第十一章反常積分§1

反常積分概念

教學內(nèi)容：1.反常積分概念引入2.無窮積分定義3.瑕積分定義教學重點：無窮積分斂散性概念、慣用收斂與發(fā)散無窮積分

教學難點：反常積分概念引入一.問題提出定積分有兩個基本限制：積分區(qū)間是有限區(qū)間；函數(shù)為有界函數(shù),但實際問題很多都包括無窮區(qū)間上“積分”和無界函數(shù)“積分”。

第1頁例1：（第二宇宙速度問題）在地球表面垂直發(fā)射火箭。要使火箭克服地球引力無限遠離地球，試問初速度最少要多大？從而火箭從地面上升到離地心r(>R)處需作功為

最終由機械能守恒定律得

把各數(shù)值代入可求得結(jié)果。

第2頁例2：圓柱形桶內(nèi)壁高為h,內(nèi)半徑為R，桶底有二分之一徑為r小孔。試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中水，共需多少時間？解：從物理學知道，當桶內(nèi)水位高度為h-x時，水從孔中流出速度為設(shè)在很小一段時間dt內(nèi)，桶中液面降低微小量為dx,它們滿足所以流完一桶水所需時間可寫為“積分”不過因為這里被積函數(shù)是[0,h)上無界函數(shù)，故第3頁從上面例題我們知道，經(jīng)過定積分和極限就能夠定義無窮區(qū)間以及無界函數(shù)“積分”。

二.無窮區(qū)間上反常積分

1.定義無窮區(qū)間有三種，分別給出其定義：

定義1：

無窮限反常積分（簡稱無窮積分）,記為收斂。

假如極限（1）不存在，

發(fā)散。

第4頁注意：

同理可給出當且僅當上式右邊兩個無窮積分都收斂時，左邊無窮積分才收斂。

注意：

收斂性與收斂時值，都與實數(shù)a選取無關(guān)。

Oxya第5頁2.

利用定義討論無窮積分斂散性以及求其值方法：先求對應(yīng)定積分，再討論其極限是否存在，若存在，無窮積分收斂，極限值就是無窮積分值；若極限不存在，無窮積分發(fā)散。

例3：

結(jié)論：要求熟記第6頁注意：

下面再看怎樣利用此結(jié)論解題

例4：

解題思緒：無窮積分是經(jīng)過定積分及極限來定義，能夠考慮用定積分相關(guān)方法如換元積分法或分部積分法來處理3.

利用公式判別無窮積分斂散性及求無窮積分值在定積分里，我們有牛頓－萊布尼茲公式：

第7頁既然無窮積分是經(jīng)過定積分及極限來定義，所以也能夠考慮用類似公式來判別無窮積分斂散性及計算無窮積分。

公式：

注意：

上面公式能夠推廣到另外兩種無窮積分情形。

例5：

第8頁三.無界函數(shù)反常積分1.瑕點定義

瑕點。2.無界函數(shù)反常積分定義

定義2：無界函數(shù)

反常積分（簡稱瑕積分），記為

收斂。發(fā)散。注意：

第9頁同理能夠給出另外幾個情形定義：

當且僅當上式右邊兩個瑕積分都收斂時，左邊瑕積分才收斂。

當且僅當上式右邊兩個瑕積分都收斂時，左邊瑕積分才收斂。

注意：

第10頁2.討論無窮積分斂散性以及求其值方法(1)

利用定義方法：

先求對應(yīng)定積分，再討論其極限是否存在，若存在，瑕積分收斂，極限值就是瑕積分值；若極限不存在，瑕積分發(fā)散。

例6：

結(jié)論：要求熟記第11頁注意：

（1）此結(jié)論以后是經(jīng)慣用到，要熟記。

（2）此結(jié)論能夠推廣為以下幾個情形：

由例3和例6結(jié)論知，右邊兩個反常積分不能同時收斂，故可知