第3節(jié)條件概率例1將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面情況.設(shè)事件A={最少有一次為正面H},事件B={兩次擲出同一面},求已知事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生概率.

解

樣本空間為Ω={HH,HT,TH,TT},B={HH,TT},A={HH,HT,TH}.若記已知事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生概率為P(B|A),則有一、條件概率與乘法公式1.條件概率P(B|A)=1/3故有易知P(A)=3/4,P(AB)=1/4,P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),1/25定義

設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生條件概率.

條件概率是指在事件A發(fā)生條件下，另一事件B發(fā)生概率，記用P（B|A）.2/25條件概率性質(zhì)條件概率符合概率定義中三個(gè)條件.即(1)對(duì)于任一事件B,有P(B|A)≥0;(2)P(Ω|A)=1;(3)可列可加性:設(shè)B1,B2,…Bn是兩兩互不相容事件,則有所以,概率中一些主要結(jié)果都適合用于條件概率.證實(shí)（見教材）3/25解依題意

4/25例4

考慮恰有兩個(gè)小孩家庭，若已知某一家有男孩求這家有兩個(gè)男孩概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）概率（假定生男生女為等可能）5/25于是得

所求兩個(gè)條件概率為6/25例5設(shè)100件產(chǎn)品中有5件次品,從中任取兩次,每次取一件,作不放回抽樣.設(shè)A={第一次抽到合格品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).解法1

在A已發(fā)生條件下,產(chǎn)品數(shù)變?yōu)?9件,其中次品數(shù)仍為5件,所以P(B|A)=5/99解法2從100件產(chǎn)品中連續(xù)抽取2件(抽后不放回),其樣本空間S基本事件總數(shù)為100×99,使AB發(fā)生基本事件數(shù)為95×5.P(AB)=(95×5)/(100×99)于是P(A)=95/100故有P(B|A)=5/99=0.050517/252.乘法公式由條件概率定義可得下面定理乘法定理若P(A)>0,則有P(AB)=P(B|A)P(A)上式稱為乘法公式

.乘法公式能夠推廣到任意有限個(gè)事件情況.設(shè)A1,A2,…,An為試驗(yàn)E中n個(gè)事件,且P(A1A2…An-1)>0,則有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)8/25例6

一個(gè)盒子中有6只白球，4只黑球，從中不放回地每次任取1只，連取3次，求第三次才取得白球概率.易知

解

設(shè)事件Ai表示第i次取得白球(i=1、2、3),A表示第三次才取得白球.則A等于第一次取得黑球，第二次取得黑球，第三次取得白球,即9/25例7

袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球,從中依次取出兩個(gè),求兩個(gè)都是紅球概率.解

設(shè)A1={第一次取得紅球},A2={第二次取得紅球}.(1)若用“不放回抽樣”,則P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)×(1/4)=0.1(2)若用“有放回抽樣”,則P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)×(2/5)=0.1610/25例8

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造透鏡,第一次落下時(shí)打破概率為1/2;若第一次落下未打破,第二次落下時(shí)打破概率為7/10;若前二次落下未打破,第三次落下時(shí)打破概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破概率.解法1設(shè)Ai={透鏡第i次落下未打破},(i=1,2,3),B={透鏡落下三次而未打破},則B=A1A2A3,故有P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200=0.01511/25例9

一個(gè)盒子中有n(n>1)只晶體管,其中有一只次品,隨機(jī)地取一只測(cè)試,直到找到次品為止.求在第k(1≤k≤n)次才測(cè)試出次品概率.解設(shè)Ai={第i次測(cè)試是正品},Bk={第k次才測(cè)試到次品},則12/25二、全概率公式和貝葉斯公式定義

設(shè)Ω為試驗(yàn)E樣本空間,B1,B2,…,Bn為E一組事件.若1)BiBj=

,i≠j,i,j=1,2,…,n;2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω一個(gè)劃分.1.全概率公式若B1,B2,…,Bn是樣本空間Ω一個(gè)劃分,那么,對(duì)于每次試驗(yàn),事件B1,B2,…,Bn中必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生.13/25定理

設(shè)Ω為試驗(yàn)E樣本空間,B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω一個(gè)劃分,A為E一個(gè)事件,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)上式稱為全概率公式

.證實(shí)

因?yàn)锳=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn由假設(shè)BiBj=

,i≠j,知(ABi)(ABj)=

,i≠j,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),得到P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)證畢14/25解設(shè)事件A表示取出2個(gè)球都是白球，事件Bi表示所選袋子中裝球情況屬于第i種（i=1、2、3）15/25易知于是按全概率公式所求概率16/2517/25解設(shè)事件Bi是一批產(chǎn)品中有i個(gè)次品（i=0，1，2，3，4），設(shè)事件A是這批產(chǎn)品經(jīng)過檢驗(yàn)，即抽樣檢查10個(gè)產(chǎn)品都是合格品則有所求概率18/25例13有三個(gè)形狀相同箱子,在第一個(gè)箱中有兩個(gè)正品,一個(gè)次品;在第二個(gè)箱中有三個(gè)正品,一個(gè)次品;在第三個(gè)箱中有兩個(gè)正品,兩個(gè)次品.現(xiàn)從任何一個(gè)箱子中,任取一件產(chǎn)品,求取得是正品概率.解設(shè)Bi={從第i個(gè)箱子中取到產(chǎn)品}(i=1,2,3),A={取得正品}.由題意知Ω=B1+B2+B3且B1,B2,B3是兩兩互不相容事件.P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3,由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/219/252.貝葉斯公式在全概率公式中我們知道,引發(fā)事件A發(fā)生原因有B1,B2,…,Bn等各種.在實(shí)際問題中,常碰到已知事件A已經(jīng)發(fā)生,要求出事件A發(fā)生是由某種原因Bk引發(fā)概率P(Bk|A).20/25

例14有外形相同球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè)。其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A，3個(gè)球標(biāo)有字母B；第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中有紅球8，白球2個(gè)。試驗(yàn)按以下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A球，則在第二個(gè)盒子中任取一球；若第一次取得標(biāo)有字母B球，則在第三個(gè)盒子中任取一球。假如第二次取出球是紅球，則稱試驗(yàn)成功。若試驗(yàn)成功，求第二次取出紅球是從第二個(gè)盒子取得概率。21/25解

P(A|R)=P(AR)/P(R)=P(A)P(R|A)/P(R)=0.7×0.5/0.59=35/59假若我們事先沒有求出P(R),則普通有:P(A|R)=P(AR)/P(R)=P(A)P(R|A)/P(R)=P(A)P(R|A)/[P(A)P(R|A)+P(B)P(R|B)]22/25證實(shí)

由條件概率定義及全概率公式有上式稱為貝葉斯(逆概率)公式.定理

23/25例15

無線電通訊中,發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“.”和“-”.因?yàn)楦蓴_,發(fā)出信號(hào)“.”時(shí),收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.98收到信號(hào)“.”,發(fā)出信號(hào)“-”時(shí),收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.99收到信號(hào)“-”.求在收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“-”條件下,發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“.”概率.解

設(shè)B1={發(fā)出信號(hào)“.”},B2={發(fā)出信號(hào)“-”},A1={收到信號(hào)“