第第頁【解析】浙江省百校2023-2023學年高三數(shù)學聯(lián)考試卷浙江省百校2023-2023學年高三數(shù)學聯(lián)考試卷

一、單選題

1．（2023·浙江模擬）已知集合，，則（）

A．B．

C．D．

2．（2023·浙江模擬）已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足，則（）

A．B．2C．D．3

3．（2023高二上·林芝期末）若x，y滿足約束條件，則的最大值是（）

A．-5B．1C．2D．4

4．（2023·浙江模擬）已知平面，和直線，，且，則“”是“且”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

5．（2023·浙江模擬）若二項式的展開式中各項的系數(shù)和為243，則該展開式中含x項的系數(shù)為（）

A．1B．5C．10D．20

6．（2023·浙江模擬）函數(shù)的大致圖象為（）

A．B．

C．D．

7．（2023·浙江模擬）已知雙曲線，過其右焦點F作漸近線的垂線，垂足為B，交y軸于點C，交另一條漸近線于點A，并且滿足點C位于A，B之間.已知O為原點，且，則（）

A．B．C．D．

8．（2023·浙江模擬）已知內(nèi)接于半徑為2的，內(nèi)角A，B，C的角平分線分別與相交于D，E，F(xiàn)三點，若，則（）

A．1B．2C．3D．4

9．（2023·浙江模擬）如圖，在中，，，，將繞邊AB翻轉(zhuǎn)至，使面面ABC，D是BC的中點，設(shè)Q是線段PA上的動點，則當PC與DQ所成角取得最小值時，線段AQ的長度為（）

A．B．C．D．

10．（2023·浙江模擬）設(shè)無窮數(shù)列滿足，，，若為周期數(shù)列，則pq的值為（）

A．B．1C．2D．4

二、雙空題

11．（2023·浙江模擬）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為，且當時，的最大值為.

12．（2023·浙江模擬）已知隨機變量的分布列如下表，若，則a=，.

012

Pab

13．（2023·浙江模擬）已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示則該幾何體的體積為，表面積為.

14．（2023·浙江模擬）已知、分別為橢圓的左、右焦點，點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上，則橢圓的離心率為；若過且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點，且，則k=.

三、填空題

15．（2023·浙江模擬）某學校要安排2名高二的同學，2名高一的同學和名初三的同學去參加電視節(jié)目《變形記》，有五個鄉(xiāng)村小鎮(zhèn)A、B、C、D，E（每名同學選擇一個小鎮(zhèn)）由于某種原因高二的同學不去小鎮(zhèn)A，高一的同學不去小鎮(zhèn)B，初三的同學不去小鎮(zhèn)D和E，則共有種不同的安排方法（用數(shù)字作）

16．（2023·浙江模擬）已知向量滿足，則的取值范圍是.

17．（2023·浙江模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知圓.過原點的動直線l與圓M交于A，B兩點若以線段AB為直徑的圓與以M為圓心MO為半徑的始終無公共點，則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題

18．（2023·浙江模擬）已知函數(shù)

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

19．（2023·浙江模擬）如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

20．（2023·浙江模擬）已知各項為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為，，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項和.

21．（2023·浙江模擬）如圖，過拋物線上的一點作拋物線的切線，分別交x軸于點D交y軸于點B，點Q在拋物線上，點E，F(xiàn)分別在線段AQ，BQ上，且滿足，，線段QD與交于點P.

（1）當點P在拋物線C上，且時，求直線的方程；

（2）當時，求的值.

22．（2023·浙江模擬）已知函數(shù)，.

（1）若，求證：當時，

（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】交集及其運算

【解析】【解答】由解得或，

故.

故答案為：C.

【分析】由函數(shù)的定義域求得集合A，再利用交集的運算，即可得到結(jié)果.

2．【答案】A

【知識點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的模

【解析】【解答】依題意，

故.

故答案為：A.

【分析】由復數(shù)的乘除運算，化簡為的形式，由此求得，從而得出正確選項.

3．【答案】D

【知識點】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】畫出可行域如下圖所示，向上平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數(shù)的最大值為.

故答案為：D.

【分析】畫出可行域，向上平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得目標函數(shù)的最大值.

