即可找出數(shù)列的通項公式.【詳解】通過觀察數(shù)列的前6項，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，故用表示各項的正負；各項的絕對值為分數(shù)，分子等于各自的序號數(shù)，而分母是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故第n項的絕對值是，所以數(shù)列的通項可為，故選：D2．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）已知無窮數(shù)列滿足，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數(shù)列的形式）【答案】（或）（答案不唯一）【分析】根據(jù)猜想.【詳解】由，，，猜想.故答案為：.（答案不唯一）3．（2023·陜西西安·?？寄M預測）將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數(shù)列為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構成，則數(shù)列的第項________．【答案】77【分析】根據(jù)前面圖形中，編號與圖中石子的個數(shù)之間的關系，分析他們之間存在的關系，并進行歸納，用得到一般性規(guī)律，即可求得結論．【詳解】由已知的圖形我們可以得出：圖形的編號與圖中石子的個數(shù)之間的關系為：n=1時，，n=2時，，n=3時，，…由此我們可以推斷：.∴，故答案為：77.4．（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數(shù)，如1，3，6，10，15.我國宋元時期數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個數(shù)為___________.

【答案】55【分析】根據(jù)給定條件歸納總結出“三角形數(shù)”的通項公式即可求出第10層球的個數(shù).【詳解】設“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下的各層球的個數(shù)形成數(shù)列，，，，，，…，由此得，即，則，∴堆垛第10層球的個數(shù)為55.故答案為：55.考點二等差等比定義求通項5．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）記為數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求除以3的余數(shù).【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和增位相減以及累乘法即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和和二項式定理即可求解.【詳解】（1）因為，，所以是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，即①，所以②，由②－①可得，即，所以.（2）由（1）可得，則，所以，所以所以除以3的余數(shù)為2.6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）設正項數(shù)列的前n項和為，且，當時，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)結合題意可得是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，進而可得的通項公式；（2）根據(jù)累加法與錯位相減法求解即可.【詳解】（1）由，得，因為，所以，所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當時，，當時，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由知：當時，，①，則②，由得：，化簡得：，當時，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．7．（2023·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列中，，，，則______，______．【答案】2【分析】先根據(jù)已知遞推關系式列方程組，求得的值，然后將已知遞推關系式化簡、變形，得到數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，進而得到，最后利用累乘法求得．【詳解】由，得，消去，得，則．由，得，又，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以當時，，經檢驗當時上式也成立，所以．故答案為：；.8．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列．(2)設，求證：數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，證明等于定值即可；（2）利用裂項相消法求出數(shù)列的前n項和，即可得證.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是首項為，公差為的等差數(shù)列；（2）由（1）知，∴，∴，∴，∵，∴，∴．考點三由an與Sn的關系求通項（一）消Sn9．（2023·內蒙古赤峰·?？寄M預測）已知數(shù)列的前n項和為，且(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)前n項和與通項公式之間的關系可得，再結合等差數(shù)列定義證明；（2）結合（1）中的結果，利用裂項相消法求解.【詳解】（1）當時，則；當時，則；顯然當時，也滿足上式，所以.當n≥2時，則，所以數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，，則，可得，所以數(shù)列前n項和為.10．（2023·四川涼山·三模）數(shù)列的前n項和為，若，，則______．【答案】【分析】由，可得當時，，兩式相減可證得數(shù)列是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列，即可求出的通項公式.【詳解】由已知，，①，當時，，當時，②，①－②得：，整理得：，即，又符合上式，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：.11．（2023·四川成都·樹德中學校考模擬預測）數(shù)列前項和，若，令，則前10項和________．【答案】45【分析】利用已知條件求出數(shù)列和的通項公式，進而求和即可.【詳解】數(shù)列前項和，由①得當時解得，當時②，由①②式作差得出，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為2，所以.所以，從而前10項和為.故答案為：4512．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，記的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構造數(shù)列，可求得的通項公式；（2）由（1）的結論可得的表達式，利用裂項求和法，可得答案.【詳解】（1）當時，，則，因為，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當時，，故.13．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若對一切正整數(shù).不等式恒成立.求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關系得到,即,再利用等差數(shù)列的通項公式求解即可;（2）根據(jù)（1）的結論得到對一切正整數(shù)恒成立,分離參數(shù)轉化為求解數(shù)列最小值問題.