專題05數(shù)列—2021高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)、熱點(diǎn)題型歸類強(qiáng)化【高頻考點(diǎn)及備考策略】本部分內(nèi)容在備考時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(1)考查等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，考查方程的思想以及運(yùn)算能力，加強(qiáng)對(duì)等差(比)數(shù)列概念的理解，掌握等差(比)數(shù)列的判定與證明方法．(2)掌握等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，等差(比)數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用．(3)加強(qiáng)對(duì)遞推數(shù)列概念及解析式的理解，掌握遞推數(shù)列給出數(shù)列的方法．(4)掌握數(shù)列分組求和、裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和的方法，掌握與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問題的求解方法及解題策略．考向預(yù)測(cè)：(1)在解答題中，涉及等差、等比數(shù)列有關(guān)量的計(jì)算、求解．(2)已知數(shù)列滿足的關(guān)系式，以遞堆數(shù)列為命題背景考查等差(比)數(shù)列的證明方法．(3)給出等差(比)數(shù)列某些項(xiàng)或項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系或某些項(xiàng)的和，求某一項(xiàng)或某些項(xiàng)的和及通項(xiàng)公式．(4)已知某數(shù)列的遞推式或某項(xiàng)的值，求該數(shù)列的和．(5)已知某個(gè)不等式成立，求某參數(shù)的值．證明某個(gè)不等式成立．必備知識(shí)必備知識(shí)等差、等比數(shù)列名稱等差數(shù)列等比數(shù)列文字定義如果一個(gè)數(shù)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，常用字母q表示.代數(shù)定義通項(xiàng)公式通項(xiàng)推廣中項(xiàng)公式如果成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng).中項(xiàng)公式：.如果成等比數(shù)列，則叫做與的等比中項(xiàng).中項(xiàng)公式：.性質(zhì)若則.若，則若則.若，則.前n項(xiàng)和公式前n項(xiàng)和的性質(zhì)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則仍成等差數(shù)列.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則仍成等比數(shù)列.判定方法1、定義法：常數(shù)2、中項(xiàng)公式法：3、通項(xiàng)公式法：4、前n項(xiàng)公式法：1、定義法：=常數(shù)2、中項(xiàng)公式法：3、通項(xiàng)公式法：二、數(shù)列求和的方法1、公式法求和:使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的求和方法.用公式法數(shù)列求和的思路是：厘清情境：看清題干中的等差數(shù)列、等比數(shù)列，尤其是由遞推公式變形后轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，直接用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解；公式的靈活選取:在等差數(shù)列中，若不涉及公差，可用求和；若涉及公差，可用公式求和；在等比數(shù)列中，若公比不明確，需分類討論，則.（注：數(shù)列求和中每個(gè)基本量表示的含義，尤其項(xiàng)數(shù)n）2、分組轉(zhuǎn)化法求和:若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法求和,分別求和而后相加減.適用數(shù)列：，且為等差或等比數(shù)列.3、裂項(xiàng)相消法求和定義：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為“分式或根式”的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，通過累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩收尾有限項(xiàng)的求和方法叫做裂項(xiàng)相消法.適用數(shù)列：，（，為常數(shù)）4、乘公比錯(cuò)位相減法求和定義：一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和,所謂“錯(cuò)位”,就是要找“同類項(xiàng)”相減.一般是在和式的兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比,然后錯(cuò)位作差求解.(1)適用數(shù)列：形如“等差乘等比型”：且為等差或等比數(shù)列(2)思路：①在等式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比.②兩式相減:左邊為,右邊為的同次式對(duì)齊相減.③右邊去掉最后一項(xiàng)(有時(shí)需要去掉第一項(xiàng))剩下的各項(xiàng)組成等比數(shù)列,可以采用公式求和.5、倒序相加法求和如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)之和,可把正著寫與倒著寫的兩個(gè)式子相加,就得到一個(gè)常數(shù)列的和,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法。例如,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.6、并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1類型,可采用并項(xiàng)法求解.三、數(shù)列求通項(xiàng)的方法1、累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。2、累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。3、與的關(guān)系問題的轉(zhuǎn)化(1)“和”變“項(xiàng)”——構(gòu)造方程組.首先根據(jù)題目條件,得到新式(與條件相鄰),然后作差，將“”用“”替換，轉(zhuǎn)化為只含的關(guān)系式,再求解.(2)“項(xiàng)”變“和”.首先將用“（或用“）替換,得到與（或與）的關(guān)系式,然后求.注:關(guān)于數(shù)列的式子中,如果含有如,,必須注明n≥2.4、構(gòu)造新數(shù)列法求通項(xiàng)類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式。（2）形如，的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式類型3：用”倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.