第九章定積分1第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§1定積分概念一、問題的提出二、定積分的定義第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月一、問題的提出

不定積分和定積分是積分學(xué)中的兩大基本問題.求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，定積分則是某種特殊和式的極限，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。1、曲邊梯形的面積設(shè)f為閉[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且f（x）≥0，直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形。①分割：a=<<···<

=b②近似：

③求和：

④

求極限：

Nt:s與如何分；如何選取無關(guān)

第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二、定積分的定義定義1：設(shè)閉區(qū)間[a,b]上有n-1個(gè)點(diǎn)，依次為

它們把[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間這

些分點(diǎn)或這些閉子間構(gòu)成對(duì)[a,b]的一個(gè)分割，記為

小區(qū)間的長(zhǎng)度為，并記=

稱為分割T的模。Nt:①,所以可以用來反映[a,b]被分割的細(xì)密程度。②分割T一旦給出，就隨之而定但是，具有同一細(xì)度的分割T卻有無限多個(gè)第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.變力所做的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿x軸由點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b,并設(shè)F處處平行于x軸。若F為常力.若F為變力.w=?①分割：②近似：③求和：④求極限：第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義2：設(shè)f施定義在[a,b]上的一個(gè)函數(shù)，對(duì)于[a,b]的一個(gè)分割并作和式稱此和式為函數(shù)f在[a,b]上的一個(gè)積分和，也稱黎曼和。Nt:積分和既與分割T有關(guān)，又與所取點(diǎn)集有關(guān)。第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月定義3：設(shè)f是定義在[a,b]上的一個(gè)函數(shù)，J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若只要，就有則稱函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上可積或黎曼可積；數(shù)J稱為f在[a,b]上的定積分或黎曼積分。記J=定義1：定義3為定積分概念的完整敘述。第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt1：定積分的說法與函數(shù)的說法很相似有當(dāng)有

但它們之間其實(shí)有很大區(qū)別：中值唯一確定的；

中：（不同和不同）

這就使得積分和的極限要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多。

第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt2:可積性是函數(shù)的又一分析性質(zhì)：曲邊梯形的面積：

變力做功：第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt3：定積分的幾何意義：面積；“負(fù)面積”有正、有負(fù)，面積的代數(shù)和Nt4:定積分作為積分和的極限只有f及[a,b]有關(guān)；與積分變量用什么表示無關(guān)exp1:在[0,1]求以為曲邊的曲邊三角形的面積

解：連續(xù)說明：定積分存在前提下，允許取某種特殊的分割和特殊點(diǎn)集

第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月①分割：[0,1]n等分：②近似：③求和：④求極限：第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§2牛頓—萊布尼茨公式從上節(jié)例題來看，通常定積分定義求定分，一般很困難，計(jì)算量也很大，今天要介紹的牛頓—萊布尼茨公式不僅為定積分計(jì)算提供了一種有效方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系起來。Th1:若f在[a,b]連續(xù)且存在原函數(shù)，即則f在[a,b]上可積，且稱此公試為牛頓—萊布尼茨公式，也可寫分析：由于所以只要證：有即可。找見即可。1步：第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt1：應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式時(shí)，F(xiàn)（x）可由不定積分求出。Nt2：定理?xiàng)l件可適當(dāng)當(dāng)減弱：①對(duì)F條件可減弱為：F在[a,b]連續(xù)，（a,b）可導(dǎo)，且

定理中要求：F在[a,b]連續(xù)，[a,b]可導(dǎo)，且②對(duì)于f可減弱為：[a,b]可積（不一定連續(xù)）事實(shí)上f可積，

則存在原函數(shù)F（x），但F（x）不一定連續(xù)則由用不著f在[a,b]連續(xù)f在[a,b]一致連續(xù)更一般情形：若f在[a,b]可積，F(xiàn)在[a,b]連續(xù)，且除有限個(gè)點(diǎn)外有則第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2步：(在上應(yīng)用㏒)3步：F在[a,b]連續(xù)，f在[a,b]一致連續(xù)，由定義，對(duì)