令,設當時,最大,列不等式組求解即可.【詳解】（1）當時,,得,當時,,整理得,等式兩邊同除得,則數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以,則.（2）不等式對一切正整數(shù)恒成立,即對一切正整數(shù)恒成立.令,設當時,最大,則,解得,因為,所以,又,則,即的最小值為.14．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，求{an}的通項．【答案】【分析】由題意可得，又，構造可得，再利用累乘法，即可求出數(shù)列的通項公式，即可得的通項公式.【詳解】∵①，∴②，②-①得：，③，因為{an}的特征函數(shù)為：，由x=1．設，④，將④代入③得：，，∴，∵，∴，∴．15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預測）記為數(shù)列的前項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用退一相減法可得數(shù)列的遞推公式，再利用累乘法可得數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消法求數(shù)列的前項和，再根據(jù)，即可得證.【詳解】（1）由已知①，所以當時，②，①②得，整理可得，則，，，，，，等式左右分別相乘得，又，所以；（2）由（1）得，則，所以，所以，又，所以，所以，即.16．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的各項均不為0，其前n項和滿足，，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列與的關系，轉化為數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可求解；（2）首先數(shù)列，再利用裂項相消法求和.【詳解】（1）當時，，即，因為，所以，兩式相減得，因為，所以，所以是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以，，故.（2）因為，所以，因為，所以.（二）消an17．（2023·全國·高三專題練習）設是數(shù)列的前n項和，且，則下列選項錯誤的是（）A． B． C．數(shù)列為等差數(shù)列 D．－5050【答案】A【分析】由可得－＝－1，即數(shù)列是以＝－1為首項，－1為公差的等差數(shù)列可判斷C，由求出可判斷A，B；由等差數(shù)列的前n項和公式可判斷D.【詳解】是數(shù)列的前n項和，且，則，

整理得－＝－1（常數(shù)），所以數(shù)列是以＝－1為首項，－1為公差的等差數(shù)列，故C正確；所以，故．所以當時，－，不適合上式，故故B正確，A錯誤；所以，故D正確．故選：A.18．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，，求【答案】【分析】根據(jù)可得，再利用累乘法即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以.19．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項和．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）將代入遞推公式即可求出答案；（2）將通項公式代入，將展開并項求和即可得出答案.【詳解】（1）由可得，，又因為為正項數(shù)列的前n項和，所以，因為，所以，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以.（2），.（三）內部消化20．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）數(shù)列的前項的和為，已知，，當時，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求的前項和【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，由已知變形可得，利用累加法可求得數(shù)列的通項公式；（2）對任意的，計算得出，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】（1）解：當時，由可得，即，因為，，所以時也滿足，當時，，所以，，當時，，也滿足上式，所以.（2）解：，對任意的，，所以，.21．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，且，，，則2023是數(shù)列的（

）A．第566項 B．第574項 C．第666項 D．第674項【答案】D【分析】由題意可證得數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式代入求解即可求出的通項公式，令，解方程即可得出答案.【詳解】由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為d，則由和可得：，解得，所以．由，得n=674．故選：D．22．（2023春·福建廈門·高三廈門一中校考期中）已知等比數(shù)列的前n項和為，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前2n項和．.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，成等差數(shù)列得出，再根據(jù)與的關系得出，即可求出的通項公式；（2）結合（1）的結論及條件，得出，，再根據(jù)分組求和即可求出的前2n項和．【詳解】（1）由，，成等差數(shù)列知，即，所以，即，因為是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以的通項公式．（2）由（1）知，，所以，，所以，所以的前2n項和．23．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化簡為，再利用和與項的關系可得，從而確定數(shù)列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，因為數(shù)列的各項都是正項，即，所以，即，所以當時，，所以數(shù)列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數(shù)列.所以.故選：C（四）隱藏的Sn24．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.【答案】【分析】當時，求出的值，在時，由可得出，兩式作差可得出在時的表達式，然后檢驗是否滿足在時的表達式，進而可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】解：因為，①當時，．②①②得，所以．當時，，也滿足上式，所以對任意的，．25．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式求出，再求出等差數(shù)列公差、首項即可求解作答.（2）利用（1）的結論求出，再利用錯位相減法求和作答.【詳解】（1）當時，，，當時，，兩式相減，得，即，顯然滿足上式，因此，設公差為，則，即，解得，因此，所以數(shù)列和的通項公式分別為，.（2）由（1）知，，則，于是，兩式相減得：，所以.26．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題中等式，可得，再結合時，可得.【詳解】當時，有，所以，當時，由，，兩式相減得，此時，，也滿足，所以的通項公式為.故選：B.27．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________.【答案】【分析】根據(jù)題目給出的遞推公式進行升次作差即可求解.【詳解】由題意…①，，…②，②①得：，則當時，，當，不適合上式.

