第第頁第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單元測(cè)試（含解析）人教B版（2023）必修第二冊(cè)《第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)》單元測(cè)試

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知0＜x＜y＜a＜1，m=logax+logay，則有（）

A.m＜0B.0＜m＜1

C.1＜m＜2D.m＞2

2.（5分）對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，，若則

A.B.C.D.

3.（5分）設(shè)方程lnx=-x與方程ex=-x（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的所有根之和為m，則（）

A.m＜0B.m=0C.0＜m＜1D.m＞1

4.（5分）設(shè)，，則

A.B.C.D.

5.（5分）已知a=0.52b=log30.5c=2.80.5則a、b、c的大小關(guān)系是（）

A.c＞a＞bB.a＞b＞cC.b＞a＞cD.c＞b＞a

6.（5分）若函數(shù)的反函數(shù)為，則

A.B.C.D.

7.（5分）歷史上，最偉大的數(shù)學(xué)家一直都熱衷于尋找質(zhì)數(shù)的“分布規(guī)律”，法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林梅森就是研究質(zhì)數(shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，正因?yàn)樗淖吭截暙I(xiàn)，現(xiàn)在人們將形如“是質(zhì)數(shù)”的質(zhì)數(shù)稱為梅森數(shù)，迄今為止共發(fā)現(xiàn)了個(gè)梅森數(shù)，前個(gè)梅森數(shù)分別是，，是位數(shù)，是位數(shù)，是位數(shù)，已知第個(gè)梅森數(shù)為，則第個(gè)梅森數(shù)的位數(shù)為參考數(shù)據(jù)：

A.B.C.D.

8.（5分）以下化簡(jiǎn)結(jié)果不正確的是（）

A.log35-log315=-1

B.logaclogca=1

C.log42+log48=2

D.（log43+log83）（log32+log92）=-1

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）已知正數(shù)，，，滿足，則

A.B.C.D.

10.（5分）下列計(jì)算正確的是

A.

B.

C.

D.已知，則

11.（5分）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是

A.B.C.D.

12.（5分）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法不正確的是

A.圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

B.圖象的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)

C.當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小

D.的最小值為

13.（5分）已知函數(shù)，，下列關(guān)于的說法正確的是

A.定義域是B.值域是

C.圖象恒過定點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，在定義域上是增函數(shù)

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）的值為______．

15.（5分）三個(gè)數(shù)0.76，60.7，log0.76的大小關(guān)系為____________．（按從小到大的順序填寫）

16.（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)_________.

17.（5分）計(jì)算2log510+log50.25的值為____________．

18.（5分）函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-2=0上，則m2+n2的最小值為____．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）計(jì)算或化簡(jiǎn)：

；

20.（12分）試比較1.70.2，log210.9，0.82.2的大小關(guān)系，并按照從小到大的順序排列是log210.9，0.82.2，1.70.2．

21.（12分）求值：lg50+lg2lg5+lg22．

22.（12分）計(jì)算下列各式的值

Ⅰ

Ⅱ．

23.（12分）計(jì)算：

；

．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：因?yàn)?＜x＜y＜a＜1，所以m=lox+loy=lo（xy）＞lo=2

∴m＞2

故選D．

2.【答案】B;

【解析】解：，，

．

故選：．

利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其新定義即可得出．

此題主要考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其新定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】B;

【解析】解：方程lnx=-x的根為函數(shù)y=lnx與y=-x圖象焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

方程=-x的根為函數(shù)y=與y=-x圖象焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

而函數(shù)y=lnx與y=互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

函數(shù)y=-x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

如圖：

∴方程lnx=-x與方程=-x各有一根且兩方程的根互為相反數(shù)，

∴方程lnx=-x與方程=-x的所有根之和m=0．

故選：B．

4.【答案】B;

【解析】解：，，

，

，

故選：

根據(jù)條件，得到，再由完全平方和公式求出的值．

此題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化、完全平方和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

5.【答案】A;

【解析】解：由對(duì)數(shù)函數(shù)定義得：b=lo0.5＜0，顯然a＞0，c＞0

則可取中間量d=0.50.5，因?yàn)閥=0.5x為指數(shù)函數(shù)且0.5＜1，所以函數(shù)遞減，所以0.50.5＞0.52即d＞a；而y=為冪函數(shù)，所以函數(shù)遞增，所以0.50.5＜2.80.5即d＜c．則c＞d＞a

綜合上面得：c＞a＞b

故選A

6.【答案】B;

【解析】要求的值，即，即，，

7.【答案】C;

【解析】

此題主要考查對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，求常用對(duì)數(shù)的近似值，可得結(jié)論.

