第第頁專題07截長補(bǔ)短證全等（含解析）中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺

專題07截長補(bǔ)短證全等

1．如圖，，平分，，，則．

2．如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．

3．如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點O求證：．

4．如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MB－MC＜AB－AC．

5．如圖所示，已知AC平分∠BAD，，于點E，判斷AB、AD與BE之間有怎樣的等量關(guān)系，并證明．

6．如圖，在△ABC中，，，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：

（1）；

（2）．

7．如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．

8．如圖中，分別平分相交于點．

（1）求的度數(shù)；

（2）求證：

9．如圖，，點在線段上，、分別是、的角平分線，若，，求的長．

10．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．

11．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

12．已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC

（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．

（2）如圖2，點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC

（3）若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請寫出∠PBQ與∠ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．

13．如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點，點D為第二象限一動點，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．

（1）求證：∠ABD=∠ACD；

（2）求證：AD平分∠CDE；

（3）若在點D運(yùn)動的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．

14．閱讀材料并完成習(xí)題：

在數(shù)學(xué)中，我們會用“截長補(bǔ)短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．

解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．

（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．

（2）請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．

15．如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點．

（1）求出的度數(shù)；

（2）判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）

（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

16．（1）如圖（1），在四邊形中，,，E，F(xiàn)分別是上的動點，且，求證：．

（2）如圖（2），在（1）的條件下，當(dāng)點E，F(xiàn)分別運(yùn)動到的延長線上時，之間的數(shù)量關(guān)系是______．

17．（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，．分別是上的點，且，請?zhí)骄繄D中線段之間的數(shù)量關(guān)系是什么？

小明探究此問題的方法是：延長到點，使，連結(jié)．先證明，得；再由條件可得，證明，進(jìn)而可得線段之間的數(shù)量關(guān)系是．

（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，．分別是上的點，且．問（1）中的線段之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

參考答案：

1．4

【分析】在BC上截取BE＝AB，利用“邊角邊”證明△ABD≌△EBD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝AD，由全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE＝DE，等量代換得到EC＝AD，則BC＝BE+EC＝AB+AD即可求出AD長．

【詳解】解：（1）在BC上截取BE＝BA，如圖，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠EBD，

在△ABD和△BED中，

，

∴△ABD≌△EBD（SAS），

∴DE＝AD，∠BED＝∠A，

又∵∠A＝2∠C，

∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，

∴∠EDC＝∠C，

∴ED＝EC，

∴EC＝AD，

∴BC＝BE+EC＝AB+AD，

∵BC＝10，AB＝6，

∴AD＝10﹣6＝4；

故答案為：4．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．

2．證明見解析

【分析】如圖，在上截取證明再證明可得從而可得結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，在上截取

平分

平分

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用截長補(bǔ)短的方法證明兩條線段的和等于另一條線段”是解題的關(guān)鍵.

3．見解析

【分析】在AC上取一點H，使AH＝AE，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“邊角邊”證明△AEO和△AHO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AE0＝∠AHO，根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠3＝60°，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠4＝60°，從而得到∠3＝∠4，然后利用“邊角邊”證明△CFO和△CHO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF＝CH，再根據(jù)AC＝AH＋CH代換即可得證．

【詳解】證明：如圖，在上取一點H，使，連接．

∵是的角平分線，

∴，

在和中，

∵

∴，

∴，

∵是的角平分線，

∴，

∵，

∴，

∵、是的角平分線，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，利用“截長補(bǔ)短”法作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．

4．見解析

【分析】法一：因為AB＞AC，所以在AB上截取線段AE＝AC，則BE＝AB－AC，連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE，再證明ME＝MC，則結(jié)論成立．

法二：延長AC至H，在AH上截取線段AB＝AG，證明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．

【詳解】證明：法一：在AB上截取AE＝AC，連接ME，

在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）,

∵AD是∠BAC的平分線，

∴,

在△AMC和△AME中，

∵

∴△AMC≌△AME（SAS），

∴MC＝ME（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．

又∵BE＝AB－AE，

∴BE＝AB－AC，

∴MB－MC＜AB－AC．

法二：延長AC至H，在AH上截取線段AB＝AG，

同理可證得△ABM≌△AGM（SAS），

∴BM=GM，

∵在△MCG中MG-MC＜CG

∴MB－MC＜AG-AC=AB－AC

即MB－MC＜AB－AC．

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系以及截長補(bǔ)短法，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．

5．，證明見解析

【分析】在AB上截取EF，使EF=BE，聯(lián)結(jié)CF．證明，得到，又證明，得到，最后結(jié)論可證了．

【詳解】證明:在AB上截取EF，使EF=BE，聯(lián)結(jié)CF．

在和

AC平分∠BAD

在和中

【點睛】本題考查三角形全等知識的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于尋找全等的條件，作適當(dāng)?shù)妮o助線加以證明．

6．（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和就可以得出∠ABC＝80°，再由角平分線的性質(zhì)就可以得出∠QBC＝40°，就有∠QBC＝∠C而得出結(jié)論；

（2）延長AB至M，使得BM＝BP，連結(jié)MP，根據(jù)條件就可以得出∠M＝∠C，進(jìn)而證明△AMP≌△ACP就可以得出結(jié)論．

【詳解】（1）∵BQ是的角平分線，

∴．

∵，且，，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）延長AB至M，使得，連結(jié)MP．

∴，

∵△ABC中，，

∴，

∵BQ平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵AP平分，

∴，

在△AMP和△ACP中，

∵，

∴△AMP≌△ACP，

∴，

∵，，

∴

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．

7．見解析

【分析】延長至點，使得，連接，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得，根據(jù)證明，則，進(jìn)而證明，根據(jù)證明，得到，則．

