5.3.2命題、定理、證明

目錄CONTENTS創(chuàng)設(shè)情境01新課導(dǎo)入02新知探究03課堂小結(jié)04創(chuàng)設(shè)情境

01浪費(fèi)是可恥的；中華人民共和國(guó)的首都是北京。春天萬(wàn)物更新。哪些是用來(lái)判斷的，哪些是用來(lái)描述的？1.我們班的同學(xué)多么聰明。2.3.4.新課導(dǎo)入

02兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式。下列語(yǔ)句在表述形式上，有什么共同特點(diǎn)？1.對(duì)頂角相等。2.3.4.新知探究

03

像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫作命題。

命題的概念命題的定義一1

注意（1）只要對(duì)一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題。（2）如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題。如：相等的角是對(duì)頂角。

如：畫線段AB=CD。2例題分析301020304對(duì)頂角相等嗎？畫一條線段AB=2cm。相等的兩個(gè)角，一定是對(duì)頂角。兩條直線平行，同位角相等。判斷下列四個(gè)語(yǔ)句中，哪個(gè)是命題，哪個(gè)不是命題？命題命題命題的結(jié)構(gòu)二020103如果兩個(gè)三角形的三條邊相等，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等。如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)也相等。如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是3。觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？命題一般都可以寫成“如果……那么……”的形式。如命題：熊貓沒有翅膀。改寫為：如果這個(gè)動(dòng)物是熊貓，那么它就沒有翅膀?！叭绻焙蠼拥牟糠质穷}設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語(yǔ)句要通順。真命題與假命題三命題如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除。命題1如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角。命題2假命題真命題

數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。

公理的概念證明與舉反例四101020304線段公理兩點(diǎn)間線段最短。平行線性質(zhì)公理兩直線平行，同位角相等。平行線公理經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行。直線公理兩點(diǎn)確定一條直線。公理舉例2

有些命題是基本事實(shí)，還有些命題它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理。定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。定理的概念3同角或等角的補(bǔ)角相等。補(bǔ)角的性質(zhì)對(duì)頂角相等。對(duì)頂角的性質(zhì)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。垂線的性質(zhì)同角或等角的余角相等。余角的性質(zhì)

one

two

three

four學(xué)過(guò)的定理4

在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明。證明的概念5

已知：b∥c，

a⊥b．求證：a⊥c．證明：∵

a⊥b（已知）∴∠1=90°（垂直的定義）又

b∥c（已知）∴∠2=∠1=90°（兩直線平行，同位角相等）∴

a⊥c（垂直的定義）.abc12例題分析6例如，要判定命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對(duì)頂角。））12AOCB思考：如何判定一個(gè)命題是假命題呢？舉反例7課堂小結(jié)

04命題的定義命題的組成命題的分類判斷一件事情。題設(shè)和結(jié)論。真命題和假命題真命題公理和定理。

謝謝！

第五章

相交線與平行線命題、定理、證明

知識(shí)回顧前面,

我們學(xué)過(guò)一些對(duì)某一件事情作出判斷的語(yǔ)句,

例如:

（1）如果兩條直線都與第三條直線平行,

那么這兩條直線

也互相平行;

（2）兩條平行線被第三條直線所截,同旁內(nèi)角互補(bǔ);

（3）對(duì)頂角相等;

（4）等式兩邊加同一個(gè)數(shù),結(jié)果仍是等式.

你能說(shuō)明其中的條件和結(jié)論分別是什么嗎？情景導(dǎo)入小剛的百米成績(jī)有進(jìn)步，已達(dá)到9秒9.好！繼續(xù)努力,爭(zhēng)取跑進(jìn)9秒.操場(chǎng)上，裁判員向老師匯報(bào)訓(xùn)練成績(jī).哪個(gè)能做出對(duì)或錯(cuò)的判斷？獲取新知知識(shí)點(diǎn)一：命題的概念、形式和分類能對(duì)一件事情作出判斷的語(yǔ)句,叫做命題.備注：1.只要能作出判斷，無(wú)論判斷的結(jié)果是對(duì)還是錯(cuò)如對(duì)頂角相等（對(duì)）；互補(bǔ)的角是鄰補(bǔ)角（錯(cuò)）；2.常見的不能作出判斷的情況表示動(dòng)作，或疑問(wèn)句，或類似感嘆句，或表示選擇命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.

