/1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)練題組一數(shù)量積的概念及其運(yùn)算1.下列各命題中,不正確的命題的個數(shù)為()①a·a=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.A.0 B.3 C.2 D.12.(2019山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二下期中)已知正四面體ABCD的棱長為a,點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn),則AE·AF的值為()A.a2 B.12a2 C.14a2 D.33.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,則a·(b+c)的值為(A.1 B.0 C.-1 D.-2題組二利用空間向量的數(shù)量積求夾角4.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a-b)·b=0,則a與b的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°5.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,則a與b的夾角為()A.30° B.45°C.60° D.以上都不對6.(2019湖北襄陽第五中學(xué)高二上月考)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AC和BC1所成角的大小為(易錯)A.π3 B.π2 C.2π3 7.已知|a|=2,|b|=1,<a,b>=60°,則使向量a+λb與λa-2b的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

題組三利用空間向量的數(shù)量積求距離(線段長度)8.(2019湖南常德桃源一中高二上質(zhì)檢)已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|=()A.13 B.13 C.2 D.59.(2020吉林第一中學(xué)階段測試)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1兩兩的夾角均為60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,則|ACA.5 B.6 C.4 D.810.如圖,在120°的二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC?α,BD?β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分別為A,B,已知AC=AB=BD=6,則線段CD的長為.

題組四利用空間向量的數(shù)量積證明垂直11.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),則()A.m∥nB.m⊥nC.m既不平行于n,也不垂直于nD.以上三種情況都有可能12.(2020北京陳經(jīng)綸中學(xué)高二上期中)已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積不一定為零的是()A.PC與BD B.DA與PBC.PD與AB D.PA與CD13.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,則λ=.

14.已知空間四邊形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是MN的中點(diǎn),用向量方法證明OG⊥BC.15.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,且PA⊥底面ABCD,如果BC⊥PB,求證四邊形ABCD是矩形.

能力提升練題組一利用空間向量的數(shù)量積求角度1.(2020四川師大附屬中學(xué)高二上期中,)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.32 B.155 C.1052.(2020安徽合肥一六八中學(xué)高二上月考,)正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長相等,E為SC的中點(diǎn),則BE與SA所成角的余弦值為()A.13 B.12 C.333.(2020山西大同第一中學(xué)高二上月考,)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分別是CC1,AD的中點(diǎn),那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于()A.105 B.155 C.454.(多選)()在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若M是線段A1C1上的動點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有()A.異面直線AM,BD所成的角為πB.異面直線CM,AB所成的角可為πC.異面直線CM,BD所成的角為πD.異面直線CM,B1B所成的角可為π5.(2020北京十一學(xué)校高二上期中,)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=1,∠AD1B=π3,則直線AB1與BC1所成角的余弦值為.