【重要結(jié)論】1、一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)(2)(3)(4)(5)2、常見的裂項(xiàng)技巧：、、、、、、、、（簡(jiǎn)記為“”）.【易錯(cuò)警示】1．忽視等比數(shù)列的條件：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，忽視各項(xiàng)都不為零的條件；公比為字母的等比數(shù)列求和時(shí)，注意公比是否為1的分類討論．2．漏掉等比中項(xiàng)：正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是±eq\r(ab)，容易漏掉－eq\r(ab).3．忽略對(duì)等比數(shù)列的公比的討論：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)首先討論公式q是否等于1.4．a(chǎn)n－an－1＝d或eq\f(an,an－1)＝q中注意n的范圍限制．5．易忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的條件是n≥2.6．證明一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列時(shí)，由數(shù)列的前n項(xiàng)和想當(dāng)然得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，易出錯(cuò)，必須用定義證明．7．等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù)，而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q，又要考慮首項(xiàng)a1的正負(fù)．8．錯(cuò)位相減法求和時(shí)易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng)；裂項(xiàng)相消法求和時(shí)易認(rèn)為只剩下首尾兩項(xiàng)，注意所裂式與原式的等價(jià)性．真題體驗(yàn)一、選擇題真題體驗(yàn)1、（2020新課標(biāo)Ⅰ卷·文科T10）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2、（2020新課標(biāo)Ⅱ卷·理科T4）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.3、（2020新課標(biāo)Ⅱ卷·理科T6）數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4、（2020新課標(biāo)Ⅱ卷·文科T6）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、（2020北京卷·T8）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.6、（2020浙江卷·T7）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．填空題1、（2020新課標(biāo)Ⅰ卷·文科T16）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則______________.【答案】【解析】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.2、（2020新課標(biāo)Ⅱ卷·文科T14）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．【答案】【解析】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、（2020山東省新高考全國Ⅰ卷·T14）同（2020海南省新高考全國Ⅱ卷·T15）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題目.4、（2020江蘇卷·T11）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對(duì)比系數(shù)可知，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.5、（2020浙江卷·T11）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項(xiàng)和是________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以．即．故答案?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題．三、解答題1、（2020新課標(biāo)Ⅰ卷·理科T17）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、（2020新課標(biāo)Ⅲ卷·理科T17）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.（2020新課標(biāo)Ⅲ卷·文科T17）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}前n項(xiàng)和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因?yàn)椋?，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.3、（2020山東省新高考全國Ⅰ卷·T18）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由于，所以對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè)；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個(gè).所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查分析思考與解決問的能力，屬于中檔題.4、（2020海南省新高考全國Ⅱ卷·T18）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由于：，故：.【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎(chǔ).5、（2020北京卷·T21）已知是無窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【解析】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)【解法一】首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由①知存在實(shí)數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，（的情況類似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.【解法二】假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知?jiǎng)t存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù)，不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運(yùn)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.6、（2020江蘇卷·T20）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】（1）（2），（3）假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對(duì)于給定的，存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列，且或有兩個(gè)不等的正根.