4．【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】當“”時，可能在或內(nèi)，不能推出“且”；

當“且”時，由于，故“”；

所以“”是“且”的必要不充分條件.

故答案為：B.

【分析】將“”與“且”相互推導，根據(jù)能否推導的情況判斷充分、必要條件.

5．【答案】C

【知識點】二項式定理；二項式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】由令得，解得，

二項式展開式的通項公式為，

令，解得，

故展開式中含x項的系數(shù)為.

故答案為：C.

【分析】令，結(jié)合展開式中各項的系數(shù)和為234列方程，求得n的值，再利用二項式展開式的通項公式，即可求得含x項的系數(shù).

6．【答案】A

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；函數(shù)的圖象

【解析】【解答】函數(shù)的定義域為，且，

故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C,D兩個選項；

由于，排除B選項，所以A選項正確.

故答案為：A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖象上的特殊點，即可判斷出正確選項.

7．【答案】A

【知識點】平面內(nèi)兩點間的距離公式；直線與圓錐曲線的關(guān)系

【解析】【解答】由于雙曲線漸近線為，

不妨設(shè)直線的斜率為，

故直線的方程為，

令，得，

由，解得，

由，解得，

由得，

化簡得，

解得或，

由于位于之間，故舍去，

所以，即，

故.

故答案為：A.

【分析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB方程和漸近線方程，求得和C點的坐標，根據(jù)列方程，求得的關(guān)系，由此即可求得的值.

8．【答案】D

【知識點】兩角和與差的余弦公式；兩角和與差的正弦公式；正弦定理

【解析】【解答】連接BD，

在三角形ABD中，由正弦定理得，

故

，

同理可得、，

故，

故.

故答案為：D.

【分析】利用正弦定理分別求得、、，結(jié)合已知條件即可求得的值.

9．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

【解析】【解答】由余弦定理得，

，所以為鈍角，

由于平面平面，且交線為，

過作的垂線，交的延長線于，連接，

則平面，所以，

根據(jù)折疊前后的關(guān)系可知，

故兩兩垂直，

以為空間直角坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

如下圖所示，

在等腰直角三角形和中，

，，

故,，

設(shè)，且，則，

所以.，

設(shè)直線與直線所成角為，

則，

令，則，

則，

當且僅當，即時取得最大值，

也即與所成角取得最小值，

此時，

所以.

故答案為：B.

【分析】建立空間直角坐標系，計算，利用夾角公式列式，根據(jù)取得最大值，即與所成角取得最小值，即可求出的長度.

10．【答案】C

【知識點】函數(shù)的周期性；數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的遞推公式

【解析】【解答】，

，

，

因為數(shù)列是周期數(shù)列，所以存在，

，

，

故pq的值為2.

故答案為：C.

【分析】先求得的表達式，再根據(jù)數(shù)列的周期確定，即得pq的值.

11．【答案】；

【知識點】函數(shù)的最大（?。┲?；奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】由于函數(shù)為奇函數(shù)，故，

即，

即，

故，所以，

當時，，

注意到在上單調(diào)遞增，

故，

所以，

故當時，的最大值為.

故答案為：；.

【分析】先根據(jù)求得的值，然后根據(jù)在上的單調(diào)性，即可求得的最大值.

12．【答案】；

【知識點】概率的基本性質(zhì)；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差

【解析】【解答】由已知分布列和列式，故，

所以.

故答案為：；.

【分析】根據(jù)分布列概率之和為以及期望值列方程組，解方程組求得的值，進而求得方差.

13．【答案】100；

【知識點】由三視圖求面積、體積；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】畫出三視圖對應(yīng)的原圖如下圖所示幾何體，

也即長方體切掉一個三棱錐，

故幾何體的體積為，

表面積為，

在中，

所以，

故表面積為.

故填：100；.

【分析】畫出三視圖對應(yīng)的幾何體，即長方體切掉一個三棱錐，由此即可計算出幾何體的體積和表面積.

14．【答案】；1

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的關(guān)系

【解析】【解答】由于點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上，

由于的傾斜角為,畫出圖象如下圖所示，

由于O是坐標原點，根據(jù)對稱性和中位線的知識，

可知為等腰直角三角形，且Q為短軸的端點，

故離心率，

不妨設(shè)，則橢圓方程化為，

設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡得，

設(shè)，則①，②，

由于，故③，

解由①②③組成的方程組得，即.

