第三節(jié)瞬變非周期第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月非周期信號

準周期信號

信號中各簡諧成分

的頻率比為無理數(shù)晑

具有離散頻譜

瞬變信號在一定時間區(qū)間內(nèi)

存在或隨時間的增

長衰減至零x(t)0t準周期信號x(t)=Asin9t+Asin[sqrt(31)t]x(t)0t瞬變信號Ix(t)=exp(-t)*sinw

t0tx(t)瞬變信號II第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月一、瞬變非周期信號的譜密度與傅里葉變換

如前所述，對于周期為T的信號x(t),其頻譜是離散的。其相鄰兩條譜線間隔為。當周期信號的周期時，周期信號就變成了非周期信號了，則頻率間隔，譜線無限靠近，最后成為一條連續(xù)曲線。所以非周期信號的頻譜是連續(xù)的。以前述的方波為例。4A

4A3

4A5

0

A(

)

03

05

0第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若把非周期信號可以看成是周期T0趨于無窮大的周期信號三個變化第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是傅里葉積分表達式。傅里葉變換(FT)傅里葉反（逆）變換(IFT)稱為二者互為傅里葉級數(shù)對，記作：※第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月以代入得記為：這兩組式子分別以和為變量，后一組式子由于消除了這個因子，應用起來更為方便，建議大家多使用后一組。※※第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月通過傅里葉變換得到的，一般來說是實變量的復函數(shù)，可以寫成實、虛部的形式，也可寫成幅值與相角的形式。傅里葉變換——信號的連續(xù)幅值譜——信號的連續(xù)相位譜第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月用周期信號時來推導非周期信號的傅里葉變換對，這種推導并不嚴格。因為傅里葉變換的存在條件除了滿足狄里赫利條件外，還應滿足在無限區(qū)間上絕對可積的條件，即因此并不是所有的瞬變非周期信號都能夠進行傅里葉變換，有關這一點將在后面以例題的形式說明。第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月頻譜反映信號的頻率構成成分。對于周期信號，傅里葉級數(shù)的系數(shù)組成了離散頻譜，其幅值是各次諧波的振幅。而對于非周期信號，其幅值頻譜是連續(xù)的，幅值譜實際上是幅值譜密度（振幅/頻率），所以非周期信號的頻譜應該稱為譜密度函數(shù)；相應的非周期信號的頻譜圖實際上應該稱為譜密度圖。但一般文獻把離散頻譜和連續(xù)頻譜統(tǒng)統(tǒng)稱為頻譜，而無嚴格區(qū)分，工程測試中為方便，也仍稱為頻譜。

在此我們也沿用這種說法。第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月再次強調(diào)，非周期信號的幅值譜和周期信號的幅值很相似，但是兩者是有差別的，其別突出表現(xiàn)在周期信號的量綱為幅值量綱，而非周期信號的量綱不是幅值量綱，而是振幅/頻率，即單位頻帶上的幅值。周期信號———幅值量綱非周期信號——幅值/頻率第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例

求矩形窗函數(shù)的頻譜

W(f)中T稱為窗寬

1-T/2T/2tw(t)0解定義應用歐拉公式第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

這個函數(shù)在信號分析中有很大的作用，將之稱為抽樣信號，它以2

為周期并隨

的增加作衰減振蕩。

的圖象以為周期，隨的增加做衰減振蕩；函數(shù)是偶函數(shù)，在處的值是零第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月W(f)T01T1Tf3T3T

(f)

01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。W(f)中T

稱為窗寬。抽樣信號：W(f)以為周期并隨的增加作衰減振蕩。W(f)是偶函數(shù)，在f=n/T（n=

1,

2,……）處其值為0。其幅頻譜與相位譜如圖示。第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月二、傅里葉變換的主要性質(zhì)

前面已經(jīng)講過，一個信號可以有時域描述和頻域描述兩種描述方法。時域描述：以時間t做為獨立變量的信號的描述方法。頻域描述：以頻率f(或)做為獨立變量的信號的描述方法。頻域描述能夠揭示信號的頻率結構和各頻率成分的幅值與相位的大小。這兩種描述方法彼此建立一一對應關系就是通過傅里葉變換來實現(xiàn)的，即傅里葉變換起到了橋梁的作用。在信號分析中，傅里葉變換有著舉足輕重的地位，它是FFT（快速傅里葉變換）的基礎。因此要求我們掌握傅里葉變換的主要性質(zhì)，有助于了解信號在某個域中的變化和運算會對另一個域有何影響，產(chǎn)生何種的變化。傅里葉變換的性質(zhì)較多，我們主要要求大家掌握以下幾點：第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月1、奇偶虛實性

若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)若x(t)為實函數(shù)，則：ReX(f)=ReX(-f)

ImX(f)=-ImX(-f)余弦函數(shù)是偶函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù)第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、線性疊加性

