成都市玉林中學(xué)高2022級(jí)5月診斷性評(píng)價(jià)試題數(shù)學(xué)命題人：高一備課組審題人：高一備課組（時(shí)間：120分鐘；總分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知（虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義得，即可確定虛部.【詳解】由題設(shè)，故其虛部為3.故選：C2.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于M，若，，用表示為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算，結(jié)合圖形幾何關(guān)系即可求解．【詳解】．故選：D．3.在中，已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角求出后直接用正弦定理即可.【詳解】由已知條件知，根據(jù)正弦定理得.故選：A4.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求得，再利用二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】解：由，得，∴.故選：C.5.一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原的面積是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可得原三角形的底邊及高，進(jìn)而可求原三角形的面積.【詳解】因?yàn)槿切蔚男倍?cè)直觀圖是等腰直角三角形，所以的底．腰，在中為直角三角形，高．所以直角三角形的面積是．故選:D．6.如圖所示，側(cè)棱長(zhǎng)為1的正四棱錐，若底面周長(zhǎng)為4，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積為()A.5 B.C. D.＋1【答案】B【解析】【分析】由正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面周長(zhǎng)為4，知這個(gè)棱錐側(cè)面積是四個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的面積之和．【詳解】：∵正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面周長(zhǎng)為4，

∴這個(gè)棱錐側(cè)面積是四個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的面積之和，

∴這個(gè)棱錐側(cè)面積．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的側(cè)面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意熟練掌握棱錐的結(jié)構(gòu)特征．7.若圓錐表面積為，圓錐的高與母線長(zhǎng)之比，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意，設(shè)底面半徑為r，圓錐的高為h，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意算出底面半徑和高，再得到體積即可.【詳解】由題意可知母線與圓錐底面的夾角的正弦值為，故母線與圓錐底面的夾角為，設(shè)底面半徑為r，圓錐的高為h，母線長(zhǎng)為l，則①，則圓錐的表面積為，將①代入，解得，圓錐的體積為；故選：A.8.在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.9.(多選)下列各向量運(yùn)算的結(jié)果與相等的有（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算并判斷.【詳解】由向量的線性運(yùn)算法則得，對(duì)A，，所以A符合題意，B不符合題意；對(duì)C，，對(duì)D，，故C不符合題意，D符合題意.故選：AD10.如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，下列四個(gè)推斷中正確的是（）A.平面B.平面C.平面D.平面平面【答案】AC【解析】【分析】由已知可得，由線面平行的判定定理可判斷A；由，與平面相交可判斷B；由，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷C，由與平面相交可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：因?yàn)樵谡襟w中，，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋c平面相交，所以與平面相交，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：與平面相交，所以平面與平面相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的一個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為C.的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)，根據(jù)周期公式即可判斷A，代入檢驗(yàn)即可判斷B，通過(guò)三角函數(shù)的平移原則即可判斷C，求出結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)A，，由周期公式可得,A正確；對(duì)B，因?yàn)?故為對(duì)稱中心，B正確；對(duì)C，的圖象向左平移個(gè)單位得到，C錯(cuò)誤;對(duì)D，當(dāng)，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，在單調(diào)遞減,故D正確.故選：ABD.12.在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說(shuō)法中正確的是（）A.B若，則C.若，則是直角三角形D.若，三角形面積，則三角形的外接圓半徑為【答案】ABC【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)判斷A；利用正弦定理結(jié)合三角形邊角關(guān)系判斷B；利用余弦定理計(jì)算判斷C，利用面積定理、正余弦定理計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，在中，，A正確；對(duì)于B，在中，由正弦定理得：，B正確；對(duì)于C，在中，由余弦定理得：，整理得，，C正確；對(duì)于D，依題意，，解得，由余弦定理得：，由正弦定理得外接圓半徑，D不正確.故選：ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.表面積為的球的體積為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先求出半徑，再利用公式可求體積.【詳解】，故答案為：.14.已知與的夾角為，則___________.【答案】【解析】【分析】先求出的值，即可得出答案.【詳解】，.故答案為：.15.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，測(cè)得，，，并在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高_(dá)_____.【答案】20【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求出，然后利用銳角三角函數(shù)可求出【詳解】在中，，，則,由正弦定理得，所以，所以，得，在中，,，所以，所以塔高，故答案為：2016.設(shè)函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，然后作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，利用對(duì)稱性可求得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)之和.【詳解】由于函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上圖象共有個(gè)交點(diǎn)，且有對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)之和的求解，解題時(shí)要結(jié)合圖形得出函數(shù)圖象的對(duì)稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.四、解答題：本大題有6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.若復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的加法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，利用復(fù)數(shù)的除法可求得復(fù)數(shù).【小問(wèn)1詳解】解：由已知，則，解得.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，.18.已知點(diǎn)是角終邊上的點(diǎn)，，，求：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求；（2）利用兩角差的余弦公式求解.【詳解】（1）角終邊上一點(diǎn)，，；（2）由（1）可知，因?yàn)椋?，?19.，.（1）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，向量與共線？（2）若，，且，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）兩向量與共線滿足；（2）兩向量與垂直滿足【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，，?dāng)向量與共線時(shí)，，解得：，故當(dāng)時(shí)，向量與共線【小問(wèn)2詳解】，．∵，∴，∴.20.如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，G為FC的中點(diǎn)，平面ABFE∩平面CDEF=EF（1）證明:AF//平面BDG（2）證明:AB//EF【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）連接AC交BD于O,連接OG.利用三角形的中位線定理，再利用線面平行的判定定理即可證明AF//平面BDG；（2）利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明出AB//EF.【小問(wèn)1詳解】連接AC交BD于O,連接OG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AC、BD互相平分.又G為FC的中點(diǎn)，所以O(shè)G為三角形ACF的中位線，所以.因?yàn)槊?面,所以AF//平面BDG.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB//CD.因?yàn)槊?面,所以AB//平面.因?yàn)槊?面面=EF.所以AB//EF.21.在①，，；②；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿足________．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①：由，得到，利用正弦定理和三角形內(nèi)角性質(zhì)化簡(jiǎn)得到，求得，即可求解；選②：由正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)得到，得到，即可求解；選③：由余弦定理求得，即可求解；（2）由余弦定理求得，結(jié)合基本不等式求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：選①：因?yàn)?，由，可得，由正弦定理?，因，可得，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，所?選②：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)椋傻?，則，即，可得，因?yàn)椋?選③：因?yàn)?，可得，由余弦定理得，又因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，且，由余弦定理知，即，可得，又由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的面積，即的面積的最大值為.22.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，最高點(diǎn)