圓外內(nèi)旋輪線的產(chǎn)生和應(yīng)用

1圓外內(nèi)旋輪線應(yīng)用圓形旋轉(zhuǎn)的軸（內(nèi)部）線廣泛存在于自然界，如一些枝葉的形狀和視場(chǎng)的視場(chǎng)。圓外旋轉(zhuǎn)的軸（內(nèi)部）線也在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用，如二級(jí)導(dǎo)桿的軌道控制、三角形發(fā)動(dòng)機(jī)的外輪輪廓和紅外勘探的采樣軌跡。在這種情況下，學(xué)生可以輕松了解圓形旋轉(zhuǎn)的莖（內(nèi)部）線及其起源和應(yīng)用，加深對(duì)圓形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)合成的理解。2動(dòng)時(shí)部分軌跡一圓周沿另一圓周外(內(nèi))部滾動(dòng)而無滑動(dòng)時(shí),圓周上一點(diǎn)M所描成的軌跡即為外(內(nèi))旋輪線.如果M點(diǎn)在圓周外,則為長(zhǎng)幅旋輪線,在圓周內(nèi)則為短幅旋輪線.3儀器設(shè)計(jì)3.1圓周運(yùn)動(dòng)的合成偏轉(zhuǎn)鏡是實(shí)驗(yàn)裝置的核心,它由反射鏡和電動(dòng)機(jī)共同組成,因?yàn)榉瓷溏R的法線和旋轉(zhuǎn)軸有一定的角度,所以激光經(jīng)偏轉(zhuǎn)鏡反射后會(huì)形成圓錐掃描,在屏上得到的光斑運(yùn)動(dòng)軌跡將是“圓錐殼”的截線——圓,如果再在光路上增加1個(gè)偏轉(zhuǎn)鏡系統(tǒng),則光斑的運(yùn)動(dòng)軌跡將是2個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的合成,即圓外(內(nèi))旋輪線.實(shí)驗(yàn)儀器示意裝置如圖1所示,實(shí)物如圖2所示.3.2儀器的成像分析激光器:632.8nm,1.5mW,He-Ne激光器.電機(jī):型號(hào)RF-500TB-14415,電壓1.0～9.0V,轉(zhuǎn)速1800～3700r/min.反射鏡:Φ58mm×0.8mm,鏡面不銹鋼.電源:0～30V,雙路直流穩(wěn)壓穩(wěn)流電源.圖3是成像示意圖,其中偏轉(zhuǎn)鏡A的法線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角(簡(jiǎn)稱法軸角,下同)約為4°,偏轉(zhuǎn)鏡B的法軸角約為3°,所以儀器的整體掃描角度α為α=4°×2+3°×2=14°.也就是說,當(dāng)儀器到屏的距離為1m左右時(shí),圖案的尺寸約為1m×tan(14°2)×2=251m×tan(14°2)×2=25cm.3.3結(jié)果分析和討論優(yōu)點(diǎn):結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于講解原理;元件少,工藝簡(jiǎn)單,易于制作.技術(shù)要求:1)反射鏡的重心應(yīng)在旋轉(zhuǎn)軸的軸線上,如果偏離較大,會(huì)造成儀器的劇烈抖動(dòng),從而影響實(shí)驗(yàn)效果.2)法軸角不宜太大,否則會(huì)造成圖案缺失,或圖案過大不易觀看.另外,用鏡面不銹鋼代替玻璃平面鏡能有效降低負(fù)載質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,這樣不僅能降低由偏心引起的儀器抖動(dòng),更重要的是能使儀器對(duì)電壓調(diào)節(jié)的反應(yīng)更加靈敏,否則滯后效應(yīng)將明顯影響對(duì)圖案穩(wěn)定的調(diào)節(jié).4旋轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)鏡中的定圓和動(dòng)圓半徑比圖4中列出了2個(gè)偏轉(zhuǎn)鏡同向和反向時(shí)的圖案(同向和反向指的是相對(duì)于同一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸來說,兩偏轉(zhuǎn)鏡的旋轉(zhuǎn)方向是相同或相反).