Matlab數(shù)值計算

2023/9/192

6.1多項式(polynomial)多項式的MATLAB表達(dá)多項式由一個行向量表示該向量元素是該多項式的系數(shù)且按降冪次序排列如：多項式x4－12x3＋25x＋116由行向量：

p=[1-12025116]表示。注意，必須包括具有零系數(shù)的項。

求解多項式的根？roots指令

2023/9/193

6.1多項式(polynomial)舉例：求解多項式x4－12x3＋25x＋116的根>>p=[1-12025116]p=1-12025116>>r=roots(p)r=11.74732.7028-1.2251+1.4672i-1.2251-1.4672iMATLAB按慣例規(guī)定，多項式是行向量，根是列向量

2023/9/194

6.1多項式(polynomial)已知多項式的根，求解多項式？能！使用poly指令舉例：由上例所得的根求其多項式>>pp=poly(r)pp=1.0000-12.0000-0.000025.0000116.0000即：x4－12x3＋25x＋116

2023/9/195

6.1多項式(polynomial)多項式的乘法(conv指令)舉例：多項式a(x)=x3＋2x2＋3x＋4

和b(x)=x3＋4x2＋9x＋16的乘積。>>a=[1234];b=[14916];>>c=conv(a,b)c=162050758464兩個以上的多項式的乘法需要重復(fù)使用conv.

2023/9/196

6.1多項式(polynomial)多項式加法:MATLAB沒有提供進(jìn)行加法運算的函數(shù)。如果兩個多項式向量大小相同，標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)組加法有效。把多項式a(x)與上面給出的b(x)相加。

>>d=a+bd=261220結(jié)果:d(x)=2x3＋6x2＋12x＋20

當(dāng)兩個多項式階次不同，低階的多項式必須用首零填補(bǔ)，使其與高階多項式有同樣的階次?？紤]上面多項式c和d相加：>>e=c+[000d]e=

162052819684結(jié)果:d(x)=x6+6x5+20x4+52x3+81x2+96x+84

2023/9/197

6.1多項式(polynomial)問題：編寫一個多項式加法運算的函數(shù)文件明確需求定義一個函數(shù)，需要有兩個輸入?yún)?shù)（比如：p1、p2），一個輸出參數(shù)p_out。p1、p2表示兩個待計算的多項式。p_out表示兩個多項式的求和結(jié)果函數(shù)的內(nèi)部處理如p1、p2兩參數(shù)大小相等，則直接相加:p_out=p1+p2如p1、p2兩參數(shù)大小不等：Iflength(p1)>length(p2)P2前面要補(bǔ)0元素，使p1、p2兩參數(shù)大小相等否則P1前面要補(bǔ)0元素，使p1、p2兩參數(shù)大小相等

2023/9/198

6.1多項式(polynomial)函數(shù)文件的編寫functionp_out=poly_sum(p1,p2)%calculatethesumoftwopolynomials

iflength(p1)==length(p2)p_out=p1+p2;elseiflength(p1)>length(p2)p2=[zeros(1,length(p1)-length(p2)),p2];p_out=p1+p2;elsep1=[zeros(1,length(p2)-length(p1)),p1];p_out=p1+p2;end

2023/9/199

6.1多項式(polynomial)多項式的除法(deconv)舉例說明：c(x)=x6＋6x5＋20x4＋50x3＋75x2＋84x＋64除以b(x)=x3＋4x2＋9x＋16>>c=[162050758464];>>b=[14916];>>[q,r]=deconv(c,b)q=1234r=0000000

2023/9/1910

6.1多項式(polynomial)多項式的導(dǎo)數(shù)(polyder)舉例：求b(x)=x3＋4x2＋9x＋16的導(dǎo)數(shù)。>>b=[14916];>>d=polyder(b)d=389結(jié)果為：3x2＋8x＋9另外兩種形式為：

p=polyder(P,Q)：求P*Q的導(dǎo)函數(shù)

[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)分子存入p,分母存入q

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6.1多項式(polynomial)多項式的估值(polyval)舉例：繪制p(x)=x3＋4x2－7x－10在[-1,3]段上的曲線。x=linspace(-1,3);%choose100datapointsbetween-1and3.p=[14-7-10];v=polyval(p,x);

plot(x,v);title('x^{3}+4x^{2}-7x-10');xlabel('x')

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6.1多項式(polynomial)p(x)=x3＋4x2－7x－10在[-1,3]段上的曲線:

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6.2函數(shù)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義為：則y=f(x)的導(dǎo)數(shù)可近似為：這里h>0它是y的有限差分除以x的有限差分。

MATLAB中沒有直接提供數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：

DX=diff(X)計算向量X的向前差分

DX=diff(X，n)計算向量X的n階向前差分

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例題設(shè)x由[0,2π]間均勻分布的10個點組成，求sinx的1-3階差分。命令如下：X=linspace(0,2*pi,10);Y=sin(X);DY=diff(Y)D2Y=diff(Y,2)D3Y=diff(Y,3)DY=0.64280.3420-0.1188-0.5240-0.6840-0.5240-0.11880.34200.6428D2Y=-0.3008-0.4608-0.4052-0.16000.16000.40520.46080.3008D3Y=-0.16000.05560.24520.32010.24520.0556-0.1600

