高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)--2-9函數(shù)與方程課件-北師大版第一頁(yè)，共56頁(yè)。第一頁(yè)第二頁(yè)，共56頁(yè)?？季V解讀1．結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)．2．根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解．考向預(yù)測(cè)1．函數(shù)的零點(diǎn)及二分法是新增內(nèi)容，是高考的重要考點(diǎn)，在近兩年的高考中均有重要體現(xiàn)．2．多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題．常與函數(shù)的圖像、性質(zhì)交匯命題．第二頁(yè)第三頁(yè)，共56頁(yè)。第三頁(yè)第四頁(yè)，共56頁(yè)。知識(shí)梳理1．函數(shù)零點(diǎn)的定義(1)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使

成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與

有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有

．f(x)＝0x軸零點(diǎn)第四頁(yè)第五頁(yè)，共56頁(yè)。2．函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得

，這個(gè)

也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c第五頁(yè)第六頁(yè)，共56頁(yè)。3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像與x軸的交點(diǎn)

.

.無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

.

.

.兩個(gè)1個(gè)210第六頁(yè)第七頁(yè)，共56頁(yè)。4.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證

，給定精確度ε；第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1；第三步，計(jì)算

．①若

，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若

，則令b＝x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，x1))；③若

，則令a＝x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(x1，b))；第四步，判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步．f(a)·f(b)<0f(x1)f(x1)＝0f(a)·f(x1)<0f(x1)·f(b)<0第七頁(yè)第八頁(yè)，共56頁(yè)?；A(chǔ)自測(cè)1．(2010·天津理)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[答案]

B[解析]

∵f(0)＝1>0，f(－1)＝－<0，∴選B.第八頁(yè)第九頁(yè)，共56頁(yè)。2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，則f(x)＝0在[a，b]內(nèi)()A．至少有一實(shí)數(shù)根 B．至多有一實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．有唯一實(shí)數(shù)根[答案]

D[解析]

利用函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)減函數(shù)，又f(a)，f(b)異號(hào)．故選D.第九頁(yè)第十頁(yè)，共56頁(yè)。[答案]

A

第十頁(yè)第十一頁(yè)，共56頁(yè)。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共56頁(yè)。4．(2011·臨沂質(zhì)檢)下列函數(shù)圖像與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是 ()第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共56頁(yè)。[答案]

C[解析]

用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，首先保證函數(shù)圖像在[a，b]上是連續(xù)不斷的，故A、D不符合題意；然后，保證f(a)·f(b)<0，故B不符合題意，因此選C.第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共56頁(yè)。5．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的根一個(gè)比1大，另一個(gè)比1小，則a的取值范圍是________．[答案]

(－∞，1)[解析]

函數(shù)f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的大致圖像如圖所示，于是有f(1)<0，即1＋(a－1)＋(a－2)<0，解得a<1.第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共56頁(yè)。6．函數(shù)f(x)＝x－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．[答案]

2[解析]

令f(x)＝0得x－＝0，即x2＝4，∴x＝±2.故f(x)的零點(diǎn)有兩個(gè)．第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共56頁(yè)。7．函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析]

當(dāng)m＝0時(shí)，x＝為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，若Δ＝0，即m＝1，則x＝1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)．若Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即mf(0)<0，即m<0.綜上可知m∈(－∞，0]∪{1}．第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共56頁(yè)。第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共56頁(yè)。[例1]求下列函數(shù)的零點(diǎn)(1)f(x)＝4x－3；(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；(3)f(x)＝x3－3x＋2；(4)f(x)＝x－＋2.[分析]根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根．第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共56頁(yè)。(2)由－x2＋2x＋3＝0，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即f(x)＝－x2＋2x＋3的零點(diǎn)為－1,3.(3)由x3－3x＋2＝x3＋2x2－2x2－4x＋x＋2＝x2(x＋2)－2x(x＋2)＋(x＋2)＝(x－1)2(x＋2)＝0，得x1,2＝1，x3＝－2.所以f(x)＝x3－3x＋2有兩個(gè)零點(diǎn)1，－2，其中1是二重零點(diǎn)．第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共56頁(yè)。[點(diǎn)評(píng)]求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的根，一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根，即得函數(shù)的零點(diǎn)．第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共56頁(yè)。(1)函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的零點(diǎn)一定在區(qū)間()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]

C[解析]

解法一：函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的定義域?yàn)?0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上遞增連續(xù)，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，∴函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3有惟一的零點(diǎn)且零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)．第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共56頁(yè)。解法二：方程log3x＋x－3＝0可化為log3x＝3－x，在同一坐標(biāo)系中作出y＝log3x和y＝3－x的圖像如圖所示，可觀察判斷出兩圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間(2,3)內(nèi)．第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共56頁(yè)。(2)函數(shù)f(x)＝log3x－x＋2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ()A．0 B．1 C．2 D．3[答案]

C[解析]