可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個(gè)不等正根，設(shè).①當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，，滿足題意.②當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，，此情況有兩個(gè)不等負(fù)根，不滿足題意舍去.綜上，【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項(xiàng)求通項(xiàng)、一元二次方程實(shí)根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題.7、（2020天津卷·T19）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.8、（2020浙江卷·T20）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】（I）；（II）證明見解析.【解析】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以（）.所以（II）依題意設(shè)，由于，所以，故.所以.由于，所以，所以.即，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.高頻考點(diǎn)、熱點(diǎn)題型強(qiáng)化高頻考點(diǎn)、熱點(diǎn)題型強(qiáng)化考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列基本量及性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】1、在等差數(shù)列中，，若的前k項(xiàng)和為50，則k=.2、已知數(shù)列為等比數(shù)列，，前四項(xiàng)的和，則=.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，所以，則，整理可得，因?yàn)閗為正整數(shù)，所以k=10.（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知可得，解得，所以.【備考策略】求等差（比）數(shù)列基本量的解題思路：設(shè)基本量：首項(xiàng)和公差d（公比q）；列、解方程（組）：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和d（或q）的方程（組），然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量.注：等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是數(shù)列中的一類基本問題,有五個(gè)基本量:,，n，，，一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.【類比演練】1、已知等差數(shù)列滿足，則它的前10項(xiàng)的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23【解析】選C.因?yàn)镼UOTEa2+a4=4,a3+a5=10,所以S10=10a1+QUOTE10×9210×922、在遞增的等比數(shù)列中,已知，且前n項(xiàng)和Sn=42,則n等于()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選A.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以.又,所以是方程x2-34x+64=0的兩根,解得QUOTEa1=2,an=32或，QUOTEa1=32,又因?yàn)槭沁f增數(shù)列,所以，由,解得q=4.由，解得n=3.【典例2】1、在等差數(shù)列中,，則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于()A.290 B.300 C.580 D.600【解析】選B.由，得.由，得,所以.2、在等比數(shù)列中,若，則()A.1 B. C. D.【解析】選C.數(shù)列是等比數(shù)列，，所以.3、等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為和Tn,若=,則等于()A. B. C. D.【解析】選A.因?yàn)镼UOTEa7b7======QUOTE3727.故選A.【備考策略】應(yīng)用等差、等比性質(zhì)解題的思路：1、解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.2、（1）運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以優(yōu)化解題過程,但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件,如：若則(m,n,p,q∈N*)；這一性質(zhì)與求和公式的綜合應(yīng)用；(2)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若則(m,n,p,q∈N*)，可以減少運(yùn)算量,提高解題速度；3、在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形，應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)。此外,解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.【類比演練2】1、在等差數(shù)列中,若，則=________.

【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中,，所以，所以，所以，所以.答案:42、數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且數(shù)列QUOTElog3an是等差數(shù)列,若,則()A.12 B.10 C.8 D.2+log35【解析】選B.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列,所以,所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列,所以,又,所以,所以,所以，故選B.3、等比數(shù)列中,已知，則數(shù)列的前16項(xiàng)和S16為()A.20 B.QUOTE752752 C.QUOTE12521252 D.-QUOTE752752【解析】選B.由題意得,S4=20,S8-S4=10,則QUOTES8-S4S4S8-S4S4根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12構(gòu)成公比為QUOTE1212的等比數(shù)列,S4=20,S8-S4=10,S12-S8=5,S16-S12=QUOTE5252,且S8=30,S12=35,S16=QUOTE752752，故選B.考點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的判斷與證明【典例】1、數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.