河南省2023年普通高等學(xué)校?？飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)解析及解析一、選擇題(每小題2分，共60分).解析:D【解析】因1—x>0,則定義域?yàn)閤<l;應(yīng)選D..解析:A【解析】因f(x)=x-2/,則f(-x)=(-x)-2(-x)3=-x+2d=-/(x)；即f(-x)=-f(x),所以/")為奇函數(shù);應(yīng)選A..解析:D【解析】則內(nèi)⑹=1【解析】則內(nèi)⑹=1-六=1涓=占應(yīng)選I)..解析:DTOC\o"1-5"\h\zX X【解析】因 =0,lbn=^—=0,lim2r=0,lim2*不存在；應(yīng)選D..t->0廠+\ 廠+] X— .TT"5.解析:C1 21I_7r_r2~2 1【解析】因lim: =lim2一—=-1；應(yīng)選C.XTOO X-KO |6.解析:DXr1 I【解析】因lim=山。一=一=2,則。=一：應(yīng)選D.^->0sinax…。ata2.解析:A【解析】當(dāng)x-0時(shí)，l-cosx，則2-2cosx~即。=1；應(yīng)選A.2.解析:B【解析】當(dāng)。=2時(shí)，Hm/(x)=lim "=lim—~~—=lim(x-l)=0,即lim/(x)￥/⑴，x—>1 x->l x-］ x—>1x—| x->l x—>1故a=2,/(x)在x=l處不連續(xù)；應(yīng)選B..解析:C［解析】因f(x)=(X-1以1),且戊丫)在X=0處可導(dǎo),則e(X)在X=0處必連續(xù),故/'(1)=liin )—lim ―1)0=lim(p{x-1)=e(())；應(yīng)選C.I X-\Xf X-\ Xf.解析:D【解析】lim/(x)=/(l)=l,所以在x=l處連續(xù)：x-?l但力⑴=lim /-(1)=lim—=1,所以函數(shù)在x=l處不可導(dǎo)；應(yīng)選D.J'x-\ r-*,-x-1.解析:C【解析】當(dāng)兩函數(shù)地切線相互垂直時(shí)，切點(diǎn)處兩切線地斜率乘枳為-1,即r(x)?g'(x)=-i,所以，—3x~,———1,解得：x=—；應(yīng)選C.九 3.解析:A【解析】根據(jù)羅爾中值定理，應(yīng)有了'(。)=-4/=0,在(7,1)內(nèi)只有g(shù)=0；應(yīng)選a..解析:A［解析］根據(jù)極值地第一充分條件，f\x)在x=()兩側(cè),左負(fù)右正,取得極小值,所以/(0)是f(x)地極小值；應(yīng)先A..解析:B【解析】根據(jù)凹凸性地判定定理,f〃(x)在X=1兩側(cè)，左負(fù)右正,所以點(diǎn)(1"(1))是曲線f(K)地拐點(diǎn)：應(yīng)選B..解析:D［解析】因)，=/,則/=4/,/=I2x2,所以在(-00,0)內(nèi)y=x4單調(diào)遞減且為凹，在(O,4W)內(nèi)y=x4單調(diào)遞增且為凹，；應(yīng)選D.【解析】依題J/*)dT=FQ)+C,故J/(x-lMr=J/(x-l”(x-l)=F(x-l)+C：應(yīng)選A..解析:C【解析】因/'(])=1("'+產(chǎn)卜’="*+工2；應(yīng)選c..解析:C【解析】因被積函數(shù)/(x)=xe”為奇函數(shù),積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間，所以J：產(chǎn)“公=。：應(yīng)選C..解析:C【解析】根據(jù)定積分地幾何意義知，f/(x)dx表示題中平面圖形面積,Bp￡^=^|i=l-e-'：應(yīng)選C..解析:B【解析】當(dāng)I<xv2時(shí)，/>%；由定積分地保序性知，Mx,應(yīng)選B..解析:D【解析】因:=7+1=【解析】因:=7+1={0,1,1},則向量G地單位向量為“°=[。，條科所以方向角以瓜丫需滿足cosa=0,cos/?=’Z,cos7,則。、/?