解法一：方程log3x－x＋2＝0，可化為log3x＝x－2在同一坐標(biāo)系中作出y＝log3x與y＝x－2的圖像如下圖所示，可觀察出兩圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故選C.第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共56頁(yè)。第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共56頁(yè)。(3)函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x的零點(diǎn)是()A．0 B．1C．0和1 D．(0,0)和(1,0)[答案]

C[解析]

令f(x)＝0，即x3－2x2＋x＝0?x(x－1)2＝0，解得x1＝0，x2＝x3＝1.故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是0和1.第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共56頁(yè)。[例2](1)若函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|－k有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[分析](1)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，分類討論即可．(2)利用函數(shù)圖像求解．第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共56頁(yè)。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共56頁(yè)。(2)設(shè)g(x)＝|4x－x2|，畫出其圖像如圖所示．函數(shù)f(x)有4個(gè)零點(diǎn)，即方程g(x)－k＝0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，也就是y＝g(x)的圖像與直線y＝k有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，由圖可知0<k<4.第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共56頁(yè)。[點(diǎn)評(píng)]函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)?方程f(x)＝0的根?函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)．這為我們研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和方程根的個(gè)數(shù)問題提供了兩種解法：一是轉(zhuǎn)化為直接研究方程根的個(gè)數(shù)；二是轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)．另外，還可推廣為：函數(shù)y＝f(x)的k點(diǎn)?方程f(x)＝k的根?y＝f(x)的圖像與直線y＝k的交點(diǎn)橫坐標(biāo)．第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共56頁(yè)。(2009·江西文)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋6x－a.(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共56頁(yè)。第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共56頁(yè)。第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共56頁(yè)。[例3]求方程x3－x－1＝0在區(qū)間(0,2]內(nèi)的實(shí)數(shù)解(精確到0.01)．[解析]

考察函數(shù)f(x)＝x3－x－1，經(jīng)試算f(0)＝－1<0，f(2)＝8－2－1＝5>0.∴函數(shù)f(x)＝x3－x－1在(0,2]內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程x3－x－1＝0在[0,2]內(nèi)有解．取[0,2]的中點(diǎn)1，經(jīng)計(jì)算f(1)＝－1<0，∴原方程在[1,2]內(nèi)有解，又f(1.5)＝0.875>0第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共56頁(yè)。所以方程x3－x－1＝0在[1,1.5]內(nèi)有解．如此下去，得到方程x3－x－1＝0實(shí)數(shù)解所在區(qū)間的表.n左端點(diǎn)右端點(diǎn)002112211.531.251.541.251.37551.31251.37561.31251.3437571.31251.32812581.32031.328191.32421.3281101.32421.32615第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共56頁(yè)。所求實(shí)根≈1.32.[點(diǎn)評(píng)]在用二分法求方程解時(shí)，初始區(qū)間的選定，往往需通過分析函數(shù)的性質(zhì)和試驗(yàn)估計(jì)，初始區(qū)間選得不同不影響最終計(jì)算結(jié)果.第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共56頁(yè)。[例4]已知函數(shù)f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)．問當(dāng)m取何值時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)滿足下列性質(zhì)，通過求解，探求此類問題的一般解法．(1)均為正數(shù)；(2)一正一負(fù)；(3)一根大于2，另一根小于2；(4)兩根都在(0,2)內(nèi)．[分析]本題的實(shí)質(zhì)就是二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根的討論，結(jié)合二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)位置的有關(guān)條件即可求解．第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共56頁(yè)。第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共56頁(yè)。第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共56頁(yè)。第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共56頁(yè)。第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共56頁(yè)。[點(diǎn)評(píng)](1)這類題為方程的實(shí)根分布問題，解決此類問題一定要注意結(jié)合圖像，從判別式、韋達(dá)定理、對(duì)稱軸、函數(shù)值的大小、開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件．(2)函數(shù)與方程聯(lián)系密切，可把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題解決，也可用數(shù)形結(jié)合法．(3)一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的區(qū)間根問題研究一元二次方程的區(qū)間根，一般情況下需要從以下三個(gè)方面考慮：第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共56頁(yè)。1．一元二次方程根的判別式；2．對(duì)應(yīng)二次函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)；3．對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸x＝－與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系．設(shè)x1、x2是實(shí)系數(shù)二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的兩實(shí)根，則x1、x2的分布范圍與二次方程系數(shù)之間的關(guān)系，如下表所示．第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共56頁(yè)。第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共56頁(yè)。第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共56頁(yè)。第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共56頁(yè)。[例5]已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．(1)若g(x)＝m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．[分析](1)g(x)＝m有零點(diǎn)，可以結(jié)合圖像也可以解方程．(2)利用圖像求解．第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共56頁(yè)。第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共56頁(yè)。第四十八頁(yè)第四十九頁(yè)，共56頁(yè)?！遞(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其對(duì)稱軸為x＝e，開口向下，最