/第五節(jié)直線與圓錐曲線考綱解讀掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，能熟練運用函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化和分類討論思想解題。命題趨勢探究從內(nèi)容上看，直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題是高考的熱點，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系中的求弦長，焦點弦長及弦中點，取值范圍和最值等問題。從形式上看，以解答題為主，難度較大從能力上看，要求考生具備數(shù)形結(jié)合，分析轉(zhuǎn)化及分類討論的能力預(yù)測在2015年高考中：題目主要以解答題的形式出現(xiàn)，這類問題的綜合性強，注重與一元二次方程的判別式，韋達(dá)定理，不等式相結(jié)合，重在考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)運算能力，具有較高的區(qū)分度，關(guān)注與向量綜合的探索性題目，分值基本保持在12-14分。知識點精講一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,通常將直線的方程代入圓錐曲線的方程,消去(也可以消去)得到關(guān)系一個變量的一元二次方程,,即,消去后得(1)當(dāng)時,即得到一個一元一次方程,則與相交,且只有一個交點,此時,若為雙曲線,則直線與雙曲線的漸近線平行;若為拋物線,則直線與拋物線的對稱軸平行(2)當(dāng)時,,直線與曲線有兩個不同的交點;,直線與曲線相切,即有唯一的公共點(切點);,直線與曲線二、圓錐曲線的弦連接圓錐曲線上兩點的線段稱為圓錐曲線的弦直線,曲線為與的兩個不同的交點,坐標(biāo)分別為,則是方程組的兩組解,方程組消元后化為關(guān)于的一元二次方程(),判別式,應(yīng)有,所以是方程的根,由根與系數(shù)關(guān)系(韋達(dá)定理)求出,所以兩點間的距離為,即弦長公式,弦長公式也可以寫成關(guān)于的形式三,已知弦的中點,研究的斜率和方程(1)是橢圓的一條弦,中點,則的斜率為,運用點差法求的斜率;設(shè),都在橢圓上,所以,兩式相減得所以即，故運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則題型歸納及思路提示題型147直線與圓錐曲線的位置關(guān)系思路提示（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到。（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切。例10.35已知兩點，給出下列曲線方程②③④在曲線上存在點滿足的所有曲線方程是。（寫出所以正確的編號）分析所選曲線上存在點滿足，等價于曲線與線段的垂直平分線有公共點。解析由，得線段的中點為又，故線段的垂直平分線為即，顯然①中直線與直線平行，不符合題意，對于②，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，符合題意。對于③，由，消去得，故直線與橢圓相切，符合題意。對于④，由，消去得，故直線與雙曲線相交，符合題意。綜上所述，應(yīng)填②③④變式1對于拋物線，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部，若點在拋物線的內(nèi)部，則直線與拋物線的位置關(guān)系是變式2設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值范圍是例10.36如圖10-26所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條直線垂直于軸的直線分別與線段和直線交于兩點.若，求的值若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線。分析，通過聯(lián)立直線與拋物線方程消去一個變量得一元二次方程，再利用韋達(dá)定理；當(dāng)，即可證得為拋物線的切線。解析（1）設(shè)過點的直線為則，得，由韋達(dá)定理可知以為兩點在拋物線上，所以，則故，即得或（舍）（2），即故為此拋物線的切線評注過拋物線的焦點任作一直線與拋物線交于兩點，過兩點的切線的交點在準(zhǔn)線上，或過拋物線的焦點任作一直線與拋物線交于兩點，過兩點的切線的交點在準(zhǔn)線上。如圖10-27所示，過拋物線的焦點任作一直線與拋物線交于兩點，可得知如下性質(zhì)：過兩點的切線的交點的軌跡為準(zhǔn)線兩條切線同理，對于拋物線上述結(jié)論仍成立證：（1）易知直線的斜率存在，故設(shè)過焦點的直線方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線發(fā)方程，得消得，設(shè)過點的切線方程為①同理，過點的切線方程為，②由①②得.故過A,B兩點的切線交與點Q,在準(zhǔn)線上.（2）因為，所以，故，，＝＝，因此，.（3）＝，＝，＝＝＝＋＝0.因此，.變式1（2012安徽理20（2））如圖10-28所示，分別是橢圓的左，右焦點，過點作軸的垂線交橢圓的上半部分于點，過點作直線的垂線交直線于點；證明：直線與橢圓只有一個公共點.