6.(2020廣西柳州高級中學(xué)期中,)如圖所示,在三棱錐A-BCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DB=DC=DA=2,E為BC的中點(diǎn).(1)證明:AE⊥BC;(2)求直線AE與DC所成角的余弦值.題組二利用空間向量的數(shù)量積求距離(長度)7.(2020河北冀州中學(xué)高二月考,)如圖所示,在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),則AE的長為(深度解析)A.2 B.3 C.2 D.58.(2020山東濟(jì)南歷城第二中學(xué)高二上月考,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA的長為2,且PA與AB、AD的夾角都等于60°,M是PC的中點(diǎn),設(shè)AB=a,AD=b,AP=c.(1)試用a,b,c表示向量BM;(2)求BM的長.題組三利用空間向量的數(shù)量積證明垂直9.(多選)()已知長方體ABCD-A1B1C1D1,則下列向量的數(shù)量積可以為0的是()A.AD1·B1C C.AB·AD1 D.B10.(2020四川廣元中學(xué)高二上期中,)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.D①是向量模的計算公式,命題正確;②是向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律,命題正確;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,③命題正確;a2b與向量b共線,b2a與向量a共線,④命題不正確.故選D.2.C由題意得,AE·AF=12(AB+AC)·12AD=14·(AB·AD+AC·AD)=14×2×a×a×cos3.B由題意得a·(b+c)=a·b+a·c=0.4.B設(shè)a與b的夾角為θ.由(2a-b)·b=0得2a·b=b2,即2|a||b|cosθ=|b|2=|a|·|b|,∴cosθ=12,∴5.D設(shè)a與b的夾角為θ.由a+b+c=0,得a+b=-c,兩邊平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以4+2×2×3cosθ+9=16,解得cosθ=14,故選6.A設(shè)正方體的棱長為1,∵BC1=CC∴CA·BC1=CA·(CC1-CB)=-∴cos<CA,BC1>=CA·BC∴異面直線AC和BC1所成角的大小為π3易錯警示向量夾角的取值范圍是[0,π],而異面直線所成的角的取值范圍是0,π2,因此利用數(shù)量積求異面直線所成角時,要注意角之間的關(guān)系,當(dāng)<a,b>∈0,π2時,它們相等;當(dāng)<a,b>∈π7.答案(-1-3,-1+3)解析a+λb與λa-2b的夾角為鈍角,則(a+λb)·(λa-2b)<0,且a+λb≠2b-λa,即λ2+2λ-2<0且-1λ≠λ2,解得-1-3<λ<-1+8.B(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×1×1×12+9=13,則|a+3b|=13,故選9.A|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB·AD+2AB·AA1+2AA10.答案12解析因?yàn)锳C⊥AB,BD⊥AB,所以CA·AB=0,BD·AB=0.又因?yàn)槎娼铅?l-β的平面角為120°,所以<CA,BD>=60°.所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD=36+36+36+36=144,所以|CD|=12.11.B由已知得m·a=0,m·b=0,所以m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0,故m⊥n,故選B.12.A由PA⊥平面ABCD,及三垂線定理可知DA⊥PB,PD⊥AB,PA⊥CD,故B,C,D選項(xiàng)中兩向量的數(shù)量積為零,無法判斷PC與BD是否存在垂直關(guān)系,故數(shù)量積不一定為零.13.答案-3解析∵m⊥n,∴m·n=0,即(a+b)·(a+λb)=a2+(1+λ)a·b+λb2=18-12(1+λ)+16λ=0,解得λ=-3214.證明設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,由題意得|a|=|b|=|c|,OG=12(OM+ON因?yàn)镺M=12a,ON=12(b+c),所以O(shè)G=14(a+b+c),又BC=c所以O(shè)G·BC=14(a+b+c)·(c-b)=14(a·c-a·b)+14(c2-所以O(shè)G⊥BC.15.證明因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以PA·BC=0,又BC⊥PB,所以PB·BC=0.由AB=PB-PA,得AB·BC=(PB-PA)·BC=PB·BC-PA·BC=0,所以AB⊥BC,又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是矩形.能力提升練1.C∵AB1=BB1-BA,BC∴AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1-易知|AB1|=5,|BC∴cos<AB1,BC1>=AB1·2.C設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長均為a.由題意知,BE=12(BS+BC∴SA·BE=12(SA·BS+SA·BC)=12×a×a×-12+a×a×-12=-12a2.易得|BE|=32a,|SA|=a,∴cos<BE3.B設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,且|a|=|b|=|c|=2,則OE=12(a+b+c),FD1=12b+c,所以O(shè)E·FD1=12(a+b+c)·12b+c=12×12b2+c2=3,又|4.ABC設(shè)正方體的棱長為1,且C1M=λC1A1(0≤λ≤1),則AM·BD=(AA1+A1M)·BD=AA1·BD+(1-λ)A1∵CM·AB=(CC1+C1M)·AB=CC1·∴cos<CM,AB>=CM·AB|∴異面直線CM,AB所成角的余弦值為λ1+2又λ1+2λ2=12(0≤λ≤1)有解,CM·BD=(CC1+C1M)·BD=CC1·BD+λC1∵B1B∥C1C,∴CM與B1B所成的角等于CM與C1C所成的角,易得該角小于π2∴D不正確.故選ABC.5.答案14解析設(shè)AB=a,AD1=AA1+AD,BD1=則AD1·BD1=AA1·BA+AA1·BB1+AA1·BC+|AD1|=2,|BD由22·2+a2=12,∵AB1=AA1+AB,BC1=BB1+BC,∴AB1·BC1=AA1·BB1+AA1·BC+∴cos<AB1,BC1>=AB16.解析(1)證明:AE=DE-DA=12(DB+DC)-DA,BC=DC-DB所以AE·BC=12DB+12DC=12DB·DC-12DB·DB+12DC·DC-12DC·DB=0-2+2-0-0+0=0,所以AE⊥BC.(2)AE·DC=12DB=12DB·DC+12DC·DC=0+2-0=2,|AE|=(2)2所以cos<AE,DC>=AE·DC|AE||即直線AE與DC所成角的余弦值為667.BAE2=(AB+BC+CE)=AB2+BC2+CE2+2AB·BC+2AB·CE+2=AB2+BC2=1+1+1=3,所以|AE|=3,故選B.方法總結(jié)用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟:①用向量表示此距離;②用已知長度和夾角的向量表示此向量;③用公式a·a=|a|2,通過向量運(yùn)算求|a|;④|a|即為所求距離.8.解析(1)∵M(jìn)是PC的中點(diǎn),∴BM=12(BC+BP∵AD=BC,BP=AP-AB,∴BM=12[AD+(AP-AB結(jié)合AB=a,AD=b,AP=c,得BM=12[b+(c-a)]=-12a+12b+(2)∵AB=AD=1,PA=2,∴|a|=|b|=1,|c|=2.∵AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,∴a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos60°=1.由(1)知BM=-12a+12b+1∴BM2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c=14×(1+1+4-0-2+2)=3∴|BM|=62,即BM的長等于69.ABC若AA1=AD,則AD1⊥B1C,A正確;若AB=AD,則BD1⊥AC,B正確;∵AB⊥平面AA1D1D,∴AB⊥AD1,C正確;∵BD1和BC分別為矩形A1D1CB的對角線和邊,∴兩者不可能垂直,D錯.故選ABC.10.證明(1)因?yàn)镻A⊥底面AB