、7依次為工，工，衛(wèi)，應(yīng)選D.2 2 244.解析:A【解析】將e-r代入微分方程y〃+3ay'+2y=。得：""一3。"*+ =0,解之a(chǎn)=1；應(yīng)選A..解析：B【解析】可分離變量微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式是)/=/*)g(y),顯然只有B中方程滿足；應(yīng)選B..解析:C【解析】因包=3/+)丸所以且馬=2戶應(yīng)選C.dx dxdy.解析：B【解析】設(shè)水箱長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,則2(A)，+yz+")=54W=pz,構(gòu)造函數(shù)F：=yz+2(y+z)=0廠(工,)，,2,/1)=.+41+)2+"-27),令<Fyxz+2(x+z)0，解得/=y=z=3,此F.=Aj+%(x+y)=OF；="+yz+zv-27=0時(shí)水箱容積最大,最大容積為27〃J；應(yīng)選B..解析:D【解析】04公小,二40公4)，=45。；而4S〃=成2一.2=34，應(yīng)選d.D D.解析:A【解析】依題畫出積分區(qū)域,有｛(x,“0<x<W<y<x｝=｛卜“0WyW1,yWxW1｝,所以,交換積分順序后有JJ/(x,y)d(j=￡t/yf/(x, 工JJf(x,y)da=,應(yīng)選A.d ' D.解析:B［解析】因?yàn)橹本€L地參數(shù)方程為｛)：簽((0Wx41)，則(y2ds=￡3x2VT+3tZr=2M；=2,應(yīng)選B..解析:ATOC\o"1-5"\h\z【解析】選項(xiàng)是發(fā)散;選項(xiàng)b￡(-i)"!是條件收斂;選項(xiàng)是收斂;選項(xiàng)“=1〃rt=l 〃 M=l〃 〃=l 〃絕對(duì)收斂;應(yīng)選A..解析:C【解析】選項(xiàng)A中l(wèi)im〃“=(),則級(jí)數(shù)不一定收斂；選項(xiàng)B中沒有說(shuō)明級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù);n->oo" -" J〃n=l n=\00 <C 00選項(xiàng)C中收斂，則!吧〃“二0；選項(xiàng)D》>“收斂，則￡>〃|不一定收斂；應(yīng)選C.〃=1 "=1 〃=】二、填空題(每小題2分，共20分).解析：Vx,X€R【解析】由原函數(shù)y=得x=6；交換x,y得反函數(shù)丁=近；應(yīng)填"y=U,xeR”..解析：L2【解析】lim =lim—牛=!；應(yīng)填”■*82〃+] 2+— 2 2n.解析:可去【解析】因而]/（幻=礴（2-幻=2工〃1）,所以工=1為可去間斷點(diǎn)；應(yīng)填"可去XT1 X->1.解析：1.01【解析】因?yàn)?（0.99）=/（1-0.01卜/⑴+/'（l）x（-001）=l+（-ei）zX（-0.01）=101；應(yīng)填〃0.01”..解析：-cos（x+1）+C【解析】jsin（x+l依=jsin（x+l）7（x+l）=-cos（x+l）+C；應(yīng)填"一cosQ+1）+C〃..解析：In2【解析】f—^=f—4^+0=?n^+lK=ln25應(yīng)填"M2".J°x+1 "）x+l 1.解析：dx-2dy【解析】a=0-2工班+（工一2），卜丁，所以用（0/）=公—2"），；應(yīng)填"公一24”..解析:,[333J【解析】向量｛2,1,2｝地模為序不方=3,所以與向量｛2,1,2｝同向平行地單位向量為〕2I21 古〃212k,[333J[333j.解析：），=—3—（。為常數(shù)）jc+CTOC\o"1-5"\h\z【解析】方程），'+孫2=o為可化為-2分=其/x,積分得1='/+。，y y22 2所以方程通解為y=r—,（C為常數(shù)）；應(yīng)填〃），=「一（。為常數(shù)）〃.JT+C X+C40.解析:31【解析】由幕級(jí)數(shù)地收斂半徑可知R=lim&=lim斗=3；應(yīng)填”3〃.

