群環(huán)zpr上的阿貝爾碼

0q元域的循環(huán)碼近年來，《循環(huán)》一文引起了科學(xué)家的關(guān)注。這些碼與自偶碼、模格等有密切的關(guān)系。Duadic循環(huán)碼由Leon在1984年提出,后經(jīng)過Pless的工作在1988年給出了q元域GF(q)上triadic循環(huán)碼的定義,Brualdi和Pless在1989年進(jìn)一步推廣到GF(q)上的polyadic循環(huán)碼。最近Ling和Xing給出了GF(q)上polyadic阿貝爾碼的定義。Lian又進(jìn)一步給出了Zpr上polyadic阿貝爾碼的定義。在此基礎(chǔ)上本文研究Z2r上triadic碼存在的條件,進(jìn)一步完善了環(huán)上的編碼理論。1群g的元素及性質(zhì)下面回顧一些術(shù)語:Zr表示整數(shù)系Z模r的剩余類環(huán),Zr上n長線性碼C是Zrn的子模。本文考慮Z2r上的碼,r為正整數(shù)。設(shè)G是n階阿貝爾群,運(yùn)算為加法,且n與p互素。群環(huán)Zpr[G]由所有形如∑g∈GagYg,ag∈Ζpr的形式多項(xiàng)式組成。Zpr[G]的運(yùn)算為通常的加法和多項(xiàng)式卷積乘法。Zpr[G]中的理想稱為Zpr上n長阿貝爾碼。記G={g1,g2,…,gn},c=n-1∑i=0ciYgi∈Ζpr[G],每個(gè)c對(duì)應(yīng)于一個(gè)向量(c0,c1,…,cn-1)。反之亦然。通過該對(duì)應(yīng)法則可以把Zpr[G]中的一個(gè)理想(阿貝爾碼)看成Znpr的一個(gè)子模(線性碼)。由有限阿貝爾群的基本定理知,群可以寫成有限個(gè)循環(huán)群的直和。不妨設(shè)G=t∏i=1Ζni,其中ni≥2(1≤i≤t)。則群G的元素g可以寫成g=(g1,g2,…,gn),其中g(shù)i∈Zni。Galois環(huán)GR(pr,M)為環(huán)Zpr的唯一d次Galois擴(kuò)張。設(shè)群G的指數(shù)為N,M是p模N的階,則GR(pr,M)包含N次單位根。設(shè)ξ為GR(pr,M)中的一個(gè)N次本原單位根,G到GR(pr,M)的特征標(biāo)定義為χh(g)=ξ∑ti=1gihi(N/ni)∈GR(pr,m)。給定c=∑g∈GcgYgΖpr[G],它的Fourier離散變換定義為C=∑h∈GChYh,其中Ch=∑g∈Gcgχh(g)。加群G=t∏i=1Ζni關(guān)于通常的分量乘法可以看成一個(gè)環(huán)RG,記R*G為RG中的所有可逆元的集合。?s∈R*G,令s*為作用在G上的映射:xsx,x∈G。每個(gè)s可誘導(dǎo)出Zpr[G]上映射s*如下:c=∑g∈GcgYg,s*(c)=∑g∈GcgYsg。對(duì)應(yīng)的Fourier離散變換為s*(c)=∑h∈GcgYsg。定義1設(shè)整數(shù)m≥2,X∞是G某個(gè)非空子集,稱滿足以下條件(X∞,X0,X1,…,Xm-1)的是群G的X∞上的一個(gè)m-劈分:(1)X∞,X0,X1,…,Xm-1為G的一些p-軌道的并;(2)X∞,X0,X1,…,Xm-1為的一個(gè)劃分,即G=X∞∪X0∪…∪Xm-1,且(X∞,X0,…,Xm-1)兩兩不交;(3)存在s∈R*G,使得s*(X∞),s*(Xi)=Xi+1(0≤i≤m-1)且下標(biāo)按模m運(yùn)算。說明:(1)0∈X∞;(2)m-劈分也叫由s給出的劈分,通常把“X∞上”省略。對(duì)于G的任意子集X,令ΙX={c∈Ζpr[G]|cx=0,?x∈X},則IX是Zpr[G]的一個(gè)理想。定義2設(shè)群G的一個(gè)m-劈分為(X∞,X0,X1,…,Xm-1),記X′∞=X∞0},Xc表示X在G中的補(bǔ)集。對(duì)于0≤i≤m-1,以下四類碼均稱為Zpr[G]中的polyadic碼:(1)Ci=Ι(X′∞∪Xi)c,(2)?Ci=ΙX′∞∪Xi,(3)Di=ΙX∞∪Xi,(4)?Di=Ι(X∞∪Xi)c。上述的polyadic碼也稱為m-adic碼。特別地,當(dāng)m=3時(shí),稱為triadic碼。2循環(huán)群即干非零軌道個(gè)數(shù)記O0,O1,…,Ov為群G在映射p*:x作用下的所有軌道,且d1=|Οi|。有時(shí)也用Ox表示中元素x所在的軌道,即Ox={x,px,p2x,…}。由于O0={0},即d0=1,所以GR(pr,d0)=Zpr。定義3設(shè)p>1且(p,n)=1。若x3≡n(modp)有解,則稱n模p的三次剩余;否則稱n模p的非三次剩余。引理4設(shè)素?cái)?shù)p≡1(mod3),則2是模p的三次剩余當(dāng)且僅當(dāng)p=c2+27d2,其中c,d∈Z。