；故答案為：.考點四因式分解28．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）已知正數(shù)數(shù)列，，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）因式分解，從而可推導得，再利用累乘法計算數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消法計算數(shù)列的前項和.【詳解】（1）∵，∴，又，∴，即．又，且，∴（2），∴，，又，∴.29．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎黜棡檎龜?shù)的數(shù)列的前項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關系即可求出結果；（2）利用錯位相減法即可求出結果.【詳解】（1），兩式相減得：，由于，則，當時，，得，，則，所以是首項和公差均為2的等差數(shù)列，故．（2）①所以②由得：，所以．30．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）已知正項數(shù)列，其前項和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項和，設，若對任意恒成立，則的最小值是___________.【答案】1【分析】利用，得出，即可判斷數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，，，，根據(jù)，不等式恒成立，轉化為，不等式且恒成立，即可得出結論.【詳解】由題意知，，且，則當時，，兩式相減得，所以，而，即，又，解得，數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，則，，，數(shù)列是單調遞增的，，而數(shù)列是單調遞減的，，因為，不等式恒成立，則，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案為：131．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？既＃┮阎棓?shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求的前100項和.【答案】(1)(2)9089【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關系，即可得到數(shù)列是等差數(shù)列。從而得到其通項公式；（2）根據(jù)題意，由分組求和即可得到結果.【詳解】（1）依題意，當時，解得，，當時，有，作差得：，，，數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，.（2）由（1）得，，又，同時，.所以的前100項和為9089.32．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項，即可得解.【詳解】解：因為，所以，即，等式兩邊開方可得：，即，所以數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C．33．（2023·全國·高三專題練習）若正項數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是_______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件將原等式變形成，再利用構造成基本數(shù)列的方法求解即得.【詳解】在正項數(shù)列中，，則有，于是得，而，因此得：數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列的通項公式是.故答案為：考點五累加法求通項34．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，．則數(shù)列的通項公式________；數(shù)列的通項公式________．【答案】【分析】利用與之間的關系可得的通項公式；利用累加法可求出的通項公式【詳解】因為①，所以有，②，得，即，所以數(shù)列的通項公式為；由可得，上述式子相加可得，經檢驗滿足所以數(shù)列的通項公式故答案為：；35．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)且【分析】（1）由，利用累加法求數(shù)列通項公式，注意驗證；（2）由題設得，討論的奇偶性分別求出對應前n項和即可.【詳解】（1），當時，檢驗知：當時上式也成立，故．（2）．當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，且，又時滿足上式，此時；且.36．（2023·內蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）設各項都為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設函數(shù)，且，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由遞推關系，根據(jù)累加法求數(shù)列的通項公式；（2）由條件可得，利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）由，可得，當時，，以上各式分別相加得，又，所以當時，，經檢驗符合，所以，；（2），，，兩式相減得：，所以，故，所以.37．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【分析】對已知遞推關系的等式兩邊同時除以，利用累加法，結合裂項求和法即可求得結果.【詳解】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.38．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為_____________.【答案】【分析】根據(jù)題意分和兩種情況，結合疊加法和裂項相消法運算求解.【詳解】∵，則當時，則，解得；當時，等式兩側同除，可得，則，令，則，，利用疊加法可得：，，，疊加得，即，所以，即，可得；綜上所述：.故答案為：.39．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設各層球數(shù)構成一個數(shù)列，，，，…，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由累加法可得，求出，可得答案.【詳解】由題意可得，時，，，，…，，以上各式相加可得，所以，且，所以，所以，，則.故選：B.40．（2023·全國·高三對口高考）已知向量序列：滿足如下條件：，且．若，則________；中第________項最?。敬鸢浮?3【分析】由可得，根據(jù)條件計算即可得的值；根據(jù)數(shù)量積與模的關系將轉化為關于的函數(shù)求何時取得最小值即可.【詳解】因為，所以累加得，所以，則；,易知當時取得最小值，此時.故答案為：9；3.考點六累乘法求通項41．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學?？级＃┮阎獢?shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用累乘法計算；（2）運用裂項相消法求和.【詳解】（1）由題意：