故答案為：；.

【分析】根據(jù)對稱性和中位線判斷為等腰直角三角形，根據(jù)橢圓的定義求得離心率，根據(jù)得到，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系列方程，解方程即可求得k的值.

15．【答案】32

【知識點】分類加法計數(shù)原理；分步乘法計數(shù)原理；簡單計數(shù)與排列組合

【解析】【解答】如果初三學生去，則高二學生選人去，另外三人去，故方法數(shù)有種；

如果初三學生去，則高一學生選人去，另外三人去，故方法數(shù)有種；

如果初三學生去，則高二學生選人去，高一學生選人去，另外兩人去，故方法數(shù)有種.

故總的方法數(shù)有種.

故填：32.

【分析】按照初三學生去三個小鎮(zhèn)分成3類，用分步計數(shù)原理計算出每一類的方法數(shù)，然后相加，得到總的方法數(shù).

16．【答案】

【知識點】向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

【解析】【解答】由，

得，化簡得，

且，

故.

而，

由于，

故.

故填：.

【分析】化簡，根據(jù)，由此即可求得最終的取值范圍.

17．【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】圓的圓心為，半徑，

設(shè)以線段ab為直徑的圓的圓心為C，

要使“以線段AB為直徑的圓與以為圓心為半徑的始終無公共點”，

則兩圓內(nèi)含，即，

即恒成立，

即，

由基本不等式有，

故，所以，

即，也即，

解得.

故答案為：.

【分析】先求得圓M的圓心和半徑，根據(jù)兩個圓內(nèi)含的條件列不等式，解不等式即可求得a的取值范圍.

18．【答案】（1）解：化簡得，所以

（2）解：由于，故，，

解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

【知識點】兩角和與差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）利用降次公式和輔助角公式化簡，由此求得的值；

（2）根據(jù)絕對值符號對三角函數(shù)單調(diào)性的影響列不等式，解不等式求得的單調(diào)遞增區(qū)間.

19．【答案】（1）證明：因為，平面PC，平面PCD，

所以平面PCD.又因為平面PAB，平面平面，所以.

（2）解：連接PE.

因為，

所以，

則

設(shè)，則.

因為A，E，Q，F(xiàn)四點共面，

所以，解得，則.

取AD的中點O，連接OC，OP，由題意可得OC，OD，OP兩兩垂直

如圖，建立空間直角坐標系，

設(shè)，則，，，.

所以，.

設(shè)平面PCD的一個法向量為，

則，令，得，即，

所以，

所以.

【知識點】直線與平面平行的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，即可證明；

（2）先根據(jù)四點共面，結(jié)合向量的線性運算，求得，建立空間直角坐標系，利用直線AQ的方向向量和平面PCD的法向量，即可求得線面角的正弦值.

20．【答案】（1）解：由平方，得，所以，

將以上兩式相減，可得，

則，所以，

由于數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，又，

所以

（2）解：由題意可得，

則，

，

將以上兩式相減，可得，

設(shè)，

則，

將以上兩式相減，可得，

由此可得，則

【知識點】等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式

【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系，即可求出數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）可得，利用錯位相減法進行數(shù)列求和，即可求出數(shù)列的前n項和.

21．【答案】（1）解：過拋物線上點A的切線斜率為，切線AB的方程為，

則B，D的坐標分別為，，D是線段AB的中點.

設(shè)，，，，顯然P是的重心.

由重心坐標公式得，所以，

則，故或

因為，所以，

所以直線EF的方程為或

（2）解：由解（1）知，AB的方程為，，，D是線段AB的中點

令，，，

因為QD為的中線，所以

而，

所以，即，所以P是的重心，.

【知識點】直線的點斜式方程；直線與圓錐曲線的綜合問題；三角形中的幾何計算

【解析】【分析】（1）先求得切線AB的方程，由此求得兩點的坐標，確定D是AB的中點，根據(jù)三角形重心坐標公式列式，求得點的坐標，再根據(jù)點斜式即可求得的方程；

（2）利用列方程，證得是的重心，由此即可求得的值.