證明:數(shù)列QUOTEannann是等差數(shù)列【解析】證明：由已知可得QUOTEan+1n+1an+1n+1=QUOTEannann+1,即QUOTEan+1n+1an+1n+1-QUOTEanna所以QUOTEannann是以QUOTEa11a11=1為首項(xiàng),12、已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*).證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】證明：由已知,Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*),當(dāng)n≥2時(shí),Sn=2Sn-1+n,兩式相減得,an+1=2an+1,于是an+1+1=2(an+1),當(dāng)n=1時(shí),S2=2S1+1+1,即a1+a2=2a1+1+1,所以a2=3.此時(shí)a2+1=2(a1+1),且a1+1=2≠0,所以,數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列所以,an+1=2·2n-1,即an=2n-1(n∈N*).【備考策略】1、證明數(shù)列是等差數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有等于同一個(gè)常數(shù);(2)利用等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有.2、證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義法：證明等于同一個(gè)不為零的常數(shù);(2)利用等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有且數(shù)列各項(xiàng)均不為0.【類比演練】1、已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間滿足2an=Sn·Sn-1(n≥2).(1)求證:數(shù)列QUOTE1Sn1Sn是等差數(shù)列,并求公差(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)因?yàn)閚≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,所以2(Sn-Sn-1)=Sn·Sn-1,所以QUOTE1Sn-11Sn-1-QUOTE1Sn1Sn=QUOTE1212,即QUOTE1Sn1Sn-QUOTE1Sn-11Sn-1=-QUOTE121所以QUOTE1Sn1Sn是以QUOTE1S11S1=QUOTE1a11a1=QUOTE1313為首項(xiàng),-QUOTE1212為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知QUOTE1Sn1Sn=QUOTE1313+(n-1)×QUOTE-12-12=-QUOTE1212n+QUOTE5656=QUOTE-3n+56-3n+56,所以Sn=QUOTE6-3n+56-3n+5.當(dāng)n≥2時(shí).所以2、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a5+a6=24,S11=143,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及數(shù)列QUOTE1anan+11ana(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并說明理由.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由S11=11a6=143,所以a6=13.又a5+a6=24,解得a5=11,d=2,因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是an=2n+1(n∈N*),所以,從而前n項(xiàng)的和為QUOTE13×513×5+QUOTE15×715×7+…+QUOTE1(2n+1)(2n+3)1(2n+1)(2n+3)=QUOTE1213-15+1=QUOTE1213-12n+31213-12n+3(2)因?yàn)閍1=3,,Tn=4n+3.當(dāng)n=1時(shí),b1=7;當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=4n-4n-1=3×4n-1.所以bn+1=4bn(n≥2).若{bn}是等比數(shù)列,則有b2=4b1,而b1=7,b2=12,所以與b2=4b1矛盾,故數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列.考點(diǎn)三數(shù)列求和【典例】1、已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且存在實(shí)數(shù)滿足.求得值即通項(xiàng)；求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，有，①得當(dāng)時(shí)，，②①—②得，，又，所以，將代入①，得，即，又，所以.（2）由（1）知，所以由分組轉(zhuǎn)化求和法得==.2、已知等差數(shù)列滿足，且是的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求?！窘馕觥浚?）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，即，，，，又是，的等比中項(xiàng)，，即，解得.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得..3、已知等差數(shù)列的公差是1，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得.所以.（2），，兩式相減得，所以.所以.【備考策略】1、在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)的思路：（1）把通項(xiàng)裂項(xiàng)后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差（通項(xiàng)公式特征不明顯的要對(duì)通項(xiàng)公式變形,如分離常數(shù)、有理化等）.（2）在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，是否還有其他項(xiàng)，裂項(xiàng)后不是相鄰項(xiàng)相消的,要寫出前兩組、后兩組觀察消去項(xiàng)、保留項(xiàng)，注意：消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng)．2、在運(yùn)用乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)要謹(jǐn)防三個(gè)失誤：（1）兩式相減時(shí)最后一項(xiàng)因?yàn)闆]有對(duì)應(yīng)項(xiàng)而忘記變號(hào).（2）對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊,不能準(zhǔn)確地確定中間的項(xiàng)數(shù).（3）求和的最終結(jié)果忘記除以錯(cuò)位相減后前面的系數(shù).【類比演練】1、在數(shù)列中，已知．（1）求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【解析】（1）,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴.因?yàn)?，所?