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6.2函數(shù)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)（續(xù)）例：設(shè)在[-3,3]區(qū)間內(nèi)以0.01為步長求數(shù)值導(dǎo)數(shù)。并畫出導(dǎo)函數(shù)圖像。程序如下：f=inline(‘sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2’);%內(nèi)聯(lián)函數(shù)x=-3:0.01:3;dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;%根據(jù)定義式求導(dǎo)數(shù)plot(x,dx)

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6.3數(shù)值積分一元函數(shù)的數(shù)值積分常用積分指令：quad和quadl。一般說來，quadl比quad更有效。具體調(diào)用格式如下：q=quadl(fun,a,b)q=quadl(fun,a,b,tol)q=quadl(fun,a,b,tol,trace)[q,fcnt]=quadl(fun,a,b,...)輸入量fun為被積函數(shù)的句柄。輸入量a,b分別是積分的下限、和上限，都必須是確定的數(shù)值;前3個輸入?yún)?shù)是調(diào)用積分指令所必須的，其他可以缺省;輸入量tol是一個標(biāo)量，控制絕對誤差;輸入量trace為非0值時，將隨積分的進(jìn)程逐點畫出被積分函數(shù);輸出參數(shù)fcnt返回函數(shù)的執(zhí)行次數(shù)。Note：quad的調(diào)用格式與quadl相同

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6.3數(shù)值積分（續(xù)）舉例：求定積分MATLAB指令quad和quadl求積分>>fun=inline(‘exp(-x.*x)’,‘x’);%數(shù)組乘符號.*的采用是必須的>>Isim=quad(fun,0,1),I8=quadl(fun,0,1)Isim=0.7468I8=0.7468

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6.3數(shù)值積分（續(xù)）舉例：求解定積分用quad指令求積分>>ff=inline('sqrt(log(1./x))','x');>>Isim=quad(ff,0,1)Warning:Dividebyzero.>Ininlineevalat13Ininline.subsrefat25Inquadat63Isim=0.8862

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6.4元素排序Matlab中對向量X排序的函數(shù)是sort(X),函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。

sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列（或行）重新排序，其調(diào)用格式為：

[Y,I]=sort(A,dim)dim=1,按列排序；dim=2,按行排序，Y是排序后的矩陣，I記錄Y中的元素在A中的位置。例：對下列矩陣做各種排序。

2023/9/1920

命令如下：A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13];sort(A)

ans=1-8-1347513126-sort(-A,2)%對A的每行按降序排列ans=51-81264137-13

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6.5數(shù)據(jù)插值

在工程測量和科學(xué)實驗中，所得到的數(shù)據(jù)通常是離散的，要得到這些離散點以外的其他點的數(shù)值，就需要根據(jù)已知的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值。插值函數(shù)一般由線性函數(shù)、多項式、樣條函數(shù)或這些函數(shù)的分段函數(shù)充當(dāng)。一維數(shù)據(jù)插值：被插值函數(shù)有一個單變量。采用的方法有：線性方法、最近方法、三次樣條和三次插值。在Matlab中實現(xiàn)這些插值的函數(shù)是interp1，其調(diào)用格式如下：Y1=interp1(X,Y,X1,method）函數(shù)根據(jù)X，Y的值，計算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值；X1是一個向量或標(biāo)量，描述欲插值的點；Y1是一個與X1等長的插值結(jié)果。method是插值方法，允許的取值為：

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6.5數(shù)據(jù)插值（1）‘linear’：線性插值。默認(rèn)的插值方式。它是把插值點靠近的兩個數(shù)據(jù)點用直線連接，然后在直線上選取對應(yīng)插值點的數(shù)據(jù)。（2）‘nearest’：最近點插值。根據(jù)已知插值點與已知數(shù)據(jù)點的遠(yuǎn)近程度進(jìn)行插值。插值點優(yōu)先選擇較近的數(shù)據(jù)點進(jìn)行插值。（3）‘cubic’：3次多項式插值。根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出一個3次多項式，然后根據(jù)該多項式進(jìn)行插值。（4）‘spline’：3次樣條插值。指在每個分段內(nèi)構(gòu)造一個3次多項式，使其滿足插值條件外，在各節(jié)點處具有光滑的條件。例：給出概率積分?jǐn)?shù)據(jù)表如下，用不同的插值方法計算f(0.472)。x0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683

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命令如下：x=0.46:0.01:0.49;f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];formatlonginterp1(x,f,0.472)ans=0.49555332000000interp1(x,f,0.472,’nearest’)ans=0.49375420000000interp1(x,f,0.472,’spline’)ans=0.49556073600000interp1(x,f,0.472,’cubic’)ans=0.49556111971206

其中，3次樣條和3次多項式的插值結(jié)果優(yōu)于最近點插值方法和線性插值方法，