專題34直線、平面平行的判定與性質(zhì)一、關(guān)鍵能力1.了解平面的含義，理解空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的定義，掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理；2.掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理.二、教學(xué)建議1.以幾何體為載體，考查線線、線面、面面平行證明.2.利用平行關(guān)系及平行的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，處理綜合問題.3.空間中的平行關(guān)系在高考命題中，主要與平面問題中的平行、簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征等問題相結(jié)合，綜合直線和平面，以及簡單幾何體的內(nèi)容于一體，經(jīng)常是以簡單幾何體作為載體，以解答題形式呈現(xiàn)是主要命題方式,通過對圖形或幾何體的認(rèn)識，考查線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想、空間想象能力、邏輯思維能力及運(yùn)算能力.三、自主梳理 知識點(diǎn)1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b知識點(diǎn)2．面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α知識點(diǎn)3．線面、面面平行的綜合應(yīng)用1．平面與平面的位置關(guān)系有相交、平行兩種情況．2．直線和平面平行的判定(1)定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線平行于平面；(2)判定定理：aα，bα，且a∥b?a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；aα?a∥β.3．直線和平面平行的性質(zhì)定理：a∥α，aβ，α∩β＝l?a∥l.4．兩個平面平行的判定(1)定義：兩個平面沒有公共點(diǎn)，稱這兩個平面平行；(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β；(3)推論：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′?α∥β.5．兩個平面平行的性質(zhì)定理(1)α∥β，aα?a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b.6．與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α?a∥b；(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一與線、面平行相關(guān)命題的判定例1.(2019·全國Ⅱ卷)設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．訓(xùn)練1.（2019·北京卷）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m，正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α，不正確，有可能m在平面α內(nèi)；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α，不正確，有可能l與α斜交、l∥α.故答案為：如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.訓(xùn)練2.（2021·江蘇省鎮(zhèn)江）“直線與平面無公共點(diǎn)”是“直線在平面外”的________條件（.從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選一個合適的填空）【答案】充分不必要【解析】根據(jù)線面間得位置關(guān)系及充分性和必要性得定義即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平面無公共點(diǎn)，則直線在平面外，所以充分性成立，又因直線在平面外，則直線與平面相交或平行，即直線與平面有一個公共點(diǎn)或無公共點(diǎn)，所以必要性不成立，所以“直線與平面無公共點(diǎn)”是“直線在平面外”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.訓(xùn)練3.（2020·安徽省太和第一中學(xué)開學(xué)考試）已知直線l，m，平面，，下列命題正確的是（）A．，B．，，，C．，，D．，，，，【答案】D【解析】由題意得，對于A中，，與可能相交，所以A是錯誤的；對于B中，，，，，如果，，可能相交，故是錯誤的；對于C中，，，與可能相交，所以C錯誤的；對于D中，，，，，滿足面面平行的判定定理，所以，故D正確的，故選：D.訓(xùn)練4.（2017·全國高考真題（文））如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A，由于AB∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知A不滿足題意；對于選項(xiàng)B，由于AB∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知B不滿足題意；對于選項(xiàng)C，由于AB∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意；對于選項(xiàng)D，由于直線AB不平行與平面MNQ，滿足題意.故答案為：D考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)例2-1.（線面平行的判定）（2020·江蘇無錫模擬）如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別是線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．求證：(1)AP∥平面BEF；(2)GH∥平面PAD.【證明】(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點(diǎn)，∴BCAE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)．又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP.∵FO?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，∴FH∥PD.∵PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，∴OH∥AD.又∵AD?平面PAD，OH?平面PAD，∴OH∥平面PAD.又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.例2-2．（線面平行的性質(zhì)）（2021·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，，分別為，上的點(diǎn)，且平面，則A． B． C． D．以上均有可能【答案】B【解析】四棱錐中，，分別為，上的點(diǎn)，且平面，平面，平面平面，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：．故選：．考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)例3-1.（面面平行判定）（2020·北京四中模擬）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)∵在△A1B1C1中，G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH與BC確定一個平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易證A1GEB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E?平面EFA1，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.例3-2.（面面平行性質(zhì)）（2020·贛州市贛縣第三中學(xué)月考（文））如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)，G分別為，，AB的中點(diǎn)．求證：平面平面BEF；若平面，求證：H為BC的中點(diǎn)．