（2）由（1）知，,所以所以.2、已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，成等差數(shù)列，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，易知.由成等差數(shù)列，得，即，化簡(jiǎn)得，解得，由得，解得，所以.（2），所以，則==.3、在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【解析】（1）由題知為正項(xiàng)等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則解得，所以（2）因?yàn)?，所以，?考點(diǎn)四求數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列的綜合應(yīng)用【典例】1、已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋1,n)an＋eq\f(n＋1,2n).(1)設(shè)bn＝eq\f(an,n)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)由an＋1＝eq\f(n＋1,n)an＋eq\f(n＋1,2n)，可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋eq\f(1,2n)，又bn＝eq\f(an,n)，∴bn＋1－bn＝eq\f(1,2n)，由a1＝1，得b1＝1，由累加法可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝eq\f(1,21)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)，即bn－b1＝＝1－eq\f(1,2n－1)，∴bn＝2－eq\f(1,2n－1).(2)由(1)可知an＝2n－eq\f(n,2n－1)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(2,21)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(n,2n－1)①，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,21)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)②，①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,20)＋eq\f(1,21)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝eq\f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(n＋2,2n)，∴Tn＝4－eq\f(n＋2,2n－1).易知數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)，∴Sn＝n(n＋1)－4＋eq\f(n＋2,2n－1).2、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)令n=1,T1=2S1-1,因?yàn)門1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.(2)n≥2時(shí),Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,則Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),a1=S1=1也滿足上式,所以Sn=2an-2n+1(n≥1),當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,兩式相減得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n≥2),所以an+2=2(an-1+2),因?yàn)閍1+2=3≠0,所以數(shù)列{an+2}是以3為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.所以an+2=3×2n-1,所以an=3×2n-1-2,當(dāng)n=1時(shí)也成立,所以an=3×2n-1-2.3、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-1，其中n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn=3bn-1+an(n≥2)，①證明：數(shù)列{QUOTEbn3n-1bn3②求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n-1，所以an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2·3n-1(n≥2).因?yàn)閚=1時(shí)，a1=S1=2，也適合上式，所以an=2·3n-1(n∈N*).(2)①當(dāng)n≥2時(shí)，bn=3bn-1+2·3n-1，兩邊同時(shí)除以，將其變形為QUOTEbn3n-1bn3n-1=QUOTEbn-13n-2bn-13n-2+2，即QUOTEbn3n-1bn3n-1-QUOTE所以，數(shù)列{QUOTEbn3n-1bn3n-1}是首項(xiàng)為QUOTEb130b13②由①得，QUOTEbn3n-1bn3所以bn=(2n-1)·3n-1(n∈N*)，因?yàn)門n=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1，所以3Tn=1×31+3×32+5×33+…+(2n-1)·3n.兩式相減得2Tn=-1-2(31+32+…+3n-1)+(2n-1)·3n.整理得Tn=(n-1)·3n+1(n∈N*).【備考策略】1、利用累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)的解題關(guān)鍵是：化簡(jiǎn).當(dāng)時(shí)，先要準(zhǔn)確寫出恒等式中各加項(xiàng)（各因式），然后利用相關(guān)數(shù)列知識(shí)及指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則加以化簡(jiǎn)；驗(yàn)證.注意驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否滿足上述一般情形（當(dāng)時(shí)的情形）.2、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和的遞推式或與的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的問題，破解此類題的關(guān)鍵是：第一步:令n=1,則，求得;第二步:令n≥2,則；第三步:驗(yàn)證與的關(guān)系:(1)若適合，則.(2)若不適合，則【類比演練】1、在數(shù)列中，且，，則的通項(xiàng)公式為__________．【答案】【解析】在數(shù)列中，，，，，，以上式子累加得：.2、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,{Sn+nan}為常數(shù)列,則an=()A.QUOTE13n-113n-1 B.QUOTE2n(n+1)2n(n+1)C.QUOTE6(n+1)(n【解析】選B.