2.3.4平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算活動(dòng)與探究1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？遷移與應(yīng)用1．已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，則3a＋2b＝()A．(－1,7)B．(－1,2)C．(1,2)D．(1，－2)2．已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，判斷與是否共線(xiàn)．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b共線(xiàn)．對(duì)條件的理解有兩方面的含義：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共線(xiàn)；反之，若a，b共線(xiàn)，則x1y2－x2y1＝0．二、三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題活動(dòng)與探究2向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)？遷移與應(yīng)用1．若點(diǎn)A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(x,1)共線(xiàn)，則x＝__________．2．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．(1)若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，求a，b的關(guān)系；(2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是向量共線(xiàn)問(wèn)題．兩個(gè)向量共線(xiàn)只需滿(mǎn)足方向相同或相反，兩個(gè)向量共線(xiàn)與兩個(gè)向量平行是一致的．利用向量平行證明三點(diǎn)共線(xiàn)需分兩步完成：(1)證明向量平行；(2)證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)．三、向量共線(xiàn)坐標(biāo)表示的應(yīng)用活動(dòng)與探究3在△AOB中，已知點(diǎn)O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，AD與BC交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．遷移與應(yīng)用1．已知a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)，若a∥b，則tanθ＝__________．2．已知向量a，b，滿(mǎn)足a＋b平行于x軸，a＝(2，y)，b＝(2，－2)，則a與b的夾角為_(kāi)_________．關(guān)于解決點(diǎn)共線(xiàn)或向量共線(xiàn)問(wèn)題，主要是求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示列出方程(方程組)來(lái)解決．當(dāng)堂檢測(cè)1．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，兩向量方向相反，則x＝()A．－5B．5C．－1D．12．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列命題成立的是()A．a(chǎn)－c與b共線(xiàn)B．b＋c與a共線(xiàn)C．a(chǎn)與b－c共線(xiàn)D．a(chǎn)＋b與c共線(xiàn)3．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb與a－2b共線(xiàn)，則eq\f(λ,μ)＝()A．eq\f(1,2)B．2C．－eq\f(1,2)D．－24．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若a－2b與c共線(xiàn)，則k＝______．5．已知向量a＝(2x,7)，b＝(6，x＋4)，當(dāng)x＝__________時(shí)，a＝b；當(dāng)x＝__________時(shí)，a∥b且a≠b．提示：用最精煉的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫(xiě)下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記．答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】x1y2－x2y1＝0eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)預(yù)習(xí)交流：提示：當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)同號(hào)或同為零時(shí)，同向．當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)或同為零時(shí)，反向．例如：向量(1,2)與(－1，－2)反向；向量(1,0)與(3,0)同向．課堂合作探究【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思路分析：先計(jì)算出ka＋b與a－3b的坐標(biāo)，然后利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示即可求k，再根據(jù)符號(hào)確定方向．解：因?yàn)閍－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，又∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴－4(k－3)＝10(2k＋2)，∴k＝－eq\f(1,3)．這時(shí)ka＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，且a－3b與－eq\f(1,3)a＋b的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)，∴當(dāng)k＝－eq\f(1,3)時(shí)，ka＋b與a－3b平行，并且是反向的．遷移與應(yīng)用1．D解析：a∥by＝－4，∴3a＋2b＝(－3,6)＋(4，－8)＝(1，－2)2．解：＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)．∵4×(－8)－4×(－8)＝0，∴∥，即與共線(xiàn)．(或＝－2，∥，∴與共線(xiàn))活動(dòng)與探究2思路分析：根據(jù)向量共線(xiàn)的充要條件，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，只要滿(mǎn)足＝λ(或＝λ)，就可以列方程求出k的值或利用向量平行的充要條件求出k的值．解：方法一：∵＝－＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，＝－＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)，∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴＝λ，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．∴解得k＝11，或k＝－2．方法二：同方法一，∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴(4－k)(k－5)＝6×(－7)，解得k＝11，或k＝－2．遷移與應(yīng)用1.9解析：∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，＝(x－1，4)，∥，∴7×4－eq\f(7,2)×(x－1)＝0，∴x＝9．2．解：(1)由題意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則∥，即2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，故a＋b＝2．(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，∴∴即C(5，－3)．活動(dòng)與探究3思路分析：充分利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，列出方程組求解．解：∵點(diǎn)O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴＝(0,5)，＝(4,3)．∵＝(xC，yC)＝eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))．同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，從而＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2)))．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y－5)．∵A，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴與共線(xiàn)．∴－eq\f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20．①易知＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－0，3－\f(5,4)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))．∵C，M，B三點(diǎn)共線(xiàn)，∴與共線(xiàn)．∴eq\f(7,4)x－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20．②由①②得x＝eq\f(12,7)，y＝2．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2))．遷移與應(yīng)用1．eq\f(1,4)解析：∵a∥b，∴2sinθ＝cosθ－2sinθ，∴4sinθ＝cosθ，∴tanθ＝eq\f(1,4)．2．90°解析：由已知得a＋b＝(4，y－2)，∵a＋b與x軸平行，∴y－2＝0，y＝2．在坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為起點(diǎn)，畫(huà)出向量a，b，則由圖知，a與b夾角為90°．【當(dāng)堂檢測(cè)】1．A解析：當(dāng)兩向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)或同為零時(shí)方向相反．易知選A．2．C解析：由已知得b－c＝(3,3)，∵a＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0．∴a與(b－c)共線(xiàn)．3．C解析：λa＋μb＝(λ－μ，λ)，a－2b＝(3,1)，由共線(xiàn)條件可得，λ－μ＝3λ即eq\f(λ,μ)＝－eq\f(1,2)，故選C．4．1解析：a－2b＝(eq\r(