2015年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽高一預(yù)賽試題（5月10日8:30至11:00）一?填空題(本大題共8小題，每小題8分，共64分)若集合A—aa=5x，4,x?N「，BA.bb=7y?6,y?nJ，將Ap|B中的元素從小到大排列，則排在第20個(gè)的那個(gè)元素是 ??已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足：(x-3)32015(x-3)(2y-3)32015(2y-3)=0,則3?設(shè)線段BC二：—AB_ ,CD_BC，且CD與平面：?成30角，且AB二BC=CD2,c則線段AD的長(zhǎng)度為 4?若直線丨與直線x-3y1^0,2x?y-8=0分別交于點(diǎn)M,N，若MN的中點(diǎn)為P(0,1)，則直線l的方程是 ?5?設(shè)k,m,n都是整數(shù)，過(guò)圓x2y2=(3k1)2外一點(diǎn)P(m3-m,n3-n)向該圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB上滿(mǎn)足橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有個(gè).226?若函數(shù)f(x)=(1-x)(xaxb)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)，則a ?(請(qǐng)同學(xué)們?nèi)芜x一題作答，若兩題都做，則按上面一題正誤判分)(必修3)執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是

（必修4）已知函數(shù)f（x^sin^在區(qū)間（0,-）上是減函數(shù)，若o：：：x<1,a^C^）2,TOC\o"1-5"\h\zx 2 x2,sinx sinx … 》土口b ,c2，則a,b,c的大小關(guān)系是 .x x2015 20158?如果實(shí)數(shù)a,b使得x2-x-1是ax21bx211的因式，則a的個(gè)位數(shù)字為 ?二（本題滿(mǎn)足16分）求x2-3y2=2的整數(shù)解.三（本題滿(mǎn)足20分）如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上且滿(mǎn)足AC:::BC，在線段BC上取一點(diǎn)D，使BD=AC,在AD上取一點(diǎn)E使乙BED=45，延長(zhǎng)BE交CA于F，求證：CD二AF?四(本題滿(mǎn)足20分)對(duì)于任意的△ABC，若其三邊長(zhǎng)為a,b,c，則ax,bx,cx依然可以構(gòu)成某三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.五(本題滿(mǎn)足20分)已知全集UJl,2,|||,n?，集合A滿(mǎn)足：(i)AU；(ii)若A，則XA；(iii)若xeUA,kx芒qA(其中k, N*,k>2)，用fk(n)表示滿(mǎn)足條件的集合A的個(gè)數(shù).求f2⑷,f2(5)；記集合A中所有元素的和記為集合A的“和”，當(dāng)npkq(p,qN,0<q<k-1)時(shí)，求所有集合A的“和”的和(結(jié)果用含p,q,k的代數(shù)式表示).1.699;2.2&3.2>/2cm或4cm:4.x+4y-4=0;5.0;623;7丄必修3)1;(必修L二.因?yàn)檎麛?shù)a與a2的奇偶性相同，所以由x2-3y2=2,可知X』同奇同偶. ?分(i)若x,y都為奇數(shù)，設(shè)x=2m+lt<y=2n+l(m,neZ)代入原方程得m(m+1)=3n(n+1)+1由于m(m+l)是奇數(shù)?3巾(刀+1)+1為偶數(shù)?矛盾; 8分若斗y都為偶數(shù)?設(shè)x^2m.y=2n(m.neZ)12分代入原方程得2m2=6w2+1,2m2為偶數(shù).6n2+112分綜匕疋-3尸=2沒(méi)有整數(shù)解??三證明:如上圖所示■過(guò)B點(diǎn)作線段BM// 且BM=CD由是圓O的負(fù)徑知:厶CD=/LDBM=90°結(jié)合/4C=DB、CD=BM=>MCD絲ADBM——5分故AD=DMXCDA+ABDM=90°故MDM為等腰直角三角形 10分因此ZDAM=45°=ZDEB=>BFIIAM 15分繼而AFBM為平行四邊形，所以AF=BM=CD一??20分四?不妨設(shè)aSbSs故2+°>1?cc⑴當(dāng)X=0Bt,or=6x=cx=1，可以成為三角形的三邊長(zhǎng).(ii)當(dāng)“(OJMaWF此時(shí)a\b\c此時(shí)a\b\cx可以成為三角形的三邊長(zhǎng).10分當(dāng)x>l時(shí),a'SbycJI取a=b=l?再取c=2：v2■而■此時(shí)a\b\cx不能成為三角形的三邊長(zhǎng). 15分當(dāng)XVO時(shí)"2b*Ncr?2取6=0=1,再取°=2"<2°=l,fl5ax+cJ=2.此時(shí)a\b\cx不能成為三角形的三邊長(zhǎng).綜上x(chóng)e[OJ]. 20分五?證明：先證一個(gè)引理：當(dāng)力二pl+g(pgwN,05qM上-1)時(shí),/；(刀)工2川如?事實(shí)上■?存在唯一的aeN使得臚||加?記加=疋0,“€皿?若0kzpeA=>kyfleX=>F/?w4=>???；若fl^A9WkflGA=>k2/3ek'0w/nk'0GXn????故加是否在/!中由0是否在4中決定，而peCyB.B^^kv.pk].因此0共有TOC\o"1-5"\h\z”-p=p仗一])+g種取值?每個(gè)取值可以仕川中也町以不在A屮?因此人(刀)=. 10分回到原題?則⑴/i(4)=22=4,厶(5)=2"、=& 15分對(duì)于(3入若powCibB=