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第15章市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)：模型構(gòu)建法1RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012模型構(gòu)建法除了歷史模擬法之外，另外還有一種計(jì)算市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的方法，這種方法被稱為模型構(gòu)建法或方差協(xié)方差法。在這一方法中，我們需要對(duì)市場(chǎng)變量的聯(lián)合分布做出一定的假設(shè)，并采用歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)模型中的參數(shù)。2RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012微軟的例子假定交易組合只包含價(jià)值為1000萬美元的微軟公司股票假定微軟公司股票的波動(dòng)率為每天2%(對(duì)應(yīng)于年波動(dòng)率32%)我們尋求交易組合在10天展望期內(nèi)99%的置信水平下的VaR3RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012微軟的例子（續(xù)）交易組合每天價(jià)值變化的標(biāo)準(zhǔn)差為1000萬美元的2%，即200000美元10天所對(duì)應(yīng)的回報(bào)標(biāo)準(zhǔn)差為4RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012微軟的例子（續(xù)）我們往往需要假定在展望期上，市場(chǎng)價(jià)格變化的期望值為0（這一假設(shè)雖然不是絕對(duì)正確，但無論如何是一個(gè)合理假設(shè)，市場(chǎng)變量在一個(gè)較小區(qū)間內(nèi)價(jià)格變化的期望值相對(duì)較小）假定價(jià)格的變化服從正態(tài)分布由于

N(–2.33)=0.01,可得VaR為

5RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012AT&T例子接下來我們考慮價(jià)值為500萬美元的AT&T的股票投資。假定AT&T股票的波動(dòng)率為每天1%(對(duì)應(yīng)于年波動(dòng)率16%)10天價(jià)格變化的標(biāo)準(zhǔn)差為VaR為6RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012交易組合考慮由價(jià)值1000萬美元微軟股票及價(jià)值為500萬美元的AT&T股票的交易組合分布中的相關(guān)系數(shù)為0.37RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012交易組合的標(biāo)準(zhǔn)差由兩種股票所組成的交易組合的標(biāo)準(zhǔn)差為這種情況下

sX=200,000，sY

=50,000以及r=0.3.所以，由兩種股票所組成的交易組合的標(biāo)準(zhǔn)差為220,2278RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012交易組合的VaR交易組合的展望期為10，置信度為99%VaR為

風(fēng)險(xiǎn)分散的收益為(1,473,621+368,405)–1,622,657=$219,3699RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型我們假定投資組合每天的價(jià)值變化是由市場(chǎng)變量每天收益的線性組合市場(chǎng)變量的價(jià)格變化服從正態(tài)分布10Markowitz結(jié)論在投資組合價(jià)格變化的方差上的應(yīng)用RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201211RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012投資組合價(jià)值的方差

12si

是第

i項(xiàng)資產(chǎn)的每天的波動(dòng)率sP是投資組合價(jià)值的每天的波動(dòng)率ai

=wiP

投資在第i

資產(chǎn)上的數(shù)量

方差-協(xié)方差矩陣(vari=covii)RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201213sP2的另一種表述RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201214涉及4個(gè)投資的例子

RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201215等權(quán)重EWMA:l=0.941天99%VaR$217,757$471,025在2008年9月方差和相關(guān)系數(shù)均有所上升RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201216DJIAFTSECACNikkei等權(quán)重1.111.421.401.38EWMA2.193.213.091.59相關(guān)系數(shù)波動(dòng)率

(%每天)RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012對(duì)于利率變量的處理久期法:DP

與

Dy

之間的線性關(guān)系，但是假設(shè)利率曲線平行移動(dòng)現(xiàn)金流映射:變量是10個(gè)不同期限零息債券主成分分析法:2或3獨(dú)立的移動(dòng)17RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012對(duì)于利率變量的處理:現(xiàn)金流映射我們往往將以下期限的零息債券的價(jià)格作為市場(chǎng)的初始變量(1月、3月、6月、1年、2年、5年、7年、10年及30年)假定6個(gè)月6.0%的利率及1年7.0%的利率，在0.8年數(shù)量為1050000美元的現(xiàn)金流.6個(gè)月0.1%的波動(dòng)率及1年0.2%的波動(dòng)率18RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）將6個(gè)月6%的利率及1年7%