圖中所列比值為偏轉(zhuǎn)鏡A和偏轉(zhuǎn)鏡B轉(zhuǎn)速的比值,若圖案是動(dòng)圓繞定圓做無滑滾動(dòng)而形成的,則定圓和動(dòng)圓半徑的比在相應(yīng)的圖案下用括號(hào)中的比值表示.5觀察5.1轉(zhuǎn)鏡轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度設(shè)當(dāng)A偏轉(zhuǎn)鏡轉(zhuǎn)動(dòng),而B偏轉(zhuǎn)鏡不動(dòng)時(shí),屏幕上掃描圓的半徑為rA;當(dāng)B偏轉(zhuǎn)鏡轉(zhuǎn)動(dòng),A偏轉(zhuǎn)鏡不動(dòng)時(shí),屏幕上的掃描圓的半徑為rB;ωA和ωB分別為A和B偏轉(zhuǎn)鏡的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度;則屏幕上反光點(diǎn)的軌跡可表示為{x=rAcosωAt+rBcosωBt?y=rAsinωAt+rBsinωBt.5.2電機(jī)偏轉(zhuǎn)鏡轉(zhuǎn)速不能控制轉(zhuǎn)速的問題實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示,其中:ωA為偏轉(zhuǎn)鏡A的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,ωB為偏轉(zhuǎn)鏡B的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,ωA/ωB為實(shí)際的轉(zhuǎn)速比,ΩA/ΩB為理論的轉(zhuǎn)速比,ωAωB-ΩAΩB為實(shí)際值和理論值的差.受限于電機(jī)性能和儀器結(jié)構(gòu),偏轉(zhuǎn)鏡轉(zhuǎn)速不能控制得很精確、很穩(wěn)定,所以圖案看起來存在很緩慢的轉(zhuǎn)動(dòng)現(xiàn)象,導(dǎo)致實(shí)際的轉(zhuǎn)速比和理論值存在差異,但是從表1和表2中最后一列的的數(shù)字可以看得出來,這種差異是很小的.5.3測(cè)量范圍和分辨率實(shí)驗(yàn)所用儀器為臺(tái)灣產(chǎn)路昌DT-2234A+光電式轉(zhuǎn)速表,可測(cè)量范圍為2.5～99999r/min,分辨率為0.1r/min(2.5～999.9r/min),1r/min(1000r/min以上).6同向或3/1,動(dòng)圓心c.圖5分別給出了同向和反向時(shí)圖案.其表達(dá)式如式(1)、式(2)所示,為便于分析,選擇的2個(gè)圖案的轉(zhuǎn)速比分別為5/1(同向)和3/1(反向),因?yàn)檫@2個(gè)圖案定圓和動(dòng)圓半徑的比都是4/1.{x=(a+b)cost-λcosa+bbt?y=(a+b)cost-λcosa+bbt.(1){x=(a-b)cost+λcosa-bbt,y=(a-b)cost+λcosa-bbt.(2)式中a為定圓的半徑,b為動(dòng)圓的半徑,t=∠COx,λ為M點(diǎn)到動(dòng)圓圓心C的距離.7旋轉(zhuǎn)角公式從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可以看出來:1)同向時(shí)的圖案是圓外旋輪線,而反向時(shí)是圓內(nèi)旋輪線.還有,在多數(shù)文獻(xiàn)中旋輪線的圖案都是由1個(gè)小半徑的動(dòng)圓繞1個(gè)大半徑的定圓做無滑滾動(dòng)形成的,即使是長(zhǎng)幅旋輪線,λ也沒有超過定圓圓心的,而從圖4～5中可以看得出來,對(duì)角線右上部的圖案正是小半徑的動(dòng)圓繞大半徑的定圓滾動(dòng)而形成的,而對(duì)角線左下部的圖案則是大半徑的動(dòng)圓繞小半徑的定圓做無滑滾動(dòng)而形成的,所以曲線的每支都超越了圖案的中心.2)由于偏轉(zhuǎn)鏡A和B的法軸角不相等,所以轉(zhuǎn)速比為ωA/ωB(其中ωA和ωB分別為兩偏轉(zhuǎn)鏡A和B所在電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度)和ωB/ωA的2個(gè)圖案不一樣,但卻很相似.3)由于圖案既可以認(rèn)為是2個(gè)偏轉(zhuǎn)鏡的合成效果,也可以認(rèn)為是動(dòng)圓繞定圓做無滑滾動(dòng)而形成的,所以轉(zhuǎn)速比ωA/ωB和半徑比r定/r動(dòng)(其中r定為定圓半徑,r動(dòng)為動(dòng)圓半徑)之間存在換算關(guān)系;又因?yàn)閯?dòng)圓繞定圓做的是無滑滾動(dòng),所以動(dòng)圓圓心繞定圓的公轉(zhuǎn)線速度v公和動(dòng)圓圓周上一點(diǎn)的線速度(或稱動(dòng)圓的自轉(zhuǎn)線速度)v自相等,則有:同向時(shí)(如圖6所示),由v公=v自得ωA(r定+r動(dòng))=ωBr動(dòng),即ωAωB=r動(dòng)r定+r動(dòng)或r定r動(dòng)=ωA+ωBωA.反向時(shí)(如圖7所示),由v公=v自得ωA(r定-r動(dòng))=ωBr動(dòng),即ωAωB=r動(dòng)r定-r動(dòng)或r定r動(dòng)=ωA-ωBωA.4)曲線的形狀由m=r定/r動(dòng)的值而定,當(dāng)m為分?jǐn)?shù)(m=g/h,g和h為互素的整數(shù))時(shí),曲線由g支組成,動(dòng)點(diǎn)M描完g支后(即動(dòng)圓繞定圓h周),返回起始位置.8改進(jìn)的儀器和方法本儀器制作簡(jiǎn)單,圖形完美、醒目,操作容易,為圓外(內(nèi))旋輪線的展示和生成提供了新的途徑和方