定理5設(shè)素?cái)?shù)p≡1(mod3),且p=c2+27d2,其中c,d∈Z,則s=p-1ordp(2)是3的倍數(shù)。證明記u=ordp(2)。G=Zp構(gòu)成p元域記為RG且R*G=Z*p構(gòu)成p-1階乘法群(循環(huán)群)。令M是R*G中的三次剩余組成的群,則M為R*G的p-13階循環(huán)子群。令O={1,2,22,…,2n-1},O為R*G的u階循環(huán)子群。由引理4知,當(dāng)素?cái)?shù)p=c2+27d2時(shí),2是模p的三次剩余。則2∈M。從而O是M的循環(huán)子群。則u|p-13。即3|p-1u。故s=p-1ordp(2)是3的倍數(shù)。證畢。定理6設(shè)G=Zp,其中素?cái)?shù)p≡1(mod3),則G中存在非平凡的3-劈分(X∞,X0,X1,X2)當(dāng)且僅當(dāng)p=c2+27d2,其中c,d∈Z。證明記號(hào)u、RG、R*G、O、M同上。商群R*G/O為s=p-1u階循環(huán)群。則存在x∈R*G,使得Oi=xiO(i=1,2,…,s-1)為R*G的一個(gè)陪集分解,而且{0},O0=O,O1,…,Os-1為加群G=Zp所有的2-軌道。充分性:當(dāng)p=c2+27d2時(shí),由定理5知,G的非零軌道個(gè)數(shù)s=p-1ordp(2)是3的倍數(shù)。令X0=O0∪O3∪…∪Os-3,X1=O1∪O4∪…∪Os-2,X2=O2∪O5∪…∪Os-1,X∞={0}。則x*(X0)=X1,x*(X1)=X2,x*(X2)=X0,x*(X∞)=X∞,故(X∞,X0,X1,X2)是G的一個(gè)非平凡的劈分。必要性:假設(shè)(X∞,X0,X1,X2)是G的在群作用x*下的一個(gè)非平凡的劈分,x∈R*G。且X0,X1都是某些非零2-軌道的并,且有x*(X0)=X1,x*(X1)=X2,x*(X2)=X0。如果非零軌道個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)。則存在非負(fù)整數(shù)t,使得s=3t+1或s=3t+2。一方面,由于商群R*G/O為s=p-1u階循環(huán)群,可得xs*(Oi)=Oi(i=1,2,…,s-1),從而xs*(X0)=X0;另一方面,當(dāng)s=3t+1時(shí),由x3*(X0)=X0,可得xs*(X0)=x*(x3t*(X0))=x*(X0)=X1。矛盾。當(dāng)s=3t+2時(shí),由x3*(X0)=X0,可得xs*(X0)=x2*(x3t*(X0))=x2*(X0)=X2。矛盾。故s=p-1u為3的倍數(shù),即3|s,從而u|p-13。又M,O是R*G中階數(shù)分別為p-13?的循環(huán)子群。由循環(huán)群的性質(zhì)得,O是M的子群。由于2∈O,故2∈M,即2是模p的三次剩余。由引理4得p=c2+27d2,其中c,d∈Z。證畢。定理7設(shè)G=Zpe,其中素?cái)?shù)p≡1(mod3),且e>0。如果p=c2+27d2(c,d∈Z),則G有非平凡的3-劈分。證明設(shè)p=c2+27d2,由定理6知群Zp存在非平凡的3-劈分,記為(X(1)∞,X0(1),X1(1),X2(1)),相應(yīng)群作用記為s*。令Xj(e),={ij+i1p|ij∈Xj(1),0≤i1≤pe-1},(j=0,1,2,∞)?？梢则?yàn)證(X(e)∞,X0(e),X1(e),X2(e))構(gòu)成群作用s*下G=Zpe的一個(gè)非平凡的2-劈分。定理8設(shè)G=G1×G2×…×Gt,其中Gt=Zpeii(i=1,2,…,t),且pi為素?cái)?shù),ei>0。如果存在某個(gè)pi滿足pi=c2+27d2,則G也存在非平凡的3-劈分。證明如果某個(gè)pi滿足pi=c2+27d2,由定理7知Gi存在si作用下的非平凡的3-劈分(Xi,∞,Xi,0,Xi,1,Xi,2),令Xj=G1×…×Xi,j×…×Gt(j=0,1,2,∞)?？芍狦在s=(1,…,si,…,1)作用下的劈分(X∞,X0,X1,X2)為非平凡的3-劈分。證畢。3再由定理8求解由polyadic碼定義知,Z2r中存在triadic碼當(dāng)且僅當(dāng)G中存在3-劈分。再由定理8直接可以得到以下結(jié)論。定理9設(shè)G=G1×G2×…×Gt,其中Gi=Zpeii(i=1,2,…,t),且pi為素?cái)?shù),ei>0。如果存在某個(gè)pi滿足pi=c2+27d2,則Z2r中存在非平凡的triadic碼。4,18百分點(diǎn)o7環(huán)為Z4,群G=Z31。G的2-軌道如下:O0={0};O1={1,2,4,8,16};O3={3,6,12,24,17};O5={5,10,20,9,18}O7={7,14,28,.25,19};O11={11,2