贛縣第二中學(xué)陳科良

探索是人類認(rèn)識(shí)客觀世界過程中最生動(dòng)、最活躍的思維活動(dòng)，探索性問題存在于一切學(xué)科領(lǐng)域之中，在數(shù)學(xué)中則更為普遍．習(xí)慣上，我們將數(shù)學(xué)問題分為兩大類：一類是已知和結(jié)論都有確定要求的題型，簡稱封閉性問題；另一類是已知與結(jié)論兩者中至少有一個(gè)沒有確定要求的題型，我們把這類問題稱為開放探索性問題．探索性數(shù)學(xué)問題

命題趨勢

條件探索型結(jié)論探索型規(guī)律探索型存在探索型探索性問題條件探索型問題1．如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)P，AP=CP，AB∥CD，求證：△ABP≌△CDP.2．如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)P，AP=CP，請?jiān)黾右粋€(gè)條件使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是

.∵AB∥CD∴∠A=∠C,∠B=∠D∵∠B=∠D,∠A=∠C,AP=CP

∴△ABP≌△CDP(AAS)證明:（條件探索型問題）提示:給定明確的結(jié)論未給出確定的條件條件探索型問題2．如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)P，AP=CP，請?jiān)黾右粋€(gè)條件使△ABP≌△CDP(不能添加輔助線)，你增加的條件是

.△ABP≌△CDP解題策略是：從所給出的結(jié)論出發(fā)，采用逆推的辦法，猜想出合乎結(jié)論要求的一些條件，并進(jìn)行邏輯推理證明，從而尋找出滿足結(jié)論的條件．條件AP=CP,∠APB=∠CPD(已有)BP=DP;∠A=∠C;∠B=∠D;AB∥CD.結(jié)論條件探索型問題3.如圖，射線OA放置在正方形網(wǎng)格中，現(xiàn)請你分別在圖1、圖2、圖3添畫（工具只能用直尺）射線OB，使tan∠AOB的值分別為1、、．結(jié)論探索型問題4．如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)P，AP=CP，AB∥CD，求證：△ABP≌△CDP.請寫出兩個(gè)不同類型的正確結(jié)論.∵AB∥CD∴∠A=∠C,∠B=∠D∵∠B=∠D

,∠A=∠C,AP=CP

∴△ABP≌△CDP(AAS)證明:

結(jié)論探索型問題是指僅給出某種情境而沒有明確指出結(jié)論，需要解題者去探索符合條件的數(shù)學(xué)結(jié)論的一類試題．它與傳統(tǒng)題的區(qū)別在于：探索問題的結(jié)論的過程往往也是解題過程．解題策略：從分析題意入手，充分捕捉題設(shè)信息，由條件出發(fā)，順向推理或聯(lián)想類比、猜測等，獲得所求結(jié)論．5.如圖，∠BAC=90°、∠B=40°，點(diǎn)P是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APC為等腰三角形時(shí)，求∠BAP的度數(shù).結(jié)論探索型問題分析：①當(dāng)PA=PC時(shí)，∠PAC=

∠PCA=

50°，則∠BAP=

40°；②當(dāng)AP=AC時(shí)，∠APC=

∠PCA=

50°，則∠BAP=

10°；③當(dāng)CA=CP時(shí)（點(diǎn)P在BC之間），∠PAC=

∠CPA=

65°，則∠BAP=

25°；④當(dāng)CA=CP時(shí)（點(diǎn)P在BC的延長線上），∠PAC=

∠CPA=

25°，則∠BAP=

115°；ABCP變式：如圖，∠BAC=90°、∠B=30°，點(diǎn)P是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APC為等腰三角形時(shí)，求∠BAP的度數(shù).結(jié)論探索型問題ABCPACPxy

6.如圖，將邊長為2的等邊三角形沿

x軸正方向連續(xù)翻折2012次，依次得到點(diǎn)

,則點(diǎn)P

2012的坐標(biāo)是

．P1P3P2Oyx

簡析：觀察預(yù)判每一個(gè)點(diǎn)

的坐標(biāo)為:

可以遞推得點(diǎn)