圖10-28圖10-28題型148中點弦問題思路提示直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個熱點問題.這類問題一般有以下3種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）對稱問題，但凡涉及到弦的中點斜率的問題。首先要考慮是點差法.即設(shè)出弦的端點坐標(biāo)，根據(jù)端點在曲線上，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，尋找中點坐標(biāo)與弦的斜率之間的聯(lián)系.除此之外，最好也記住如下結(jié)論：在橢圓中，中點弦的斜率為，滿足.在雙曲線中，中點弦的斜率為，滿足.（其中為原點與弦中點連線的斜率）.在拋物線中，中點弦的斜率為，滿足（為中點縱坐標(biāo)）.例10.37已知過點M的直線與橢圓交與A,B兩點，且＝(O為坐標(biāo)原點)，求直線的方程.解析由題設(shè)知M是線段AB的中點，且，故直線AB的斜率存在.設(shè)，，則有，兩式相減得，，故，所以直線的方程為，即.評注由中點弦結(jié)論知當(dāng)橢圓焦點在軸上時，有，得.，則直線的方程為，即.變式1已知橢圓方程為.（1）求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；（2）過點P(2,1)的直線與橢圓相交，求被截得的弦的中點的軌跡方程.例10.38如圖10-29所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中點P在第一象限，過P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為.求證：對任意＞0，都有PA⊥PB.解析解法一：將直線PA的方程代入，解得，記，則，，于是，故直線AB的斜率為，其方程為，代入橢圓方程得,解得或，因此，于是直線PB的斜率＝，因此，所以PA⊥PB.解法二：設(shè)，，，則,,且，兩式相減得，，即，即，故，所以＝＝＝，所以PA⊥PB.變式1已知曲線，過原點斜率為的直線交曲線C于P,Q兩點，其中P在第一象限，且它在軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H.是否存在，使得對任意的＞0，都有PQ⊥PH?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.例10.39已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線,橢圓C上有兩個不同的點關(guān)于這條直線對稱.解析解法一：設(shè)出對稱的兩點及其所在的直線方程，再利用△＞0及中點在對稱軸上求解.設(shè)橢圓C上關(guān)于直線對稱的兩點為，，其所在的直線方程為，代入橢圓的方程中得，因為，所以△＝＞0，解得，又因為，，而點又在上，所以，②把①代入②得.解法二：根據(jù)點差法并結(jié)合基本不等式求出的范圍.設(shè)橢圓C上關(guān)于直線對稱的兩點為，，則有：，①，②,③.④由①－②得，即，所以，代入③得，⑤把⑤代入④得，⑥把⑥代入⑤得，⑦①＋②得.⑧由題意，，根據(jù)基本不等式得，，所以＞＋，⑨將⑥⑦⑧代入⑨得.故.解法三：橢圓C上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，等價于存在C的弦被垂直平分，且垂直必在橢圓C的內(nèi)部，因此，這類問題可考慮利用交點在曲線C的內(nèi)部建立不等式.設(shè)橢圓C上關(guān)于直線對稱的兩點為，，弦PQ的中點為，將，代入橢圓方程并整理得，即，①由點M在直線上得，②由①②得.因為M()在橢圓的內(nèi)部，所以，解得.變式1如圖10-30所示，已知橢圓E經(jīng)過點A(,3),對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在軸上，離心率.（1）求橢圓E的方程；（2）求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程；（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，請說明理由.變式2已知A,B,C是橢圓上的三個點，O是坐標(biāo)原點.（1）當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；（2）當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由.題型149弦長于面積問題思路提示在弦長有關(guān)的問題中，一般有三類問題：（1）弦長公式：.（2）與焦點相關(guān)的弦長計算，利用定義；（3）涉及到面積的計算問題.例10.40過拋物線的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A,B兩點，若線段AB的長為8，則_____.解析設(shè)過焦點且傾斜角為45°的直線方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得，消得.設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)為，，則，故＝＝＝＝8，則＝2.