第38講零點存在的判定與證明零點問題是導(dǎo)函數(shù)的一個重要研究方向,也是一個重點和難點,屬于一元等式問題,其求解需要綜合前面的極值、單調(diào)性和最值來考慮.而極值點本身又是導(dǎo)函數(shù)的零點,所以這里會層層環(huán)繞,分析起來比較麻煩,這是零點問題的一個難點.第二個難點是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點存在定理來賦值找零點,這里會涉及不等式放縮法,如果不太理解賦值問題,等學(xué)習(xí)了不等式放縮法后,專門講解賦值問題,那時再回過頭來理解.下面我們先來學(xué)習(xí)與零點相關(guān)的定義和定理.1.函數(shù)的零點:一般的,對于函數(shù),我們把方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的零點.2.零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點,即,使得.注意:零點存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù),如果是分段的,那么零點不一定存在.3.零點存在定理的推論:若在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)且連續(xù),則在的零點唯一.4.函數(shù)的零點,方程的根,兩圖像交點之間的聯(lián)系.設(shè)函數(shù)為,則的零點即為滿足方程的根,若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?即方程的根在坐標(biāo)系中為交點的橫坐標(biāo),其范圍和個數(shù)可從圖像中得到.由此看來,函數(shù)的零點,方程的根,兩圖像的交點這三者各有特點,且能相互轉(zhuǎn)化:函數(shù)的零點方程的根方程的根函數(shù)與的交點.在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化.【例】對于方程,無法直接求出根,可以拆分構(gòu)造函數(shù)圖像的交點,畫出圖像可判定其零點必在中.求無參函數(shù)零點求解無參函數(shù)零點的一般解題步驟:第一步:利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點,畫出函數(shù)大概的趨勢圖(能夠描述函數(shù)性質(zhì)的圖像).第二步:在嚴(yán)格的單調(diào)區(qū)間上找點,使得在上存在唯一零點.注意:若在區(qū)間,,存在唯一極大值,且極大值小于零或者存在唯一極小值,且極小值大于零,則這個區(qū)間上不存在零點.【例1】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)判斷的零點的個數(shù),并說明理由.【解析】(1)由題意知,的定義域為,令,得或,當(dāng),即或時,單調(diào)遞增.當(dāng),即時,單調(diào)遞減.的單調(diào)遞增區(qū)間是和,單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)由(1)題可知,當(dāng)時,,在上無零點.當(dāng)時,,又在上單調(diào)遞增,在上僅有一個零點.綜上可知,函數(shù)在上僅有一個零點.【例2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)判斷函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.【解析】(1)由題意得,令得.與在區(qū)間上的情況如下表所示:, 3 0 0 單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)根據(jù)(1)題,由函數(shù)單調(diào)性可知:當(dāng)時,有極大值.當(dāng)時,有極小值.在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,可知在上,恒有,無零點.當(dāng)時,.(舉【例】不唯一)函數(shù)在上單調(diào)遞增,由零點存在定理可知,有且只有一個實數(shù),使得.函數(shù)有且只有一個零點.討論含參函數(shù)零點個數(shù)——分類討論討論含參函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù)的一般解題步驟:第一步:利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點,通常極值點用參數(shù)表示:.第二步:討論出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,通常分為極值點在區(qū)間的左、中、右三種情況討論.第三步:結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值和零點存在定理的推論來確定零點個數(shù),我們通常分為情況討論:(1)函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào),若滿足在上存在唯一零點.若不滿足在上不存在零點.(2)若在區(qū)間上,存在唯一極大值,則分為下面三種情況:①極大值在上不存在零點.②極大值在上存在唯一零點.③極大值若,,則在上存在兩個零點.若,則在上存在一個零點.若,則在上無零點.【例1】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)),討論在區(qū)間上零點的個數(shù).【解析】(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增且,在上有一個零點.(2)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上有一個零點(3)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.而,①當(dāng),即時,在上有兩個零點.②當(dāng),即時,在上有一個零點.綜上所述,當(dāng)或時,在上有一個零點.當(dāng)時,在上有2個零點.【例2】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),,討論函數(shù)零點的個數(shù),并說明理由.【解析】由,得或.設(shè),又,即不是的零點.只需再討論函數(shù)零點的個數(shù).,當(dāng)時,單調(diào)遞減.