n—>1(1 〃一>11M+1 三、計(jì)算題(每小題5分，共50分)41.【解】lim（1-x）i=lim（1- =e'2x->0 .v->042.【解】/=—, （2-cosx）=J"，2V2-cosx 2V2-cosx43.【解】j21nx_lat=J（2lnx-l）</（lnx）=j（21nx-1）r/（2Inx-l）=—（2lnx-1）2+C=ln2x-lnx+C-x 244.【解】pxsin.uZY=-pxdcosx=7cosR：+『cosx為r=O+sinx；=1.45.【解】由題知直線/地方向向量為Tijk ITT5=123=-7+2J-jt={-1,2-1}357所求直線平行于/,且過(guò)點(diǎn)4(0,1,2),代入直線地點(diǎn)向式方程得所求直線方程為xy-1z-2

口"〒二^T..【解】利用微分不變性方程兩邊微分得：dxz-dyz-dx+dy=0xdz+zdx-ydz-zdy-dx+dy=0,即有 (x-y)dz=(1-z)elx+(z-l)dy,1—7 7—1所以dz=dx+dy.x-y x-y.【解】在極坐標(biāo)下積分區(qū)域表示為{(廠⑼?！癒2〃,0±W2},則y2dxdy=￡y2dxdy=￡d-產(chǎn)?rdr=7rl<4一產(chǎn)力二收斂半徑R=lim：L4川=lim生匕〃-*8n+1=1,D二-"］："-，44一r)=^|^(4_/并；=等.【解】方程為標(biāo)準(zhǔn)地一階線性微分方程，且P(x)=^,Q(x)=l,x代入通解公式得所求方程通解為■，這是標(biāo)準(zhǔn)不缺項(xiàng)地幕級(jí)數(shù),〃+1.【解】令x-l=f級(jí)數(shù)化為■，這是標(biāo)準(zhǔn)不缺項(xiàng)地幕級(jí)數(shù),〃+18 1當(dāng)，=1,級(jí)數(shù)化為Z(-D"而不，是交錯(cuò)級(jí)數(shù),為收斂地:當(dāng)Z=-1,級(jí)數(shù)化為￡」一，是調(diào)和級(jí)數(shù),為發(fā)散地;從而級(jí)數(shù)身(一1)〃—地收斂域?yàn)?T，1］；n=l 〃+1由一1<工一1?1得0<x?2,故塞級(jí)數(shù)￡(-1尸5辿地收斂區(qū)間為(0,2］.，日?8丫"+1.【解】級(jí)數(shù)地收斂域?yàn)榱钇浜秃瘮?shù)為/(戈),“=|〃8y〃+1 8 Sy.W+1即/M=X =/一=/—7=rln(l-x),〃=]〃〃=|〃n=O〃+1故f(x)=-xIn(1-a),xg[-1,1).四、應(yīng)用題(每小題7分，共14分).【解】平面圖形如下圖所示，所求平面圖形面積可以看作陰影部分面積，即有5=，(：-0卜=1一公=間4；=1..【解】設(shè)生產(chǎn)x臺(tái)計(jì)算器時(shí)，公司利潤(rùn)為L(zhǎng)；依題，L=/?(x)-C(x)=80x-0.03x2-(7500+50x-0.02x2)；即S=—0.0L?+3(卜一750(),令S'(x)=-0.02x+30=0得唯一可能極值點(diǎn)x=1500,此時(shí)S〃(