由題意知,Sn+nan=2當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+(n-1)an-1=2,所以(n+1)an=(n-1)an-1,從而由累乘法得，QUOTEa2a1a2a1·QUOTEa3a2a3a2·QUOTEa4a3a4a3·…·QUOTEanan-1anan-1=QUOTE1313·QUOTE2424·…·QUOTEn-1n+1n-1所以an=QUOTE2n(n+1)3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1(n∈N*)，設(shè)bn＝1＋log2an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝________．【解析】因?yàn)镾n＝2an－1(n∈N*)，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，得an＝2an－1，所以an＝2n－1，從而bn＝1＋log2an＝n.故Tn＝eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bnbn＋1)＝＝eq\f(n,n＋1).答案：eq\f(n,n＋1)4、在數(shù)列{}中，已知，，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】將等式兩邊取倒數(shù)得到，是公差為的等差數(shù)列，=，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法得到，故=.強(qiáng)化訓(xùn)練故答案為B.強(qiáng)化訓(xùn)練選擇題1、已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，設(shè)bn＝1＋log3an，那么數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和為()A．152B．135C．80 D．16[解析]設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＋a3＝30，a2＋a4＝S4－(a1＋a3)＝90，所以公比q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝3，首項(xiàng)a1＝eq\f(30,1＋q2)＝3，所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，則數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前15項(xiàng)的和為eq\f(15×2＋16,2)＝135.故選B．2、已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若log2a2＋log2a8＝2，則T9的值為()A．±512B．512C．±1024 D．1024[解析]log2a2＋log2a8＝2，可得log2(a2a8)＝2，可得：a2a8＝4，則a5＝±2，等比數(shù)列{an}的前9項(xiàng)積為T9＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512.3、若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S8－S3＝20，則S11的值為()A．44B．22C．eq\f(200,3) D．88[解析]因?yàn)镾8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝20，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，5a6＝20，所以a6＝4.由等差數(shù)列的求和公式得S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝44.4、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則eq\f(S1,a1)，eq\f(S2,a2)，…，eq\f(S15,a15)中最大的項(xiàng)為()A．eq\f(S6,a6)B．eq\f(S7,a7)C．eq\f(S8,a8) D．eq\f(S9,a9)[解析]由S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝eq\f(15×2a8,2)＝15a8>0，S16＝eq\f(16a1＋a16,2)＝16×eq\f(a8＋a9,2)<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故Sn最大為S8.又d<0，所以{an}單調(diào)遞減，因?yàn)榍?項(xiàng)中Sn遞增，所以Sn最大且an取最小正值時(shí)eq\f(Sn,an)有最大值，即eq\f(S8,a8)最大．故選C．5、已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1＝1，(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，則它的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(1,n＋1) B．a(chǎn)n＝eq\f(2,n＋1)C．a(chǎn)n＝eq\f(n＋1,2) D．a(chǎn)n＝n[解析]由(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq\o\al(2,n)＋anan＋1＝0，得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an]·(an＋1＋an)＝0，又an>0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，即eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n＋2)，an＋1＝eq\f(n＋1,n＋2)·an，所以an＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·…·eq\f(2,3)a1＝eq\f(2,n＋1)a1(n≥2)，所以an＝eq\f(2,n＋1)(n＝1適合)，于是所求通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n＋1).6、若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝－2n－1 B．a(chǎn)n＝(－2)n－1C．a(chǎn)n＝(－2)n D．a(chǎn)n＝－2n[解析]由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得an＝eq\f(2,3)an－eq\f(2,3)an－1.所以an＝－2an－1.又可以得到a1＝1，所以an＝(－2)n－1(n≥2)．又a1＝(－2)1－1＝1，所以an＝(－2)n－1.填空題1、已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a2＝2，S9＝9，則a8＝.[解析]因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．a(chǎn)2＝2，S9＝9，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝2，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝9，))解得d＝－eq\f(1,3)，a1＝eq\f(7,3)，所以a8＝a1＋7d＝0.2、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{eq\f(1,an)}前10項(xiàng)的和為.[解析]由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，則eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2(eq\f(1,n