第六章數(shù)列補(bǔ)上一課數(shù)列的綜合問題1.數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題是對一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列.2.證明數(shù)列不等式，有時(shí)需要應(yīng)用放縮法結(jié)合數(shù)列的求和解決，求解的方法有先放縮再求和或先求和再放縮.題型分析內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一奇偶項(xiàng)問題角度1含有(－1)n的類型例1

設(shè)cn＝(－1)n＋1(2n－1)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.解當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n－1是偶數(shù)，1.含有(－1)n的數(shù)列求和問題一般采用分組(并項(xiàng))法求和；2.對于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.感悟提升題型二放縮問題角度1先求和再放縮角度2先放縮再求和例4

(2023·鹽城質(zhì)檢)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1＝2,4Sn＝anan＋1(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解∵4Sn＝anan＋1，n∈N*，∴4a1＝a1·a2，又a1＝2，∴a2＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝an－1an，得4an＝anan＋1－an－1an.由題意知an≠0，∴an＋1－an－1＝4，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，公差都為4，∴a2k－1＝2＋4(k－1)＝2(2k－1)，a2k＝4＋4(k－1)＝2·2k，∴該數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為2.綜上可知，an＝2n，n∈N*.

放縮法的注意事項(xiàng)以及解題策略：(1)對于“和式”數(shù)列不等式，若能夠直接求和，則考慮先求和，再放縮證明不等式；若不能求和，則可考慮先放縮后求和證明不等式.放縮的最主要目的是通過放縮，把原數(shù)列變?yōu)榭汕蠛偷臄?shù)列.(2)明確放縮的方向：若要證明小于某值，則放大；若要證明大于某值，則縮小.(3)放縮的項(xiàng)數(shù)：不一定對所有項(xiàng)進(jìn)行放縮，可從第一項(xiàng)開始，或從第二項(xiàng)，或從第三項(xiàng)等開始.感悟提升

題型三創(chuàng)新問題例5

(2023·杭州質(zhì)檢)由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a1a2＝2a4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解由題意，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍3＝5，a1a2＝2a4，整理得(5－2d)(5－d)＝2(5＋d)，即2d2－17d＋15＝0，因?yàn)閧an}為整數(shù)數(shù)列，所以d＝1，又由a1＋2d＝5，可得a1＝3，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋2.

(2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n，將數(shù)列{an}，{bn}的所有項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求數(shù)列{cn}的前(4n＋3)項(xiàng)和T4n＋3.解由(1)知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋2，又由數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n，根據(jù)題意，得新數(shù)列{cn}，b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，新情境下的數(shù)列問題的求解策略(1)深入新情境，建立數(shù)列模型，如本題要理解“新數(shù)列”的含義；(2)利用新定義，求解數(shù)列模型，將新定義和原有知識相聯(lián)系，和數(shù)列的通項(xiàng)、求和相結(jié)合.感悟提升

訓(xùn)練3

(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；解由于數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，n∈N*.

(2)記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100.解由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以b1對應(yīng)的區(qū)間為(0，1]，則b1＝0；b2，b3對應(yīng)的區(qū)間分別為(0，2]，(0，3]，則b2＝b3＝1，即有2個(gè)1；b4，b5，b6，b7對應(yīng)的區(qū)間分別為(0，4]，(0，5]，(0，6]，(0，7]，則b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22個(gè)2；

b8，b9，…，b15對應(yīng)的區(qū)間分別為(0，8]，(0，9]，…，(0，15]，則b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23個(gè)3；b16，b17，…，b31對應(yīng)的區(qū)間分別為(0，16]，(0，17]，…，(0，31]，則b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24個(gè)4；b32，b33，…，b63對應(yīng)的區(qū)間分別為(0，32]，(0，33]，…，(0，63]，則b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25個(gè)5；b64，b65，…，b100對應(yīng)的區(qū)間分別為(0，64]，(0，65]，…，(0，100]，則b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37個(gè)6.所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升【A級

基礎(chǔ)鞏固】所以bn＋1＝a2n＋1＝a2n＋1＝a2n－1＋1＋1＝2a2n－1＋1＝2bn＋1，即bn＋1＋1＝2(bn＋1).因?yàn)閎1＋1＝a1＋1＝2≠0，所以數(shù)列{bn＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以bn＋1＝2n，故bn＝2n－1.(2)求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n.解由(1)知a2n－1＝bn，a2n＝a2n－1＋1＝2a2n－1＝2bn，所以S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋bn)＝3(b1＋b2＋…＋bn)＝3[(21＋22＋…＋2n)－n]2.已知{an}為等比數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)都不在同一列，{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3.

第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；解由題意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，所以等比數(shù)列{an}的公比q＝2，an＝a1qn－1＝2n.所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n.(2)若cn＝[lgbn]，其中[x]是高斯函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)的和T100.解因?yàn)閎n＝2n，所以cn＝[lg(2n)].所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg2]＋[lg4]＋…＋[lg8]＋[lg10]＋…＋[lg98]＋[lg100]＋…＋[lg200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.3.定義：若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d為常數(shù))，則稱{an}為“絕對和數(shù)列”，d叫做“絕對公和”.已知“絕對和數(shù)列”{an}中，a1＝2，絕對公和為3，求數(shù)列{an}前2023項(xiàng)和S2023的最小值.解依題意，要使S2023的值最小，只需每一項(xiàng)的值都取最小值即可.因?yàn)閍1＝2，絕對公和d＝3，所以a2＝－1或a2＝1(舍去)，所以a3＝－2或a3＝2(舍去)，所以a4＝－1或a4＝1(舍去)，…，因?yàn)閍3－a2＝2，a4－a3＝3，a3－a2≠a4－a3，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.證明因?yàn)閷θ我庹麛?shù)n，5.(2023·青島模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn.n∈N*. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；【B級

能力提升】解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閎2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n.(2)設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S100.解由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝a2n－1，即bn是數(shù)列{an}中的第2n－1項(xiàng).設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Pn，數(shù)列{bn}的前n