22．【答案】（1）證明：當時，，則

欲證，即，

故只需證明，兩邊取對數(shù)，即證，，

該不等式顯然成立，從而當時，

（2）解：恒成立，即恒成立

設(shè)，則，

只需討論函數(shù)，

因為，所以單調(diào)遞增，

，欲取一點，使得，

，

因此，取

因此在之間存在唯一零點，得，

則，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

設(shè)，，則只需，即，

此時，由此可得實數(shù)a的取值范圍是

【知識點】函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；分析法的思考過程、特點及應(yīng)用

【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，利用分析法，結(jié)合取對數(shù)運算，證得不等式成立；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得的最小值，由最小值為非負數(shù)列不等式，由此求得的取值范圍.

1/1浙江省百校2023-2023學年高三數(shù)學聯(lián)考試卷

一、單選題

1．（2023·浙江模擬）已知集合，，則（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識點】交集及其運算

【解析】【解答】由解得或，

故.

故答案為：C.

【分析】由函數(shù)的定義域求得集合A，再利用交集的運算，即可得到結(jié)果.

2．（2023·浙江模擬）已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足，則（）

A．B．2C．D．3

【答案】A

【知識點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的模

【解析】【解答】依題意，

故.

故答案為：A.

【分析】由復數(shù)的乘除運算，化簡為的形式，由此求得，從而得出正確選項.

3．（2023高二上·林芝期末）若x，y滿足約束條件，則的最大值是（）

A．-5B．1C．2D．4

【答案】D

【知識點】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】畫出可行域如下圖所示，向上平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數(shù)的最大值為.

故答案為：D.

【分析】畫出可行域，向上平移基準直線到可行域邊界位置，由此求得目標函數(shù)的最大值.

4．（2023·浙江模擬）已知平面，和直線，，且，則“”是“且”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】當“”時，可能在或內(nèi)，不能推出“且”；

當“且”時，由于，故“”；

所以“”是“且”的必要不充分條件.

故答案為：B.

【分析】將“”與“且”相互推導，根據(jù)能否推導的情況判斷充分、必要條件.

5．（2023·浙江模擬）若二項式的展開式中各項的系數(shù)和為243，則該展開式中含x項的系數(shù)為（）

A．1B．5C．10D．20

【答案】C

【知識點】二項式定理；二項式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】由令得，解得，

二項式展開式的通項公式為，

令，解得，

故展開式中含x項的系數(shù)為.

故答案為：C.

【分析】令，結(jié)合展開式中各項的系數(shù)和為234列方程，求得n的值，再利用二項式展開式的通項公式，即可求得含x項的系數(shù).

6．（2023·浙江模擬）函數(shù)的大致圖象為（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；函數(shù)的圖象

【解析】【解答】函數(shù)的定義域為，且，

故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C,D兩個選項；

由于，排除B選項，所以A選項正確.

故答案為：A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖象上的特殊點，即可判斷出正確選項.

7．（2023·浙江模擬）已知雙曲線，過其右焦點F作漸近線的垂線，垂足為B，交y軸于點C，交另一條漸近線于點A，并且滿足點C位于A，B之間.已知O為原點，且，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】平面內(nèi)兩點間的距離公式；直線與圓錐曲線的關(guān)系

【解析】【解答】由于雙曲線漸近線為，

不妨設(shè)直線的斜率為，

故直線的方程為，

令，得，

由，解得，

由，解得，

由得，

化簡得，

解得或，

由于位于之間，故舍去，

所以，即，

故.

故答案為：A.

【分析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB方程和漸近線方程，求得和C點的坐標，根據(jù)列方程，求得的關(guān)系，由此即可求得的值.

8．（2023·浙江模擬）已知內(nèi)接于半徑為2的，內(nèi)角A，B，C的角平分線分別與相交于D，E，F(xiàn)三點，若，則（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【知識點】兩角和與差的余弦公式；兩角和與差的正弦公式；正弦定理

【解析】【解答】連接BD，

在三角形ABD中，由正弦定理得，

故

，

同理可得、，

故，

故.

故答案為：D.

【分析】利用正弦定理分別求得、、，結(jié)合已知條件即可求得的值.