【詳解】證明：延長至點，使得，連接，

四邊形中，，，

，

在和中，

，

，

，，

，，

，

，

在和中，

，

，

．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．

8．（1）∠CPD=60°；（2）詳見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)即可求出；

（2）在AC上截取AF=AE，先證明△APE≌△APF（SAS），再證明△CFP≌△CDP（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可．

【詳解】解：（1）∵∠ABC=60°，

∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，

又∵AD、CE分別平分，

∴，

∴，

又∵∠CPD是△ACP的外角，

∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，

∴∠CPD=60°．

（2）如圖，在AC上截取AF=AE，連接PF，

∵∠CPD=60°，

∴∠APC=120°，∠APE=60°

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE

在△APE與△APF中

，

∴△APE≌△APF（SAS）

∴∠APF=∠APE=60°，

∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，

在△CFP與△CDP中，

∴△CFP≌△CDP（ASA）

∴CD=CF

∴AC=AF+CF=AE+CD，

即．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理與角平分線的角度計算問題，解題的關(guān)鍵是通過在AC上截取AF=AE構(gòu)造全等三角形．

9．5

【分析】如圖，在上截取，連接，先證明，得到，，然后證明，得到，即可求出答案．

【詳解】解：如圖，在上截取，連接，

是的角平分線，

，

在△和△中，

，

，，

，

，

，

，

是的角平分線，

，

在和中，

，

，

．

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵．

10．證明見解析．

【分析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．先說明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證得△AEG≌△AEF，最后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可解答．

【詳解】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又∵AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．

∴EF=BE+FD

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．

11．（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，見解析；（3）結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，見解析

【分析】（1）延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再證明△GAE≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝EG，結(jié)合圖形計算，證明結(jié)論；

（2）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，仿照（1）的證明方法解答；

（3）在EB上截取BH＝DF，連接AH，仿照（1）的證明方法解答．

【詳解】解：（1）EF＝BE+FD，

理由如下：如圖1，延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，

∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，

在△GAE和△FAE中，

，

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴EF＝EG，

∵EG＝BG+BE＝BE+DF，

∴EF＝BE+FD，

故答案為：EF＝BE+FD；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，

∴∠1＝∠D，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠3＝∠2，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠2+∠4＝∠EAF，

∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，

在△MAE和△FAE中，

，

∴△MAE≌△FAE（SAS），

∴EF＝EM，

∵EM＝BM+BE＝BE+DF，

∴EF＝BE+FD；

（3）（1）中的結(jié)論不成立，EF＝BE﹣FD，

理由如下：如圖3，在EB上截取BH＝DF，連接AH，

同（2）中證法可得，△ABH≌△ADF，

∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∴∠HAE＝∠FAE，

在△HAE和△FAE中，

，

∴△HAE≌△FAE（SAS），

∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，

∴EF＝BE﹣FD．

【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

12．（1）；（2）見解析；（3），證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件得出為直角三角形，再根據(jù)證出，從而證出即可得出結(jié)論；

（2）如圖2，延長DC到K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根據(jù)證明得，從而得出，然后得出結(jié)論；

（3）如圖3，在CD延長線上找一點K，使得KC=AP，連接BK，構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．

【詳解】（1）證明：如圖1，

∵，，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴；

（2）如圖2，

延長至點，使得，連接

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）；

如圖3，在延長線上找一點，使得，連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．

13．（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，60°

【分析】（1）根據(jù)∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再結(jié)合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出結(jié)論；

（2）過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N．運(yùn)用“AAS”證明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”得證；

（3）運(yùn)用截長法在CD上截取CP＝BD，連接AP．證明△ACP≌ABD得△ADP為等邊三角形，從而求∠BAC的度數(shù)．

【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，

又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，

∴∠ABD＝∠ACD；

（2）過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N．

則∠AMC＝∠ANB＝90°，

∵OB＝OC，OA⊥BC，

∴AB＝AC，

∵∠ABD＝∠ACD，

∴△ACM≌△ABN（AAS），

∴AM＝AN，

∴AD平分∠CDE（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）；

（3）∠BAC的度數(shù)不變化．

在CD上截取CP＝BD，連接AP．

∵CD＝AD＋BD，

∴AD＝PD，

∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，

∴△ABD≌△ACP，

∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，

∴AD＝AP＝PD，

即△ADP是等邊三角形，

∴∠DAP＝60°，

∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．

【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用了角平分線的判定定理和“截長補(bǔ)短”的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)．

14．（1）2；（2）4

【分析】（1）根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；

（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證，則有FK=FH，因為HM=GH+MN易證，故可求解．

【詳解】（1）由題意知，

故答案為2；

（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，如圖所示：

FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，

∠FNK=∠FGH=90°，，

FH=FK，

又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，

，

MK=FN=2cm，

．

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長補(bǔ)短法及割補(bǔ)法求面積的運(yùn)用．

15．（1）∠AFC＝120°；（2）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．理由見解析；（3）AC＝AE+CD．理由見解析．

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)只要求出∠FAC，∠ACF即可解決問題;

（2）根據(jù)在圖2的AC上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD(SAS),得出DF=GF；再根據(jù)ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（3）根據(jù)(2)的證明方法，在圖3的AC上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF(SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根據(jù)ASA證明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解決問題．

【詳解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

（2）解：FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．

理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分線，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG

由（1）∠AFC＝120°得，

∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）結(jié)論：AC＝AE+CD．

理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE

∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=18