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】如圖，，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又F，G分別為，AB的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，又，平面平面BEF；平面平面，平面平面，平面與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交，則，得，為AB的中點(diǎn)，為BC的中點(diǎn)．考點(diǎn)四、線線平行的判定例4.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E為PD的中點(diǎn)，AB＝1，求證：CE∥平面PAB；證明：由已知條件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2eq\r(3)．如圖所示，延長DC，AB，設(shè)其交于點(diǎn)N，連結(jié)PN，∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點(diǎn)，又∵E為PD的中點(diǎn)，∴EC∥PN，∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴CE∥平面PAB．訓(xùn)練1.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCeq\f(1,2)AD，BEeq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：BG//CH(2)證明：EF//CH解析：利用“平行四邊形”、“中位線”、“平行公理”證明線線平行 訓(xùn)練2.(2013·保定市一中)如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，證明：EH//GF解析：利用“比例形似三角形”、“中位線”、“平行公理”證明線線平行訓(xùn)練3.如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC上的一點(diǎn)，過F和EH作平面EFGH交直線CD于G點(diǎn).證明：EH//GF解析：利用“線面平行的性質(zhì)定理”、“中位線”、“平行公理”證明線線平行訓(xùn)練4.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.解析：利用“線面平行的性質(zhì)定理”、“中位線”、“平行公理”證明線線平行考點(diǎn)五、平行的探索例5.（2021·吉林省琿春市模擬）如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)【解析】連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，F(xiàn)H∩HN＝H，DD1∩BD＝D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.【答案】點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)訓(xùn)練1.（2019·江西高考模擬）已知空間幾何體中，與均為邊長為的等邊三角形，為腰長為的等腰三角形，平面平面，平面平面.（1）試在平面內(nèi)作一條直線，使直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行，并給出詳細(xì)證明（2）求點(diǎn)到平面的距離【答案】（1）見解析；（2）【解析】如圖所示:取BC和BD的中點(diǎn)H、G，連接HG，HG為所求直線，證明如下：因?yàn)锽C和BD的中點(diǎn)H、G，所以,又平面平面，且平面BCD又平面平面.,得，所以，即所以，所以直線HG上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行.由（1）可得，即平面ABC所以點(diǎn)E到平面ABC的距離和點(diǎn)O到平面ABC的距離相等，記為三角形ABC的面積而三角形ACE的面積用等體積法可得：訓(xùn)練2.（2021·山東期末）如圖，點(diǎn)是正方形兩對角線的交點(diǎn)，平面，平面，，是線段上一點(diǎn)，且．（1）證明：三棱錐是正三棱錐；（2）試問在線段（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得平面．若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)正三棱錐的定義即可證明；（2）利用反證法，由平面，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得平面，推出平面平面，與平面和平面是相交平面矛盾，即可求解.【詳解】解：（1）證明：設(shè)，則∴是正三角形，如圖所示：連接，，，∴，，，在中，由知：．又平面，，∵，，∴平面，∴．又平面，，∴平面，在線段上取點(diǎn)，使得，則點(diǎn)是的重心，也就是的中心，連接，則，∴平面，∴三棱錐是正三棱錐；（2）∵平面與平面有公共點(diǎn)，故平面與平面是相交平面，∵，平面，平面，∴平面，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得平面，∵點(diǎn)與點(diǎn)不重合，∴與是相交直線，又平面，平面，且平面，平面，∴平面平面，這與平面和平面是相交平面矛盾，∴不存在一點(diǎn)，使得平面．鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α答案D解析A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線答案A解析當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時，不存在與a平行的直線，故選A.3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析若m⊥α，n⊥α，則m∥n，D正確；分析知選項(xiàng)A，B，C中位置不能確定，均不正確，故選D.4．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.5．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．0條或2條答案C解析如圖，設(shè)平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，則CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條，故選C.6．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交；B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.二、多項(xiàng)選擇題7．給出下列關(guān)于互不相同的直線m，l，n和平面α，β的四個命題，其中為真命題的是()A．若mα，l∩α＝A，點(diǎn)Am，則l與m不共面；B．若m、l是異面直線，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，則n⊥α；C．若l∥α，α∥β，m∥β，則l∥m；D．若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，則α∥β．答案：ABD解析：A由條件知，l與m符合異面直線的定義，∴l(xiāng)與m不共面，是真命題；B∵m、l是異面直線，∴可構(gòu)造l′∥l，且與m相交于平面β．則l′∥α，m∥α，∴α∥β．再由n⊥l，得n⊥l′，結(jié)合n⊥m，∴n⊥β，∴n⊥α，是真命題；Cl與m可能平行、相交、異面，是假命題；由兩平面平行的判定定理可知D是真命題．在下面四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是()ABCD答案：AB解析：由線面平行的判定定理知圖AB可得出AB∥平面MNP．填空題9．過直線l外一點(diǎn)P，作與l平行的平面，則這樣的平面有________個．答案：無數(shù)解析：直線l與點(diǎn)P確定一個平面，記為α，在平面α內(nèi)作直線PQ∥α，又在平面α外任取一點(diǎn)R，則點(diǎn)R與直線PQ確定一平面，記為β，由直線與平面平行的判定定理易知l∥β，因此滿足題意的平面有無數(shù)個．10．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD的位置關(guān)系為________．答案：平行解析：利用線線平行或面面平行均可以推出．11．過三棱柱ABC－A1B1C1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有______條．答案：6解析：各中點(diǎn)連線如圖，只有面EFGH與面ABB1A1平行，在四邊形EFGH中有6條符合題意．12．將一個真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”．給出下列四個命題：①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一平面的兩直線平行．其中是“可換命題”的是________．(填命題的序號)答案：①③解析：由線面垂