專(zhuān)題四函數(shù)、不等式中的恒成立問(wèn)題

縱觀近幾年高考對(duì)于函數(shù)、不等式中恒成立問(wèn)題的考查重點(diǎn)是一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，圖象、滲透換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.有的學(xué)生看到就頭疼的題目，分析原因除了這類(lèi)題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒(méi)有形成解題的模式和套路，以至于遇到類(lèi)似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)的這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)和探討.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題的關(guān)鍵是函數(shù)的單調(diào)性和最值，各類(lèi)不等式與函數(shù)最值關(guān)系如下：(續(xù)表)

注：上述的大于、小于改為不小于、不大于，相應(yīng)的與最值對(duì)應(yīng)關(guān)系的不等式也改變.如果函數(shù)沒(méi)有最值，那么上述結(jié)果可以用函數(shù)值域相應(yīng)的端點(diǎn)值表述.[例1]已知兩個(gè)函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，x∈[－3,3]，k∈R.(1)若對(duì)?x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若?x∈[－3,3]，使得f(x)≤g(x)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)若對(duì)?x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：(1)設(shè)h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈[－3,3]時(shí)，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0，x∈[－3,3].令h′(x)＝6x2－6x－12＝0，得

x＝2或

x＝－1，∵h(yuǎn)(－3)＝k－45，h(－1)＝k＋7，h(2)＝k－20，h(3)＝k－9，∴h(x)min＝k－45≥0，得

k≥45.(2)據(jù)題意：?x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即為h(x)＝g(x)－f(x)≥0在x∈[－3,3]上能成立，∴h(x)max≥0.∴h(x)max＝k＋7≥0，即k≥－7.(3)據(jù)題意：f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]，易得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－3)＝－21，∴120－k≤－21，得k≥141.[例2](2020年押題導(dǎo)航卷)已知函數(shù)f(x)＝ex[x2＋(2a－5)·x－8a＋5](a∈R).(1)若曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線與直線x－6y＋1＝0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，若不等式f(x)≥2e2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)由f(x)＝ex[x2＋(2a－5)x－8a＋5]得f′(x)＝ex[x2＋(2a－3)x－6a]＝ex(x＋2a)(x－3)，f′(0)＝－6a＝－6，所以a＝1.(2)f′(x)＝ex(x＋2a)(x－3)，x∈[0,2]，令f′(x)＝ex(x＋2a)(x－3)＝0，得x1＝－2a，x2＝3，①當(dāng)－2a≤0，即a≥0時(shí)，f(x)在(0，2)單調(diào)遞減，依題意則有，f(2)＝－4(a＋1)e2≥2e2成立，②當(dāng)0<－2a<2，即－1<a<0時(shí)，f(x)在(0，－2a)上單調(diào)遞增，在(－2a，2)上單調(diào)遞減，【規(guī)律方法】已知不等式恒成立(或有解)求參數(shù)問(wèn)題的解法(轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題)(1)分離參數(shù)法：化為

a>f(x)(或

a<f(x))恒成立或有解?a>fmax(x)(或a<fmin(x))或a>fmin(x)(或a<fmax(x))(2)直接求最值法：①f(x)>0恒成立(或有解)?fmin(x)>0(或fmax(x)>0)②解不等式，求參數(shù)的取值范圍.[例3](2020年大數(shù)據(jù)精選模擬卷)已知函數(shù)f(x)＝4x2－7 2－x，x∈[0,1]. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；

(2)設(shè)a≥1，函數(shù)g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若對(duì)于任意x1∈[0,1]，總存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范圍.

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：(2)g′(x)＝3(x2－a2).∵a≥1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<3(1－a2)≤0，因此當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，有g(shù)(x)∈[g(1)，g(0)].又∵g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，有g(shù)(x)∈[1－2a－3a2，－2a].對(duì)于任意x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，則[1－2a－3a2，－2a]?[－4，－3].

【名師點(diǎn)評(píng)】(1)求f(x)的值域可以利用導(dǎo)數(shù)，也可以利用基本不等式求解；

(2)若對(duì)于任意x1∈[0,1]，總存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，本質(zhì)就是函數(shù)f(x)的值域是函數(shù)g(x)值域的子集.(1)求曲線f(x)在x＝1處的切線方程；(2)討論函數(shù)g(x)的極小值；(3)若對(duì)任意的x1∈[－1,0]，總存在x2∈[e,3]，使得f(x1)>g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)∵f′(x)＝

x－ex＋(1－x)ex＝x(1－ex)，∴f′(1)＝1－e，即所求切線的斜率為1－e.a<1，又g(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}， ∴當(dāng)0<a<1時(shí)，由g′(x)>0，得0<x<a或x>1.

由g′(x)<0，得a<x<1.∴g(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)單調(diào)遞增.∴g(x)的極小值為g(1)＝1－a.當(dāng)a≤0時(shí)，由g′(x)>0得x>1，由g′(x)<0得0<x<1，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.g(x)極小值＝g(1)＝1－a.綜上，g(x)極小值＝1－a.

(3)對(duì)任意的x1∈[－1,0]，總存在x2∈[e,3]，使得f(x1)>g(x2)成立，等價(jià)于f(x)在[－1,0]上的最小值大于g(x)在[e,3]上的最小值.

當(dāng)x1∈[－1,0]時(shí)，f′(x)＝x(1－ex)≤0，

f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(0)＝1.

由(2)知，g(x)在[e,3]上單調(diào)遞增，

注：e＝2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

思維點(diǎn)撥：(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可. (2)由題意首先由函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值得到