當(dāng)時,單調(diào)遞增.當(dāng)時,取得最小值.①當(dāng),即時,無零點.②當(dāng),即時,,有唯一零點.③當(dāng),即時,,在上有且只有一個零點.令,則.設(shè),則,在上單調(diào)遞增.,都有.在上有且只有一個零點.當(dāng)時,有兩個零點.綜上所述,當(dāng)時,有一個零點.當(dāng)時,有兩個零點.當(dāng)時,有三個零點.求含參函數(shù)零點個數(shù)——參變分離【例1】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)),求函數(shù)的零點的個數(shù).【分析】由,得,構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值,畫出此函數(shù)的圖像,再判斷圖像與直線的交點情況,從而可得答案.【解析】顯然0不是函數(shù)的零，點,由得.令,則.或時,時,.在和上都是減函數(shù),在上是增函數(shù).時取極小值,又當(dāng)時,,時,關(guān)于的方程無解.或時關(guān)于的方程只有一個解.時,關(guān)于的方程有兩個不同解.因此,時函數(shù)沒有零點.或時函數(shù)有且只有一個零點.時,函數(shù)有兩個零點.由零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍——分類討論這里分類討論的步驟和前面討論零點個數(shù)的步驟類似,不再復(fù)述,不同的是需要選取符合題設(shè)零點個數(shù)要求的參數(shù)范圍,以及會用不等式放縮來賦值找零點(在后面的章節(jié)中會有詳細講解),我們也可以通過取極限的方式來粗糙地確定零點,在考試時,這也是一種較快的解題方式,一般來說,判卷不嚴(yán)格也算對,但也可能會扣分.【例1】已知函數(shù)R).(1)討論的單調(diào)性.(2)若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為.①當(dāng)時,由,知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.②當(dāng)時:由,即得.由,即得.函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時,在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時,則函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)最多一個零點,不合乎題意,舍去.當(dāng)時,由(1)題知,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.且當(dāng)時,.當(dāng)時,,則,即,解得.因此,實數(shù)的取值范圍是.【例2】已知函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù),且).（1）討論的單調(diào)性.（2）若有兩個零點,求的取值范圍。【解析】(1).①當(dāng)時,,則當(dāng)時,,故在單調(diào)遞減.當(dāng)時,,故在單調(diào)遞增.②當(dāng)時,由得,.若,則,故在上單調(diào)遞增.若,則當(dāng)或時,,故在和單調(diào)遞增.當(dāng)時,,故在單調(diào)遞減.(2)①當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,不可能有兩個零點.②當(dāng)時,在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故當(dāng)時,取得極大值,極大值為.此時,不可能有兩個零點.③當(dāng)時,,由得.此時,僅有一個零點.④當(dāng)時,在單調(diào)遞減.在單調(diào)遞增..有兩個零點,.解得.而.取,則.故在各有一個零點.綜上,的取值范圍是.【例3】已知函數(shù),若函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.【解析】函數(shù)的定義域為.由..①當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,最多只有一個零點.②當(dāng)時,令.由,可知函數(shù)單調(diào)遞增.又,可得存在,使得,有,可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.若函數(shù)有兩個零,點,必有 得.又由令,有,令,可得.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,有.當(dāng)時,.可得此時函數(shù)有兩個零點.由上可知,若函數(shù)有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是.由零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍——參變分離參變分離法解已知含參函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù),反求參數(shù)取值范圍問題的一般步驟:第一步:的零點方程的解,參變分離后得.第二步:利用導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的函數(shù)圖像.第三步:討論常值函數(shù)和函數(shù)圖像在區(qū)間上的交點個數(shù)，即為在區(qū)間上零點個數(shù).【例1】已知函數(shù)R),若有唯一零點,求的取值范圍.【解析】由有唯一零點,可得方程,即有唯一實根.令，則由,得.由,得.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又,當(dāng)時,.又當(dāng)時,,由得圖像(如下圖所示)可知,或.【例2】已知函數(shù),若有兩個零點,求的取值范圍.【解析】若有兩個零,點,即有兩個解.從方程可知,不成立,即有兩個解.令,則有.令,解得.令,解得或.函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且當(dāng)時,,而時,.當(dāng)時,.當(dāng)有兩個解時,有,滿足條件的的取值范圍是.【例3】已知函數(shù),若有3個零點,求實數(shù)的取值范圍.【解析】由得,即,(1)顯然是方程0的一個解,即為的一個零點.(2)當(dāng)時,由,得.令