3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標表示雙基達標 限時20分鐘1.有以下命題：①如果向量 a,b與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么 a,b的關系是不共線；②o,a，b,c為空間四點，且向量OA,OB,OC不構成空間的一個基底，那么點O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空間的一個基底，則向量a+b,a—b,c,也是空間的一個基底.其中正確的命題序號是 .解析對于①"如果向量a,b與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么 a,b的關系一定共線”所以①錯誤；②③正確.答案②③2?如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE=3ED，以{AB,AC,AD}為基底，貝UCE= .解析?/GABC的重心，t2t2 1tt???AG=3AM=3X2（AB+AC）=￡（aB+AC）,VBE=3ED???BE=；BD=3（AD—AB）tttt3tt1t3tAE=AB+BE=AB+］（AD—AB）=4AB+4AD,故GE故GE=AE—AG1-T3~T1—>—T=4AB+4AD—3（AB+AC）” 1— 1— 3—答案-材才3ac+4AD3?已知空間四邊形OABC,其對角線OB,AC,點M,N分別是對邊OA,BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN,用基底向量OA，OB，OC表示向量OG為 —>—>—>—>2~—解析OG=OM+MG=OM+3MN=2(5A+3(on-Om)1—21— — 1—=2OA+3【2(ob+oc)-2OA]1— 1— — 1—=2OA+3(OB+OC)-§OA1—1—1—=6°A+3ob+3OC.1-—1-—1-—答案7OA+7OB+7OC6 3 3已知 a={3 入，6, ?d-6}, b={入+ 1,3,2}，若a//b,貝U L 3入6入+6解析由a/b,得==，解得匸2.入+1 3 2入答案2已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)，若ka+b與2a—b平行，則實數(shù)k= 解析計算得k解析計算得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,—2),由ka+b與2a—b平行得k-13k2=2二,解得k=-2.答案—2已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分別是AB,PC的中點，且PA=AD.建立適當坐標系求MN的坐標.解設aD=i,AB=j,AP=k,以i,j,k為坐標向量建立如圖所示的空間直角坐標系.

?/MN=MIA+AP+PN①min=MiB+BC+cn②又???M、N分別為AB、PC的中點由①+②得2MIN=AP+BC=k+i,???MIN=2(k+i)=1i+2k min=1，0,1.綜合提高(限時25分鐘)TOC\o"1-5"\h\z在△ABC中，A(2,—5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,—2,5)，則頂點B、C的坐標分別為 .解析由A(2,—5,3),AB=(4,1,2),解得B(6,—4,5)，再由BC=(3,—2,5),解得C(9,—6,10).答案B(6,—4,5),C(9,—6,10)\o"CurrentDocument"■■ ~I-1 -1 -1 -18?如圖，點M為0A的中點，以｛OA,OC,0D｝為基底，DM=xOA+yOC+zOD,則實數(shù)對(x,y,z)= .aL解析DM=OM—OD=1OA+0OC—OD,所以實數(shù)對(x,y,aL1z)=(2,0,—1).答案g,0,—1)已知a=2(2,—1,3),b=(—1,4,—2),c=(7,5,為,若a,b,c三向量共面，貝U入的值為 .解析有共面向量定理知存在實數(shù) x,y使得a=xb+yc,即(4,—2,6)=(—x,4x,—2x)+(7y,5y,入),TOC\o"1-5"\h\z_ 34千4=—x+7y x3314即—2=4x+5y,，解得 y=33.6=—2x+入y 65答案6754）確定的平面上,PC=xFA+yPB設點C(2a+1,a+1,3)在點P(2,0,0),A(1,—3,2),B(8,—14）確定的平面上,PC=xFA+yPB解析PA=(—1,—3,2),PB=(6,—1,4),根據(jù)共面向量定理，可設(x,y€R),則(2a—1,a+1,3)=x(—1,—3,2)+y(6,—1,4),「2a—1=—「2a—1=—x+6y,x=—9,21即a+1=—3x—y.解得y=7,即實數(shù)a的值是穿.4.3.3=2x+4y,83a=4,答案83答案834已知O,已知O,A,B,C四點的坐標分別是(0,0,0),(2,—1,2),(4,53),求P點坐標，分別滿足：f1ff f1(1)OP=2(AB—AC);(2)AP=2(AB—AC).,—1),(—2,2,解Ab=OB—OA=(2,6,—3),AC=OCAC=OC—OA=(—4,1).(1)設P點坐標為(x,y,z),f 1f 3則OP=(x,y,z),2(AB—AC)=(3,?,—2),所以Op=(3,2,—2),即P點坐標為(3,2,—2);(2)設P點坐標為(x,y,z),則Ap=OP—OA=(x—2,y+1,z—2),fx—2=3,2(AB—AC)=(3,3,—2),所以y+1=3,z—2=—2,

X=5,11解得$y=2，所以P點坐標為(5,-,0).'z=0,如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、AOBC的重心，設OA=a,OB=b，OC=c,試用向量a、b、c表示向量GH.解GH=OH-Og,???OH=2oD,~21->-> 1???OH=3X2（OB+oc）=3（b+c）,tttt2fOG=OA+AG=OA+3ADt2Tt=OA+3（OD-OA）1-T21-T -T=30A+3x2（ob+oc）1 1=3a+3（b+c）,…GH=3（b+c）— —3（b+c）=—3a,即GH=—1a.（創(chuàng)新拓展）如圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，O為AC的中點.~T1-> 1->（1） 化簡：A1O—2AB—^AD；（2） 設E是棱DD1上的點且DE=|dd1,若EO=xAB+yAD+zAA1，試求x、y、z的值.解⑴?/AB+Ad=Ac,T1T1T二AQ—二AB—二AD22T 1TT=AiO—2(AB+AD)T 1