只要就有

現(xiàn)在4步：第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt3：在§5P221Th9,10

證得連續(xù)必有原函數(shù)之后。本定理中對(duì)于F的假設(shè)便是多余了。Exp1，P205Exp2：利用定積分求極限分析：定積分：解：顯然它是在[0,1]的一個(gè)積分和。第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月①分割：幾等分：②近似：取右端點(diǎn)③求和：④求極限：第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt:也可以看作：在[1,2]上的定積分同樣：Exp：在[1,2]①分割：②近似：即右端點(diǎn)第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月③④相同①分割：②近似：取即取右端點(diǎn)第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§3可積條件

從P204Th9.1及其后注看到，要判別一個(gè)函數(shù)是否可積。必須研究可積的條件。一、可積的必須條件Th9.2:若f在[a,b]可積，則f在[a,b]必有界證明：（反證法）若f在[a,b]無界。①②③

第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月④無論對(duì)多小的||T||。按上述方法選取點(diǎn)集時(shí)總能使積分和的絕對(duì)值大于任何預(yù)先給出的正數(shù)。（與P202定義3矛盾）與f在[a,b]矛盾！

積分和的極限為常數(shù)Nt：可積有界。反之，不一定。Exp：狄利克雷函數(shù)在[0,1]有界但不可積。證明：①

②③第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

④無論多么大，取法不同，積分和極限不同，所以D（x）在[0,1]不可積。Nt：有界是可積的必要條件。以后討論可積時(shí)，總首先假設(shè)函數(shù)有界。二、可積的充要條件要判斷一個(gè)函數(shù)是否可積，當(dāng)然可以根據(jù)定義，但由于積分和的復(fù)雜性，一般情況，很困難，現(xiàn)在要討論的可積準(zhǔn)則只與被積函數(shù)本身有關(guān)。而不涉及積分的值。設(shè)是[a,b]的任一分割

f在[a,b]有界f在每個(gè)存在上，下確界。第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月，第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月三、可積函數(shù)由可積的充要條件，下面證明一些函數(shù)類是可積的。第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Th9.5:若A在[a,b]只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，且有限，則f在[a,b]可積。分析：不防設(shè)f在[a,b]只有一個(gè)間斷點(diǎn)為b點(diǎn)只要證：①②第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

③④Th9.5：分析：①②第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)即使有無限多個(gè)間斷點(diǎn)，也仍可積Exp2：試用兩種方法證明函數(shù)：在[0,1]可積Nt1:證發(fā)（二）不只限于該例中的具體函數(shù)，更一般的命題是P2124TNt2：下面例3的證明思想可謂與它異曲同工Exp3：證明黎曼函數(shù)在[0,1]上可積，且第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月§4定積分的性質(zhì)一、定積分的基本性質(zhì)1、若f在[a,b]可積，k為常數(shù)，則kf在[a,b]也可積且證：第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2、若f，g都在[a,b]可積，則f±g在[a,b]上也可積且3、若f，g在[a,b]可積，則f，g在[a,b]也可積Nt：一般情況下，4、第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何意義：第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

5、6、Nt：此命題的逆命題不成立。Exp：Exp1：

第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt1：中被積函數(shù)在x=0處的值已由原來的改為但由P212習(xí)題3知，這并不影響f在[-1,0]上的可積性與積分值。Nt2：若要求直接在[-1,1]上使用牛頓萊布尼茲公式由P209,3題知：要求F(x)連續(xù)，由P181，例6可知：Exp2：證明：若f在[a,b]連續(xù)，且f(x)≥0則f(x)≡0,x∈[a,b]證明（反證法）第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Nt1：由此例得到：即使f為一非負(fù)可積函數(shù)只要它的某一點(diǎn)x0連續(xù)，且f（x0）>0則必有Nt2：可積函數(shù)必有連續(xù)點(diǎn)，P236，習(xí)題7二、定積分中值定理Th9.7、（積分第一中值定理）若f在[a,b]連續(xù)則至少

一點(diǎn)使

第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月Th9.8：（推廣的積分第