，，，，將代入上式也成立，；（2），.42．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；（2）由（1）易得，再利用裂項相消法求解.【詳解】（1）解：因為，，所以，所以當時，滿足條件，所以；（2）因為，所以，所以，所以.43．（2023·河南·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047【答案】C【分析】根據(jù)遞推關系化簡后，由累乘法直接求.【詳解】，，即，可得，.故選：C.44．（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，，且（且），若，則（

）A．46 B．49 C．52 D．55【答案】B【分析】根據(jù)遞推關系利用累乘法求數(shù)列的通項，然后代入計算即可.【詳解】因為當時，，即，所以．因為．又，所以．因為，所以，解得或（舍去）．故選：B．45．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前18項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)列的遞推公式，結合累乘法，求得其通項公式，根據(jù)三角函數(shù)的計算，求得數(shù)列的周期，整理數(shù)列的通項公式，利用分組求和，可得答案.【詳解】由，則，即，顯然，滿足公式，即，當時，；當時，；當時，；當時，，當時，；當時，；則數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，則，設數(shù)列的前項和為，.故選：D.考點七構造法求通項型46．（2023·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為________．【答案】【詳解】，，，．是首項為，公比為2的等比數(shù)列．所以．故答案為．【方法點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法，難度稍大．求數(shù)列通項公式的方法常用的有:觀察法，公式法，累加法，累乘法，構造法，取倒數(shù)法等．本題應用構造法求數(shù)列的通項公式，即先構造一個等比數(shù)列，先求等比數(shù)列的通項公式，再求所求數(shù)列的通項公式．47．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則__________．【答案】【分析】待定系數(shù)構造等比數(shù)列求解.【詳解】∵，由，解得，∴有，是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，得，∴．故答案為：48．（2023·全國·模擬預測）在數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，進而得；（2）由題知為單調遞減數(shù)列，再根據(jù)，，分和兩種情況討論求解即可；【詳解】（1）解：因為在數(shù)列中，，，所以，，所以，等式兩邊同加上得，因為，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，．（2）解：因為，即所以，為單調遞減數(shù)列，因為，，所以，時，，時，，記的前項和為，則，所以，當時，，；當時，，，①，②所以，①②得：，即，綜上，型49．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為_____________.【答案】【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，結合等比數(shù)列分析運算；解法二：整理得，結合等比數(shù)列分析運算；解法三：整理得，根據(jù)累加法結合等比數(shù)列求和分析運算.【詳解】解法一：設，整理得，可得，即，且，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，整理得，且，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，當時，則，故，顯然當時，符合上式，故.故答案為：.50．（2023·全國·高三專題練習）已知在數(shù)列中，，，則______．【答案】【分析】由構造法可得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，解得．故答案為：.型51．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為___________.【答案】【分析】變換得到，令，得到，得到答案.【詳解】設，化簡后得，與原遞推式比較，對應項的系數(shù)相等，得，解得，即，令，則，又，故，，得.故答案為：52．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是首項為.(1)求通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，解得，得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，得到通項公式.（2）確定，再利用分組求和結合等差等比數(shù)列求和公式計算得到答案.【詳解】（1），設，即，即，解得，，故是首項為，公比為的等比數(shù)列.，故.（2），則.型53．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，，求【答案】=．+．【分析】法1：構造為等比數(shù)列，求出其通項，再分奇偶討論，利用累加法求解即可；法2：利用二階特征根方程求解得到，根據(jù)，列方程組求出和即可.【詳解】法1：已知，所以，則是首項為，公比為3的等比數(shù)列，故，則，得，當n為奇數(shù)時，，，，，，累加可得，，所以，當n為偶數(shù)時，，綜上，；法2：由特征根方程得，，，所以，其中，解得，，.54．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：存在兩個等比數(shù)列，，使得成立．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由構造出，用等比數(shù)列定義證明即可；（2）通過兩次構造等比數(shù)列，求出的通項公式，根據(jù)通項公式得出結論即可.【詳解】（1）由已知，，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）∵，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，①，又∵由第（1）問，，②，∴②①得，，∴存在，，兩個等比數(shù)列，，使得成立．55．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【答案】.【分析】用待定系數(shù)法構造數(shù)列，再利用迭代法求通項公式；也可用數(shù)列的特征根求解.【詳解】解法一：（待定系數(shù)——迭加法）由，得，且．