7十三傾斜角與斜率1.經(jīng)過兩點A(2,1),B(1,m)的直線l的傾斜角為銳角,則m的取值范圍是 ()A.(-∞,1) B.(-1,+∞)C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】選A.因為直線l的傾斜角為銳角,所以斜率k=m-11-2.經(jīng)過A(3a,-2),B(0,a2+1)兩點的直線的斜率為-43,則實數(shù)a的值為 (A.1 B.3 C.0或1 D.1或3【解析】選D.直線AB的斜率k=a2+1-(-2)0-3a=a2+3-33.在平面直角坐標(biāo)系中,正△ABC的邊BC所在直線的斜率是0,則AC,AB邊所在直線的斜率之和為 ()A.-23 B.0C.3 D.23【解析】選B.如圖,易知kAB=3,kAC=-3,所以kAB+kAC=0.4.已知點A(2,-1),B(3,m),若m∈[-33-1,3-1],則直線AB()A.[π3,5πB.[0,π3]∪[5πC.[π3,π2)∪(π2D.[π3,π2)∪(5π【解析】選B.設(shè)直線AB的傾斜角為α,則直線AB的斜率k=m+13-2=m+1,又m∈[-33-1,3-1],則k的取值范圍為[-即tanα的取值范圍為[-33,3]又0≤α<π,則α∈[0,π3]∪[5π65.(多選題)下列說法中正確的是 ()A.若直線的斜率存在,則必有一個傾斜角與之對應(yīng)B.每一條直線都有且僅有一個傾斜角與之對應(yīng)C.與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角為0°或90°D.若直線的傾斜角為α,則直線的斜率為tanα【解析】選ABC.由直線的傾斜角與斜率的概念,知A,B,C說法均正確;因為傾斜角是90°的直線沒有斜率,所以D說法不正確.6.(多選題)已知點A(2,-1),若在坐標(biāo)軸上存在一點P,使直線PA的傾斜角為45°,則點P的坐標(biāo)可能為 ()A.(3,0) B.(-3,0)C.(0,-3) D.(0,3)【解析】選AC.設(shè)x軸上點P(m,0)或y軸上點P(0,n).由kPA=1,得0+1m-2=n+10-2=1,得m=3,7.設(shè)P為x軸上的一點,A(-3,8),B(2,14),若直線PA的斜率kPA是直線PB的斜率kPB的2倍,則點P的坐標(biāo)為__________.

【解析】設(shè)P(x,0),由條件kPA=2kPB,則8-3-x=2×142-答案:(-5,0)8.直線l經(jīng)過點(-1,0),傾斜角為150°,若將直線l繞點(-1,0)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,得到直線l',則直線l'的傾斜角為__________,斜率為__________.

【解析】如圖所示,因為直線l的傾斜角為150°,所以繞點(-1,0)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,所得直線l'的傾斜角α=(150°+60°)-180°=30°,斜率k=tanα=tan30°=33答案:30°39.求圖中各直線的傾斜角.【解析】(1)如圖①,可知∠OAB為直線l1的傾斜角.易知∠ABO=30°,所以∠OAB=60°,即直線l1的傾斜角為60°.(2)如圖②,可知∠xAB為直線l2的傾斜角,易知∠OBA=45°,所以∠OAB=45°,所以∠xAB=135°,即直線l2的傾斜角為135°.(3)如圖③,可知∠OAC為直線l3的傾斜角,易知∠ABO=60°,所以∠BAO=30°,所以∠OAC=150°,即直線l3的傾斜角為150°.10.求證:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三點共線.【證明】因為A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3),所以kAB=-7kAC=-3-(-1)0-1因為直線AB與直線AC的傾斜角相同且過同一點A,所以直線AB與直線AC為同一直線.故A,B,C三點共線.11.直線l過原點(0,0),且不過第三象限,那么l的傾斜角α的取值范圍是 ()A.{α|0°≤α≤90°}B.{α|90°≤α<180°}C.{α|90°≤α<180°或α=0°}D.{α|90°≤α≤135°}【解析】選C.傾斜角的取值范圍為0°≤α<180°,直線過原點且不過第三象限,故其范圍為90°≤α<180°或α=0°,切勿忽略x軸和y軸.12.設(shè)直線l過坐標(biāo)原點,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角為 ()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°【解析】選D.根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示.A,B,C未分類討論,均不全面,不合題意.通過圖形可知:當(dāng)0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.13.若三點A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能構(gòu)成三角形,則實數(shù)k的取值范圍為__________.

【解析】kAB=k-1-2-3=1-k5,kAC=1-18-3=05=0.要使A,答案:(-∞,1)∪(1,+∞)14.設(shè)直線l的斜率為k,且-1<k<1,則直線l的傾斜角α的取值范圍是__________.

【解析】當(dāng)-1<k<0時,即-1<tanα<0,此時135°<α<180°.當(dāng)0≤k<1時,即0≤tanα<1,此時0°≤α<45°.綜上知直線l的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}.答案:{α|0°≤α<45°或135°<α<180°}【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知直線l的傾斜角的取值范圍為[π3,3π4],直線l的方向向量為(2,3m),則m的取值范圍為【解析】易知tanπ3=3,tan3π4當(dāng)θ∈[π3,3π4]時,tanθ∈(-∞,-1]∪[3,+∞),由題意知k=3m2,所以3m2≤-1或3m2≥3,解得m≤-23或m≥23答案:(-∞,-23]∪[215.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1).(1)求直線AB和直線AC的斜率;(2)若點D在線段AB上移動,求直線CD的斜率的取值范圍.【解析】(1)由斜率公式得kAB=1-11-(-1)=0,kAC=3+1-1(2)設(shè)直線CD的斜率為k,當(dāng)斜率k變化時,直線CD繞C點旋轉(zhuǎn),當(dāng)直線CD由CA逆時針旋轉(zhuǎn)到CB時,直線CD與AB恒有交點,即D在線段AB上,此時k由kAC增大到kBC,又kBC=3+1-12-1=3,所以k16.已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x