解：，故，

故第個(gè)梅森數(shù)的位數(shù)為，

故選

8.【答案】D;

【解析】解：lo5-lo15=log3

1

3

=-1，故A正確；

locloa=

lgc

lga

lga

lgc

=1，故B正確；

lo2+lo8=lo16=2，故C正確；

（lo3+lo3）（lo2+lo2）

=（lo27+lo9）（lo4+lo2）

=lo243lo8

=

lg243

lg64

lg8

lg9

=

5lg3

6lg2

3lg2

2lg3

=

5

4

≠-1，故D不正確．

故選：D．

9.【答案】AC;

【解析】解：由于正數(shù)，，，滿足，設(shè)，，

則，，，

對(duì)于，，，

，，

則，故正確；

對(duì)于，，同理，，

，故錯(cuò)誤；

對(duì)于，

，，故正確；

對(duì)于，

，，故錯(cuò)誤．

故選：

化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式，求得，，，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．

此題主要考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

10.【答案】ABC;

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確，

對(duì)于選項(xiàng)：原式，故選項(xiàng)正確，

對(duì)于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確，

對(duì)于選項(xiàng)：，，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：

利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤．

此題主要考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．

11.【答案】AC;

【解析】

此題主要考查比較數(shù)的大小，考查冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.解：

即，

故項(xiàng)正確，選項(xiàng)不正確；

，故選項(xiàng)正確.

故選：

12.【答案】ABC;

【解析】

此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．

解：，

當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，

該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，

當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，

當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故選項(xiàng)正確，

故選：

13.【答案】ABC;

【解析】

此題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、，及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．

解：由，得，故正確；

由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知正確；

令，得，則，即的圖象恒過定點(diǎn)，故正確；

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，在定義域上是減函數(shù).

14.【答案】4;

【解析】解：原式，

故答案為：．

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．

此題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】lo6＜0.76＜60.7;

【解析】解：∵0.76∈（0，1）；60.7＞1；lo6＜0

所以：lo6＜0.76＜60.7

故答案為：lo6＜0.76＜60.7

16.【答案】;

【解析】

此題主要考查偶函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

可先求出，根據(jù)是偶函數(shù)，即可得出，進(jìn)而即可計(jì)算實(shí)數(shù)的值.

解：；

是偶函數(shù)；

；

對(duì)于定義域內(nèi)的恒成立；

對(duì)于定義域內(nèi)的恒成立；

；

；

故答案為

17.【答案】2;

【解析】解：∵2lo10+lo0.25

=lo100+lo0.25

=lo25

=2

故答案為：2．

18.【答案】2;

【解析】解：易知函數(shù)f（x）=1+lox（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（1，1）；

故m+n-2=0；

而+可看成點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離平方；

而點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離的最小值為

d|0+0-2|1+1=2；

故+的最小值為2；

故答案為：2．

19.【答案】解：原式

原式

;

【解析】此題主要考查指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.

20.【答案】解：∵在1.70.2，lo0.9，0.82.2

三個(gè)數(shù)字中，

第一個(gè)數(shù)字1.70.2＞1.70=1，

第二個(gè)數(shù)字lo0.9＜lo1=0

第三個(gè)數(shù)字0＜0.82.2＜0.80=1

∴根據(jù)三個(gè)數(shù)字和0，和1的大小關(guān)系，得到三個(gè)數(shù)字順序，

從小到大依次是lo0.9，0.82.2，1.70.2

故答案為：lo0.9，0.82.2，1.70.2;

【解析】首先根據(jù)所給的三個(gè)數(shù)字，按照對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較，第一個(gè)數(shù)字1.70.2＞1.70=1，第二個(gè)數(shù)字lo0.9＜lo1=0，第三個(gè)數(shù)字0＜0.82.2＜0.80=1最后總結(jié)最后結(jié)果．

21.【答案】解：lg50+lg2lg5+l2

=2lg5+lg2+lg2lg5+l2

=2lg5+lg2+lg2（lg5+lg2）

=2lg5+2lg2

=2．;

【解析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．

22.【答案】解：（Ⅰ）lg24-lg3-lg4+lg5

=lg3×23-lg3-lg4+lg5

=lg3+3lg2-lg3-2lg2+lg5

=lg2+lg5

=1．

（Ⅱ）

=

=72+3-2-1

=72．;

【解析】

Ⅰ直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；

Ⅱ化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．

該題