則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是,把代入，得，,,，．把以上各式相加，得.所以．解法二：（特征根法）：數(shù)列：，的特征方程是：．所以又由，于是，故.型56．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，且，分別求和的通項公式．【答案】，【分析】根據(jù)數(shù)列的構造關系和等比數(shù)列的定義以及通項公式和累加法即可求解.【詳解】因為，所以．令，則，即，所以，又，所以，所以，所以．所以.，累加可得．57．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，.(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)求使取得最小值時的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)可得，即，再利用累加法求解即可；（2）根據(jù)數(shù)列的通項公式判斷出數(shù)列的單調性，結合數(shù)列的單調性即可得解.【詳解】（1），由，得，即，當時，，所以，當時，上式也成立，所以；（2）由（1）可知，，當時，，即，當時，，即，當或時，，即，則數(shù)列在且上遞減，在且上遞增，，所以取得最小值時或.考點八同除以指數(shù)58．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為___________.【答案】．【分析】已知式兩邊同除以，構造一個等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得結論．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．故答案為：．59．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.【答案】.【分析】由待定系數(shù)法構造等比數(shù)列后求解【詳解】由兩邊同除以得，令，則，設，解得，，而，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，得60．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；【答案】．【分析】由已知可得數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求其通項公式，可得數(shù)列的通項公式；【詳解】解：由，得：，∴，即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．考點九取倒數(shù)求通項形如型61．（2023春·新疆·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式；【答案】【分析】首先證得是等差數(shù)列，然后求出的通項公式，進而求出的通項公式；【詳解】解：因為，所以令，則，解得，對兩邊同時除以，得，又因為，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；【點睛】感悟升華（核心秘籍：注意判斷已知條件是否符合標準形式）類型1：用“待定系數(shù)法”構造等比數(shù)列1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型1的標準形式；2、直接記憶，解題時直接在草稿紙上構造好；3、構造等比數(shù)列類型2：用“同除法”構造等差數(shù)列（1）1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2（1）的標準形式；2、兩邊同除；3、構造數(shù)列為等差數(shù)列類型2：用“同除法”構造等差數(shù)列（2）1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2（2）的標準形式；2、兩邊同除；3、構造出新的等差數(shù)列62．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列滿足，若的前項和為，且，則__________【答案】【分析】根據(jù)可得出數(shù)列是周期為2的周期數(shù)列，利用周期數(shù)列求解即可.【詳解】因為正項數(shù)列滿足，所以，即，則，因此，即，數(shù)列是周期為2的數(shù)列，因此由可得，，解得，即，故答案為：.形如型63．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的通項公式．【答案】．【分析】將已知式子變形為，進而根據(jù)等比數(shù)列的定義求得答案．【詳解】，，則，則，，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．于是，．64．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）已知數(shù)列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式__________．【答案】【分析】變換得到，設，得到，利用累加法計算得到答案.【詳解】，則，設，，則，，而也符合該式，故，故.故答案為：65．【多選】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，則下列結論正確的有（）A．為等比數(shù)列B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列D．的前n項和【答案】ABD【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項結合等比數(shù)列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：ABD.考點十不動點法求通項66．（2023·全國·高三專題練習）已知，，求的通項公式．【答案】．【分析】先將條件進行變形，化簡為，進而變形為，然后通過等比數(shù)列的概念求得答案．【詳解】由題意，，所以，則，而，故是以為首項，3為公比的等比數(shù)列．于是．67．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，且，求其通項公式．【答案】【分析】根據(jù)特征方程解出，令，得到，利用取倒數(shù)法求出，即可求出的通項公式．【詳解】因為，所以特征方程為，解得,令，代入原遞推式得,因為，所以，故,因此，，從而,又因為，所以．68．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式．【答案】【分析】令，求出數(shù)列的不動點，據(jù)此變形遞推關系式，可構造等差數(shù)列，即可求出數(shù)列通項公式．【詳解】令．先求出數(shù)列的不動點，解得．將不動點代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項公式為．將代入，得．∴．69．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項．【答案】【分析】用數(shù)列的特征方程可求解.