的利率，進(jìn)行插值來求得0.8年利率6.6%$1050000,0.8年現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值為19RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）對(duì)6個(gè)月0.1%的波動(dòng)率及1年0.2%的波動(dòng)率也進(jìn)行插值來求得0.8年波動(dòng)率，即0.16%假定，我們映射到6個(gè)月期限的現(xiàn)金流的價(jià)值占整體現(xiàn)值的比率為a因此，映射到1年期限現(xiàn)金流的價(jià)值占整體現(xiàn)值的比率為

(1-a)20RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）假定6個(gè)月期和1年期的債券的相關(guān)系數(shù)為0.6進(jìn)行方差匹配求得a=0.07421RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例（續(xù)）

因此，0.8年價(jià)值為997662美元的零息債券被價(jià)值為

的6個(gè)月期零息債券及價(jià)值為

的一年期零息債券的組合代替.

這里的現(xiàn)金流映射的優(yōu)點(diǎn)是現(xiàn)金流的價(jià)值及方差都沒有改變22RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型的應(yīng)用股票債券匯率遠(yuǎn)期合約利率互換23RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型與期權(quán)產(chǎn)品

假設(shè)一個(gè)期權(quán)的交易組合只依賴于單一股票價(jià)格,S.定義

以及24RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012線性模型與期權(quán)產(chǎn)品（續(xù)）我們有以下近似式類似，當(dāng)交易組合包含幾種不同基礎(chǔ)資產(chǎn)的期權(quán)時(shí)

其中di

是投資組合中第i個(gè)資產(chǎn)的delta25RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012例假定一交易組合是由基礎(chǔ)資產(chǎn)微軟股票及AT&T

股票的期權(quán)所組成，微軟期權(quán)的delta為1000，AT&T期權(quán)的deltas為20000，微軟股票的價(jià)格為120，AT&T股票的價(jià)格為30。我們得出以下近似式

其中Dx1

和Dx2分別為微軟及AT&T股票的日收益率26RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012但是一個(gè)期權(quán)的日收益率分布不是一個(gè)正態(tài)

線性模型無法獲取投資組合價(jià)值的概率分布的峰度。27Gamma的影響RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201228

正Gamma負(fù)Gamma具有正態(tài)分布的基礎(chǔ)資產(chǎn)的概率分布與長(zhǎng)頭寸期權(quán)的概率分布的對(duì)應(yīng)關(guān)系RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201229LongCallAssetPrice具有正態(tài)分布的基礎(chǔ)資產(chǎn)的概率分布與期權(quán)空頭的概率分布的對(duì)應(yīng)關(guān)系RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201230ShortCallAssetPriceRiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012二次模型

對(duì)于依賴于單一資產(chǎn)價(jià)格的投資組合，由泰勒展開我們得出

由此得出

假設(shè)Dx服從正態(tài)分布，我們可以得出下列矩31二次模型（續(xù)）RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull201232但當(dāng)Dxi是多元正態(tài)分布，且n不是很大時(shí)，利用該式我們可以估計(jì)么DP矩。統(tǒng)計(jì)學(xué)中Cornish–Fisher展開由分布的矩入手，對(duì)概率分布的分位數(shù)進(jìn)行估計(jì)然而，當(dāng)市場(chǎng)變量的個(gè)數(shù)很大時(shí)，這個(gè)模型將不再可行RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012蒙特卡羅模擬我們可以在實(shí)施模型構(gòu)建法時(shí)采用蒙特卡羅模擬法利用當(dāng)前的市場(chǎng)變量對(duì)交易組合進(jìn)行定價(jià)從Dxi服從的多元正態(tài)分布中進(jìn)行一次抽樣由Dxi的抽樣計(jì)算出在交易日末的市場(chǎng)變量利用新產(chǎn)生的市場(chǎng)變量來對(duì)交易組合重新定價(jià)33RiskManagementandFinancialInstitutions3e,Chapter15,Copyright?JohnC.Hull2012蒙特卡羅模擬

(續(xù))計(jì)算

DP重復(fù)很多次，我們可以計(jì)算出么DP的概率分布DP的概率分布中的某個(gè)分位數(shù)就是我們要求的VaR例如，假