題設(shè)是已知事項(xiàng),

結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?這時(shí)“如果”后接的部分是題設(shè),“那么”后接的部分是結(jié)論.

有些命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，從而將它們寫成“如果……那么……”的形式.

例如，命題“對(duì)頂角相等”可以寫成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”.改寫遵從不改愿意，并且完整清楚

如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題.如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.如“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”“如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除”等例題講解例1判斷下列四個(gè)語(yǔ)句中，哪個(gè)是命題，哪個(gè)不是命題？并說(shuō)明理由：（1）對(duì)頂角相等嗎？（2）畫一條線段AB=2cm;（3）兩條直線平行，同位角相等；（4）相等的兩個(gè)角，一定是對(duì)頂角.解：（3）（4）是命題，其中（3）判斷的結(jié)果是正確，（4）判斷的結(jié)果是錯(cuò)誤；（1）（2）不是命題.理由如下：（1）是問(wèn)句，故不是命題；（2）是動(dòng)作，也不是命題.例2

把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式．(1)對(duì)頂角相等；(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行；(3)同角或等角的余角相等．解：(1)如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等．(2)如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行．(3)如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角或兩個(gè)相等的角的余角，那么這兩個(gè)角相等．獲取新知知識(shí)點(diǎn)二：基本事實(shí)、定理和證明基本事實(shí)：數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)直線的基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線.線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)間線段最短.平行線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行.作用平行線的判定-基本事實(shí)：同位角相等，兩直線平行.定理：有些真命題它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).作用學(xué)過(guò)的定理：（1）補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等.（2）余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等.（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.（4）平行線的判定：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明.

判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.

例如，要判定命題“相等的角是對(duì)頂角”是假命題，可以舉出如下反例：圖中，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對(duì)頂角.12OABC例題講解∵a⊥b

(已知)，∴∠1=90°(垂直的定義).又b//c(已知)，∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).∴∠2=∠1=90°(等量代換).∴a⊥c(垂直的定義).證明：例2

如圖，已知直線b//c，a⊥b.求證a⊥c.12a

bc隨堂演練1.下列語(yǔ)句中,是命題的是(

)A.有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角B.在直線AB上取一點(diǎn)CC.用圓規(guī)畫圓D.直角都相等嗎?A2.下列命題中,假命題是 (

)A.所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示B.等角的補(bǔ)角相等C.若|a|=4,則a=4D.兩點(diǎn)之間,線段最短C3.能說(shuō)明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，|a|>－a”是假命題的一個(gè)反例可以是()A．a(chǎn)＝－2B．a(chǎn)＝C．a(chǎn)＝1D．a(chǎn)＝2A4.舉反例說(shuō)明下列命題是假命題．(1)若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等；(2)若ab＝0，則a＋b＝0.解：(1)兩條直線平行形成的內(nèi)錯(cuò)角，這兩個(gè)角不是對(duì)頂角，但是它們相等；(2)當(dāng)a＝5，b＝0時(shí)，ab＝0，但a＋b≠0.5.已知:如圖,∠1和∠2互為補(bǔ)角,∠A=∠D.求證:AB∥CD.證明:∵∠1與∠CGD是對(duì)頂角,∴∠1=∠CGD().

又∵∠1與∠2互為補(bǔ)角(已知),∴∠CGD與∠2互為補(bǔ)角,∴AE∥FD(),

∴∠A=∠BFD().

∵∠A=∠D(已知),∴∠BFD=∠D(),

∴AB∥CD().

對(duì)頂角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行兩直線平行,同位角相等等量代換內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行6.如圖，已知AB∥CD，直線AB，CD被直線MN所截，交點(diǎn)分別為P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.求證：PG∥HQ.證明：∵AB∥CD(已知)，∴∠BPQ＝∠CQP(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)．又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已