第一節(jié)不定積分概念、性質(zhì)不定積分性質(zhì)

原函數(shù)與不定積分概念基本積分表第五章不定積分思索題小結(jié)1/73例:定義：即：導(dǎo)數(shù)等于f(x)函數(shù)F(x)叫做f(x)原函數(shù)。一、原函數(shù)與不定積分概念2/73原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).注（為任意常數(shù)）3/73任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分定義：被積表示式積分變量注：要求只需求出f(x)一個原函數(shù)，再加C即可.4/73例1

求解解

例2

求5/73注一積分曲線族6/73實例啟示能否依據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆，所以能夠依據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表7/73二、基本積分表8/739/73例3

求積分解：依據(jù)積分公式（2）10/73設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)原函數(shù)存在，則三、不定積分性質(zhì)解：例4

求積分11/73解：例4

求積分12/73解例5

求積分13/73解：例6

求積分說明：以上幾例中被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.14/73思索題①函數(shù)是否都是函數(shù)原函數(shù)?解答所以都是函數(shù)原函數(shù)15/73思索題②解答因為?···積分變量統(tǒng)一16/73課堂練習(xí)題17/73解：所求曲線方程為:練習(xí)解答18/73基本積分表：

13個不定積分性質(zhì)

原函數(shù)概念：不定積分概念：求微分與求積分互逆關(guān)系：小結(jié)19/73作業(yè)P183T1(偶數(shù)),T2第五章不定積分20/73

第二節(jié)換元積分法第一類換元積分法第二類換元積分法第五章不定積分思索題小結(jié)21/73基本積分表：

15個公式不定積分性質(zhì)

原函數(shù)概念：不定積分概念：求微分與求積分互逆關(guān)系：內(nèi)容回顧22/73問題:？處理方法:利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程:令一、第一類換元積分法23/73在普通情況下：設(shè)則假如（可微）由此可得換元法定理.24/73——第一類換元公式（湊微分法）定理125/73——第一類換元公式注：1.使用此公式關(guān)鍵在于將需要求積分：湊成2.基本步驟：（湊微分法）定理1(1)湊微分;(2)換元;(3)最終代回為x函數(shù)注意定理條件26/73例1

求解（一）

（二）

（三）（一）基本湊微分法27/73例2

求解：28/73例3

求解：湊微分形式：注：熟練掌握湊微分法基礎(chǔ),

注意積累慣用湊微分公式。（二）多步湊微分法29/73例4

求解：30/73例5

求注：結(jié)果可作為公式，計算時直接套用。解：31/73例7

求解：32/73例7

求分析：33/73（三）聯(lián)合湊微分法例8

求解：34/73三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分.（四）三角函數(shù)積分技巧法解：

例9

求35/73

問題：處理方法：作適當(dāng)變量替換.過程：令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元積分法36/73則有換元公式定理2其中)(xy是)(txy=反函數(shù).

37/73解

例10

求令三角代換法38/73解：

例11

求令39/73解：

例12

求令40/73注:普通規(guī)律以下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令三角代換目是化掉根式.41/73第二類換元普通步驟做變換:

計算被積表示式:

求不定積分:

還回原變量:

42/73

令解：例13

求三角代換很繁瑣注:

代換靈活多樣性—根式有理化代換43/73

注:當(dāng)分母階較高時,可采取倒代換

例14

求令解：44/73基本積分表45/73解法一

①求三角代換法令思索題46/73解法二根式有理化代換法令思索題

①求47/73求課堂練習(xí)題48/731.第一換元法（湊微分法）基本步驟：1、湊微分;2、換元;3、回代關(guān)鍵步驟:

湊微分。三角代換、倒代換等2.第二換元法小結(jié)49/73第一換元法常見類型:50/73作業(yè)P197T1(奇數(shù)),T2第五章不定積分51/73

第三節(jié)分部積分法分部積分法公式分部積分法解題技巧第五章不定積分思索題小結(jié)52/73內(nèi)容回顧1.第一換元法（湊微分法）基本步驟：1、湊微分;2、換元;3、回代關(guān)鍵步驟:

湊微分。三角代換、倒代換等2.第二換元法53/73第一換元法常見類型:54/73問題處理思緒利用兩個函數(shù)乘積求導(dǎo)法則.分部積分公式關(guān)鍵：一、分部積分法公式55/73

例1

求積分解（一）令顯然，選擇不妥，積分更難進行.

（二）令冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積注：二、分部積分法解題技巧56/73

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次.

例2

求積分解（再次使用分部積分法）結(jié)論1冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積57/73

例3

求積分解令冪函數(shù)與反三角函數(shù)乘積58/73

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.

例4

求積分解結(jié)論2冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)乘積59/73

例5

求積分解注意循環(huán)形式結(jié)論3

在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，注意前后幾次所選應(yīng)為同類型函數(shù).指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積60/73

例6

求積分解61/73解

例6

求積分62/73令63/73兩邊同時對求導(dǎo),得思索題解64/73

求積分解：令課堂練習(xí)題65/73解：

令課堂練習(xí)題66/73分部積分法1、被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)、三角函數(shù)相乘時2、被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)、反三角相乘時3、被積函數(shù)為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘時令：則令：

經(jīng)過尋找恒等式求不定積分時，注意連續(xù)施行分部積分所選取u、dv一致性；小結(jié)67/73作業(yè)P203T1(奇數(shù)),T2第五章不定積分68/73概念積分法一、內(nèi)容回顧原函數(shù)不定積分直接積分（21個公式）換元積分分部積分第一換元第二換元69/73主要內(nèi)容1.

第一換元法（湊微分法)基本步驟：1、湊微分;2、換元;3、回代70/73第一換元法常見類型:71/73

2.第二換元法(三角代換,倒代換,無理函數(shù)代換)普通規(guī)律以下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可