題型剖析：讓參數(shù)方程學(xué)習(xí)向思維深處漫溯寧夏固原市回民中學(xué)姚宗亮756000作者簡介：姚宗亮（1964-），男，漢族，寧夏固原人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，特級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)與試題研究命制工作。[摘要]參數(shù)方程是高考選修部分考查的重點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)這部分知識(shí)的考查常與其它知識(shí)結(jié)合在一起，具有一定的綜合性。試題難度中檔偏上，題型以填空題和解答題為主。本文主要從填空題、解答題、證明題、探索性問題四個(gè)方面就有關(guān)參數(shù)試題的題型的解題思路進(jìn)行論述。[關(guān)鍵詞]參數(shù)方程填空題解答題證明題探索性問題參數(shù)方程是解析幾何的重要知識(shí)點(diǎn)，也是解決一些數(shù)學(xué)難題的得力工具，其解題思路一般要轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解。涉及到的題型多樣，題目難度在各個(gè)層次都有體現(xiàn)。解題的核心思想是靈活轉(zhuǎn)化。但是參數(shù)方程的參數(shù)思想常滲透到高考綜合題的解答過程中，參數(shù)的選擇與應(yīng)用則是解題的關(guān)鍵。下面舉例分析，希望能起到拋磚引玉的作用。一、基本題型——填空題與參數(shù)方程有關(guān)的填空題考查的知識(shí)點(diǎn)比較單一，解析式表述簡單，計(jì)算量較小。由于解題不需要寫出過程，直接寫出答案，因此可以采用一些特殊的技巧進(jìn)行答題。解答時(shí)要做到“快、穩(wěn)、全、活、細(xì)”。例1方程表示的曲線是。分析：判斷參數(shù)方程所表示的曲線類型題，需要先將參數(shù)方程通過一定的方法化為普通方程，然后再去判斷其屬于何種類型的曲線。解析：t與互為倒數(shù)，參數(shù)方程的兩邊分別平方，再相減，可得即有，又注意到，可見與以上參數(shù)方程等價(jià)的普通方程為。題給方程表示為焦點(diǎn)在軸上，以原點(diǎn)為中心的雙曲線的上支。點(diǎn)評(píng)：將參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化是消去參數(shù)解題的一種很重要的方法，其中需要警惕的是變量范圍是否取到統(tǒng)一。二、主流題型——解答題有關(guān)參數(shù)方程解答題的求解，審題是關(guān)鍵。解答題涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多，考查的解題方法和運(yùn)算技巧也涉及多個(gè)方面，因此審題時(shí)需要從多個(gè)角度進(jìn)行分析題意，準(zhǔn)確識(shí)別題目中隱含的信息和題干的特征，以期達(dá)到正確理解題意，快速解答。例2設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，討論表達(dá)式是否有最值？如果有最值，試求出的最大值或最小值。分析：正確解決本題需要關(guān)注變量的幾何意義，若設(shè)，則方程表示一組直線，（對(duì)于取不同的值，方程表示不同的直線），顯然既滿足，又滿足，故點(diǎn)是方程組的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為研究消參后的一元二次方程的判別式問題。解析：令，對(duì)于既滿足，又滿足，故點(diǎn)是方程組的公共解，依題意得，由，解得：，所以的最大值為，最小值為。點(diǎn)評(píng)：本題還可以通過三角函數(shù)換元求解，則可以優(yōu)化解題途徑，簡化解題過程。即，因此可通過轉(zhuǎn)化為的一元函數(shù)。以上二個(gè)思路都叫“參數(shù)法”。三、綜合題型——證明題與參數(shù)方程有關(guān)的證明題是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其滲透的知識(shí)點(diǎn)比較多，與不等式、圓錐曲線、圓的方程、直線方程聯(lián)系密切，題型多變，難度比較大。但是只要掌握了具體的方法和策略，則一切困難將不再是困難了。圖1例3如圖1，雙曲線的一條準(zhǔn)線與實(shí)軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)引一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn)。又過一焦點(diǎn)引一條垂直于的直線，與雙曲線交于、兩點(diǎn)。圖1求證：。分析：因直線過定點(diǎn)，又與垂直，考慮設(shè)出直線的參數(shù)方程，聯(lián)立雙曲線方程求解。證明：不妨設(shè)，直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為。由對(duì)稱性，可取，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入雙曲線方程，得，即。又直線的方程為（為參數(shù)），把它代入雙曲線方程，得，即。點(diǎn)評(píng)：在直角坐標(biāo)系中，要想表示兩線段長度之積比較困難的與煩瑣，而應(yīng)用直線的參數(shù)方程處理起來卻很輕松，這是因?yàn)榭梢员硎揪€段的長度，而用韋達(dá)定理表示比較簡單。四、創(chuàng)新題型——開放題型與參數(shù)有關(guān)的開放題在解題方法上多樣且題型多變。在日常考查的試題中多為條件開放型（探求已知結(jié)論成立的條件）、結(jié)論開放型（在已知條件下探求所得的結(jié)論）等。在解題時(shí)，要根據(jù)題給條件的特征，采取有效的策略進(jìn)行探究。圖2例4如圖2，橢圓方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問上是否存在點(diǎn)，使得？如果存在，能否求出其軌跡方程？圖2分析：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，代入進(jìn)行判斷。解析：假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，設(shè)，，，則且。再設(shè)，因?yàn)?，得及由①×③?×②×④，得。所以滿足條件的點(diǎn)存在，且點(diǎn)的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)的部分）。點(diǎn)評(píng)：參數(shù)方程與圓錐曲線融為一體是參數(shù)方程的又一命題方式。巧設(shè)參數(shù)，可以簡化運(yùn)算。其題目特點(diǎn)是：用參數(shù)方程可解，不用參數(shù)方程也可解，區(qū)別體現(xiàn)在“簡與繁”上。參數(shù)方程的應(yīng)用可以對(duì)融合解析幾何知識(shí)起到至關(guān)重要的作用，提供了在常規(guī)解題方法之外的有效補(bǔ)充。參數(shù)的學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣與能力，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，提高應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。參考文獻(xiàn)：[1]丁宇韜.高考數(shù)學(xué)中圓錐曲線試題解法探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2022(03):70-71