【詳解】其特征方程為，化簡得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，．70．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的通項公式為______．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式構造得到數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求通項公式.【詳解】，①．②由得．又因為，所以是公比為，首項為的等比數(shù)列，從而，即．故答案為：考點十一對數(shù)變換法71．（2023·山東日照·三模）已知數(shù)列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變換得到，得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，，計算得到答案.【詳解】，，易知，故，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，故.故選：C.72．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知正項數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設為數(shù)列的前n項和，且．求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用換底公式和累乘法求出數(shù)列的通項公式；（2）由作差法求出數(shù)列的通項公式．【詳解】（1）已知（且），設，則，所以，當時，．即，所以，當時，符合上式，所以；（2），當時，，當時，，則．73．（2023·全國·高三專題練習）已知為正項數(shù)列的前n項的乘積，且．(1)求的通項公式；(2)若，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由，兩式相除結合對數(shù)運算得，代入數(shù)值可得數(shù)列是常數(shù)列，即可得通項公式；（2）不等式由裂項相消法求和放縮即可證.【詳解】（1），所以，所以，所以，即，所以，當時，，解得，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以，所以，所以．（2）證明：因為，所以74．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和，求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定制，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列得通項即可得解；（2）由，得，則，則，再利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和，即可得證.【詳解】（1）因為，所以，則，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以；（2）由，得，則，所以，所以，所以，因為，所以，所以.75．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則________【答案】【解析】等價變形，換元設，得，兩邊取對數(shù)，得是首項，公比的等比數(shù)列，求出可解.【詳解】，，，設，則，，兩邊取對數(shù)，，，所以是首項，公比的等比數(shù)列，，，故答案為：【點睛】本題考查的是由數(shù)列的遞推公式求通項公式，常見的求解方法有如下幾種：累和法，適用于的形式，累乘法，適用于的形式，構造法，適用于的形式，適當?shù)呐錅惓?shù)使其變形為，轉化等比數(shù)列求解，形如的遞推公式可兩邊同除以指數(shù)式，轉化為的形式，形如的遞推公式可通過兩邊取倒數(shù)的方法轉化為的形式考點十二周期數(shù)列76．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，求出數(shù)列的周期即可計算作答.【詳解】，，顯然，否則，矛盾，則，于是，因此是周期為4的周期數(shù)列，所以.故答案為：77．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則_______.【答案】2【分析】先求不動點方程，根據(jù)方程無解再逐項計算根據(jù)周期求解即可.【詳解】第一步，求不動點，設，令得：，化簡得：，顯然該方程無解，這種情況下一般是周期不大的周期數(shù)列，我們只需算出前幾項，找出規(guī)律即可，由題意，，所以，，，，，，從而是以6為周期的周期數(shù)列，故.故答案為：2.78．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）數(shù)列1，3，2，…中，，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】利用推導出，即數(shù)列具有周期，利用數(shù)列的周期性可求得和的值.【詳解】因為，所以，所以，所以數(shù)列的周期為6，因為，，所以，，所以.故選：C79．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足：對任意，均有．若，則____．【答案】2024【分析】由得到數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】解：由題意得，所以，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以，故答案為：202480．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知數(shù)列滿足且，為數(shù)列的前n項和，則=________．【答案】2026【分析】根據(jù)遞推公式推出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，求出和，則，代入相應值計算即可．【詳解】由得，則，則，所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，在中，令，得，得，得，在中，令，得，得，得，所以+.故答案為：81．（2023·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前n項和，，平面內三個不共線的向量，，滿足，若A，B，C三點在同一直線上，則______【答案】/8.5【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得，再推出，確定其周期性計算即可.【詳解】由A，B，C三點在同一直線上可知，即，則，又，則，，，，故數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，．故答案為：考點十三等和數(shù)列82．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，，且，若，則n的最大值為（