的坐標(biāo)；因而點(diǎn)P2012的坐標(biāo)是．規(guī)律探索型問題

規(guī)律探索型問題是根據(jù)已知條件或所提供的若干個(gè)特例，通過觀察、類比、歸納，揭示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、規(guī)律與特征的一類探索性問題．解題策略是：常常利用特殊值等進(jìn)行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律.規(guī)律探索型問題7.（2010·廣東肇慶）觀察下列單項(xiàng)式：－a，2，－4，8，－16，…，按照此規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式是

(n是正整數(shù))．

分析：這一列單項(xiàng)式，觀察每一序列號(hào)下單項(xiàng)式的符號(hào)、系數(shù)、字母的次數(shù)；符號(hào)滿足奇數(shù)序號(hào)項(xiàng)為負(fù)、偶數(shù)序號(hào)項(xiàng)為正；系數(shù)的絕對值成2的自然數(shù)冪；字母a的次數(shù)成正整數(shù)冪遞增；因而設(shè)定n為正整數(shù)，則答案為:考點(diǎn)感悟8.

如圖，雙曲線與直線x＝k相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥y軸于A，求A的坐標(biāo).解：（1）在中，當(dāng)x＝k時(shí)，y＝1，∵PA⊥y軸于A，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）.

PAxyx＝k考點(diǎn)感悟變式1:如圖，雙曲線與直線x＝k相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥y軸于A，y軸上的點(diǎn)A、A1、A2的坐標(biāo)是連續(xù)整數(shù)，分別過A1、A2

作x軸的平行線，與雙曲線及直線x＝k分別交于點(diǎn)B1、B2與C1、C2,求及的值.解:∵A

、A1、A2的坐標(biāo)是連續(xù)整數(shù)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）.∴A1為（0，2），A2（0，3）.∴B1為，C1（k，2）；B2，C2（k，3）；∴A1B1＝，B1C1＝；C2B2＝，A2B2＝，

∴，.PAxyx＝kA1A2B1C1B2C28.

如圖，雙曲線與直線x＝k相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥y軸于A，求A的坐標(biāo).考點(diǎn)感悟變式2:如圖，雙曲線與直線x＝k相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥y軸于A，y軸上的點(diǎn)A、A1、A2、A3、…、An的坐標(biāo)是連續(xù)整數(shù)，分別過A1、A2

、A3、…、An作x軸的平行線，與雙曲線及直線x＝k分別交于點(diǎn)B1、B2、B3、…、Bn與C1、C2、C3、…、Cn．試猜想的值（直接寫出答案即可）．變式2猜想：

提示：An為（0，n＋1），

∴Bn為，Cn（k，n＋1），∴AnBn＝，BnCn＝PAxyx＝kA1A2B1C1B2C2A3AnBnC3CnB3變式1:如圖，雙曲線與直線x＝k相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥y軸于A，y軸上的點(diǎn)A、A1、A2的坐標(biāo)是連續(xù)整數(shù)，分別過A1、A2

作x軸的平行線，與雙曲線及直線x＝k分別交于點(diǎn)B1、B2與C1、C2,求及的值.解:∵A

、A1、A2的坐標(biāo)是連續(xù)整數(shù)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）.∴A1為（0，2），A2（0，3）.∴B1為，C1（k，2）；B2，C2（k，3）；∴A1B1＝，B1C1＝；C2B2＝，A2B2＝，

∴，.收獲談?wù)勀惚竟?jié)課有哪些收獲？1.“若一組數(shù)據(jù)4、7、9、1、6、的中位數(shù)是6”，其中兩個(gè)數(shù)據(jù)不慎被墨水沾黑，這兩個(gè)數(shù)據(jù)可能是

（寫出一組即可）.2.將多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它成為一個(gè)完全平方式，則加上的這個(gè)單項(xiàng)式為

.3.拋物線的部分圖象如圖所示，請寫出與它的關(guān)系式、圖象相關(guān)的兩個(gè)正確結(jié)論：

，

．（直接采用已知數(shù)據(jù)的結(jié)論除外）作業(yè)

4.如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B

=60°，BC=2．點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線

l從與AC重合的位置開始，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