評注過拋物線的焦點作傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點，則.證明：設(shè)過焦點的直線方程為，由，得，即.設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)為，，則，故＝＝＝＝.在選擇或填空題中，如能運用公式，求解往往變得異?？旖?，本題運用公式，則＝2.變式1已知橢圓，過橢圓C的左焦點F且傾斜角為的直線與橢圓C交與A,B，求弦長.例10.41已知橢圓，過點作圓的切線交橢圓G與A,B兩點.（1）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；（2）將表示為的函數(shù)，并求出的最大值.解析（1）由已知得，所以，所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為，離心率為.（2）解法一：由題意知，點在圓上或圓外，≥1，當(dāng)時，切線的方程為＝1，點A,B的坐標(biāo)分別為，此時，當(dāng)時，同理可得.當(dāng)＞1，設(shè)，，切線的方程為，由得，由韋達(dá)定理得，，又由與圓相切，得，即，可得＝＝＝.上式對也成立，所以＝，.因為＝＝≤2，當(dāng)且僅當(dāng)時，＝2.所以的最大值為2.解法二：易知直線的斜率非零(否則直線與圓相交)，矛盾,故可設(shè)，,，,因為直線與圓相切，得，即，(≥1)，①由，得，，且由①得，由韋達(dá)定理得，，②所以結(jié)合①②得＝＝＝＝.所以＝，.因為＝＝≤2，當(dāng)且僅當(dāng)時，＝2.所以的最大值為2.變式1已知橢圓經(jīng)過點，其離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線：(≤)與橢圓C相交于A,B兩點，以線段OA,OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為原點，求的取值范圍.變式2已知橢圓的右頂點，離心率為,O為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓C的方程；（2）已知P(異于點A)為橢圓C上一個動點，過O作線段AP的垂線交橢圓C于點E，D.如圖10-31所示，求的取值范圍.例10.42已知F1,F2是橢圓的左右焦點，AB是過點F1的一條動弦，求△ABF2的面積的最大值.解析由題意可知F1(－1,0),F2(1,0),設(shè)，,當(dāng)直線的斜率為0時，△ABF2不存在，所以不可能是一條水平的直線，故可設(shè)，由，得，所以，且，①所以＝＝＝＝.設(shè)≥1，則，在上單調(diào)遞減，因此.變式1已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為.（1）求橢圓M的方程；（2）設(shè)直線交橢圓M交與點A，B，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C，求△ABC面積的最大值.例10.43（2012北京西城二模理18）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，（1）若，求直線AB的斜率；（2）設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值.解析（1）由題意F(1,0),設(shè)直線AB方程為，將直線AB方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得.設(shè)，,所以，①因為，所以，②由①②解得.所以直線AB的斜率為.（2）如圖10-32所示，由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB面積等于,因為＝＝，所以時，四邊形OACB的面積最小，最小值為4.變式1（2012北京海淀一模理19）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為F1(－1,0),P為橢圓G的上頂點，且∠PF1O＝45°.（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓G交與A,B兩點，直線與橢圓G交與C,D兩點，且,如圖10-33所示，（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積S的最大值.圖10-33圖10-33最有效訓(xùn)練題46（限時45分鐘）1.已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2,過F2且傾斜角為45°的直線交橢圓于點A，B，以下結(jié)論中：①△ABF1的周長為8；②原點到的距離為1；③，正確結(jié)論的個數(shù)為（）.A.3B.2C.1D.2.斜率為2的直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）.A.B.C.D.3.拋物線的焦點為F，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在軸上方的曲線交于點A，則AF的長為（）.A.2B.4C.6D.4.過點P(0,2)的直線與拋物線交于點A,B，則弦AB的中點M的軌跡方程為（）.A.(＜0或＞4)B.C.D.(＜0)5.橢圓的一條弦被A(4,2)平分，那么這條弦