）A．50 B．51 C．52 D．53【答案】B【分析】已知式變形后得出是以－1為公比的等比數(shù)列，從而可求出通項公式，然后由分組求和法求得，結合函數(shù)單調性可得結論．【詳解】∵，∴，∵是以－1為公比的等比數(shù)列，∴，,∴，當n為偶數(shù)時，無解，當n為奇數(shù)時，，∴，又，∴，即，即，在上是增函數(shù)，又n為奇數(shù)，，，故n的最大值為51.故選：B.83．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃?shù)列滿足，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意得利用的值，結合等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】由題可得因為，又因為，故答案為：.84．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】D【分析】根據(jù)遞推關系可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，即可求出.【詳解】因為，，，所以，則，，，…，所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則.故選：D.考點十四等積數(shù)列85．（2023春·安徽·高三統(tǒng)考開學考試）已知數(shù)列滿足，,則的前項積的最大值為（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】先通過遞推關系推出數(shù)列的周期為，然后個數(shù)為一組，分別計算的表達式后進行研究.【詳解】由可知，，，亦可得：，兩式相除得：，即，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，由得：.記數(shù)列的前項積為，結合數(shù)列的周期性，當，則，記，為了讓越大，顯然需考慮為偶數(shù)，令，結合指數(shù)函數(shù)的單調性，則，即；類似的，.綜上所述，的前項積的最大值為.故選：C.86．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若的前n項積的最大值為3，則的取值范圍為（

）A． B． C．D．【答案】A【分析】根據(jù)給定遞推關系，探討數(shù)列的周期性，再討論計算作答.【詳解】數(shù)列中，，，則有，因此，，，因數(shù)列的前n項積的最大值為3，則當，的前n項積，當，的前n項積，當，的前n項積，解得，當，的前n項積，當，的前n項積，當，的前n項積，解得，顯然，綜上得或，所以的取值范圍為.故選：A考點十五前n項積型87．（2023·全國·高三專題練習）記為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項積，已知，則的通項公式為______.【答案】【分析】由題意可得，利用及等差數(shù)列的定義求出的通項公式，進而可得，再利用當時求解即可.【詳解】由已知可得，且，，當時，由得,由于為數(shù)列的前項積，所以，，所以，又因為，所以，即，其中，所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列，所以，，當時，，當時，，顯然對于不成立，所以，故答案為：88．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1),(2)【分析】（1）對于數(shù)列,根據(jù),利用和的關系求解;對于數(shù)列,因為其前項積,根據(jù)即可求解;（2）由（1）知,利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）當時,,∴,當時,,化簡得,∵,∴,∴數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,∴.當時,,當時,，當時也滿足，所以.（2）,設①,則②,①-②得,∴.89．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）已知數(shù)列的前項的積(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，，即可求出答案；（2），由此可求得答案.【詳解】（1），當時，.當時，，滿足上式，.（2）.考點十六正負相間討論、奇偶討論型90．（2023秋·浙江湖州·高三安吉縣高級中學?？计谀┮阎獢?shù)列滿足.(1)若數(shù)列滿足，求及的通頊公式；(2)數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中的遞推關系求，整理可得，可得，結合等比數(shù)列的定義與通項公式運算求解；（2）根據(jù)題意整理可得，利用并項求和結合等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳解】（1）由題意可得：，即，∵，即，可得：，且，故數(shù)列是以首項為4，公比的等比數(shù)列，故，即.（2）由題意可得：，故，故.91．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，，且，若，則______．【答案】25【分析】由已知列舉的前9項，得出其規(guī)律，再計算即可.【詳解】當時，，，，，，，，，，則數(shù)列從第6項開始，數(shù)列為周期為3的周期數(shù)列，一個周期三項的和為7．因為；所以，由，，得，所以，所以．故答案為：25．92．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構造法求出的通項，從而可得的通項公式；（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結合分組求和法即可得解.【詳解】（1），得，因為，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，故，所以；（2）當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，綜上所述，.93．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，，，則______；的前2022項和為______．【答案】2024【分析】求出數(shù)列前若干項，根據(jù)其周期性可解.【詳解】由，得，又，所以，，，，，可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為4，故.故答案為：；2024.考點十七結合實際背景求通項94．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率______（用含n的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)題意先得“第次由甲擲”和“第次由甲擲”的概率關系，然后根據(jù)遞推公式構造等比數(shù)列可解.【詳解】易知擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為．“第次由甲擲”這一事件，包含事件“第n次由甲擲，第次繼續(xù)由甲擲”和事件“第n次由乙擲，第次由甲擲”，這兩個事件發(fā)生的概率分別為，，故（其中），所以，所以數(shù)列是以為