如果那么其中第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：3、對稱性

如果則有IFT定義互換t和f用-t代t這是傅里葉變換的定義，因此上述結論得到驗證即第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱性舉例作用根據(jù)已知的傅里葉變換對推出未知的傅里葉變換對。第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月4、時間尺度改變特性

如果則有得證證明第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月尺度改變性質(zhì)舉例

時間尺度改變特性舉例又稱為時間展縮原理a)k=1b)k=0.5幅值增大頻帶變窄c)k=2幅值減小頻帶變寬第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、時移和頻移性質(zhì)如果則有時移性質(zhì)

頻移性質(zhì)證明此性質(zhì)表明，在時域中信號沿時間軸平移一個常值時，頻譜函數(shù)將乘因子，即只改變相頻譜，不會改變幅頻譜。與t無關第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月a)時域矩形窗b)圖a）對應的幅頻和相頻特性曲線c)時移的時域矩形窗d)圖c）對應的幅頻和相頻特性曲線時移性質(zhì)舉例產(chǎn)生相移第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、卷積性質(zhì)（又稱為褶積）兩個信號卷積定義為：卷積性質(zhì)可表述為：（這個性質(zhì)很重要）

卷積一般難于計算，應用傅里葉變換的性質(zhì)，可以將之化為乘積，然后再做反變換。第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月7、微分與積分性質(zhì)同理若則證明即微分性質(zhì)積分性質(zhì)第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月傅里葉變換的主要性質(zhì)

積分時移頻域微分尺度變換時域微分對稱性x1(t)x2(t)頻域卷積線性疊加x1(t)

x2(t)時域卷積實奇函數(shù)虛奇函數(shù)共軛虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)翻轉(zhuǎn)虛奇函數(shù)實奇函數(shù)頻移實偶函數(shù)實偶函數(shù)函數(shù)的奇偶虛實性頻域時域性質(zhì)頻域時域性質(zhì)第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種典型信號的頻譜1、單位脈沖函數(shù)(

(t)函數(shù))的頻譜

①δ函數(shù)定義其面積（強度）：0t

(t)

/2

01/

s

(t)t第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月②函數(shù)的采樣性質(zhì)

函數(shù)的采樣性質(zhì)與任一連續(xù)信號相乘，其乘積僅在脈沖發(fā)生的位置有值。

函數(shù)的采樣性質(zhì)是連續(xù)信號離散化的依據(jù)。采樣后將連續(xù)信號離散化，才能夠進一步處理成為數(shù)字信號。第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月采樣性又稱為篩選性篩選結果為x(t)在發(fā)生δ函數(shù)位置的函數(shù)值(又稱為采樣值)上述采樣信號的幅值為無窮大，但其強度是有限值（積分）。函數(shù)值第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月③卷積性

函數(shù)與其它信號的卷積是卷積中最為簡單的一類形式。把

函數(shù)的卷積性質(zhì)描述為：卷積性質(zhì)可用下圖示意。第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

函數(shù)與其它函數(shù)的卷積示例

第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月④δ函數(shù)的頻譜

對δ(t)取傅里葉變換頻譜特點：

有無限寬廣的頻譜；在所有的頻段上都是等強度的。均勻譜白噪聲第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月δ函數(shù)是偶函數(shù)利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對記住更好，記不住用的時候現(xiàn)推導。對稱性頻移性質(zhì)時移性質(zhì)第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（各頻率成分分別移相2

ft0）

(t

t0)

(f)（單位脈沖譜線）1（幅值為1的直流量）1（均勻頻譜密度函數(shù)）

(t)（單位瞬時脈沖）頻域

時域常用的

(t)函數(shù)的性質(zhì)第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月2、矩形窗函數(shù)的頻譜1-T/2T/2tw(t)0第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月我們將矩形窗函數(shù)進行拓展——常值函數(shù)的頻譜

直流量對稱性幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為f

=0處的δ函數(shù)實際上，利用傅里葉變換時間尺度改變性質(zhì)，也可以得出同樣的結論：當矩形窗函數(shù)的窗寬→∞時，矩形窗函數(shù)就成為常值函數(shù)，其對應的頻域δ函數(shù)。直流量與單位階躍信號不同第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3、指數(shù)函數(shù)的頻譜其傅里葉變換為：雙邊指數(shù)衰減函數(shù)第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月其傅里葉變換為：較為常用的是單邊指數(shù)衰減函數(shù)第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月單邊指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜

第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月單位階躍信號符號函數(shù)4、符號函數(shù)和單位階躍函數(shù)的頻譜第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)可以看作是雙邊指數(shù)衰減函數(shù)當a→0時的極限形式，即：第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月

單位階躍函數(shù)的頻譜第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月5、正余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能直接對之進行傅氏變換。由歐拉公式知：第43頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月00ttsin2

f0tcos2

f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f0第44頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月6、等間隔周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）的頻譜

其中Ts為周期；n為整數(shù)。周期單位脈沖序列（梳狀函數(shù)）為周期函數(shù)。因此可以表示成傅氏級數(shù)第45頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（fs=1/Ts）因為在（-Ts/2，T