9．（2023·浙江模擬）如圖，在中，，，，將繞邊AB翻轉(zhuǎn)至，使面面ABC，D是BC的中點，設(shè)Q是線段PA上的動點，則當PC與DQ所成角取得最小值時，線段AQ的長度為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

【解析】【解答】由余弦定理得，

，所以為鈍角，

由于平面平面，且交線為，

過作的垂線，交的延長線于，連接，

則平面，所以，

根據(jù)折疊前后的關(guān)系可知，

故兩兩垂直，

以為空間直角坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，

如下圖所示，

在等腰直角三角形和中，

，，

故,，

設(shè)，且，則，

所以.，

設(shè)直線與直線所成角為，

則，

令，則，

則，

當且僅當，即時取得最大值，

也即與所成角取得最小值，

此時，

所以.

故答案為：B.

【分析】建立空間直角坐標系，計算，利用夾角公式列式，根據(jù)取得最大值，即與所成角取得最小值，即可求出的長度.

10．（2023·浙江模擬）設(shè)無窮數(shù)列滿足，，，若為周期數(shù)列，則pq的值為（）

A．B．1C．2D．4

【答案】C

【知識點】函數(shù)的周期性；數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的遞推公式

【解析】【解答】，

，

，

因為數(shù)列是周期數(shù)列，所以存在，

，

，

故pq的值為2.

故答案為：C.

【分析】先求得的表達式，再根據(jù)數(shù)列的周期確定，即得pq的值.

二、雙空題

11．（2023·浙江模擬）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為，且當時，的最大值為.

【答案】；

【知識點】函數(shù)的最大（?。┲?；奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】由于函數(shù)為奇函數(shù)，故，

即，

即，

故，所以，

當時，，

注意到在上單調(diào)遞增，

故，

所以，

故當時，的最大值為.

故答案為：；.

【分析】先根據(jù)求得的值，然后根據(jù)在上的單調(diào)性，即可求得的最大值.

12．（2023·浙江模擬）已知隨機變量的分布列如下表，若，則a=，.

012

Pab

【答案】；

【知識點】概率的基本性質(zhì)；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差

【解析】【解答】由已知分布列和列式，故，

所以.

故答案為：；.

【分析】根據(jù)分布列概率之和為以及期望值列方程組，解方程組求得的值，進而求得方差.

13．（2023·浙江模擬）已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示則該幾何體的體積為，表面積為.

【答案】100；

【知識點】由三視圖求面積、體積；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】畫出三視圖對應(yīng)的原圖如下圖所示幾何體，

也即長方體切掉一個三棱錐，

故幾何體的體積為，

表面積為，

在中，

所以，

故表面積為.

故填：100；.

【分析】畫出三視圖對應(yīng)的幾何體，即長方體切掉一個三棱錐，由此即可計算出幾何體的體積和表面積.

14．（2023·浙江模擬）已知、分別為橢圓的左、右焦點，點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上，則橢圓的離心率為；若過且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點，且，則k=.

【答案】；1

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的關(guān)系

【解析】【解答】由于點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上，

由于的傾斜角為,畫出圖象如下圖所示，

由于O是坐標原點，根據(jù)對稱性和中位線的知識，

可知為等腰直角三角形，且Q為短軸的端點，

故離心率，

不妨設(shè)，則橢圓方程化為，

設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡得，

設(shè)，則①，②，

由于，故③，

解由①②③組成的方程組得，即.

故答案為：；.

【分析】根據(jù)對稱性和中位線判斷為等腰直角三角形，根據(jù)橢圓的定義求得離心率，根據(jù)得到，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系列方程，解方程即可求得k的值.

三、填空題

15．（2023·浙江模擬）某學校要安排2名高二的同學，2名高一的同學和名初三的同學去參加電視節(jié)目《變形記》，有五個鄉(xiāng)村小鎮(zhèn)A、B、C、D，E（每名同學選擇一個小鎮(zhèn)）由于某種原因高二的同學不去小鎮(zhèn)A，高一的同學不去小鎮(zhèn)B，初三的同學不去小鎮(zhèn)D和E，則共有種不同的安排方法（用數(shù)字作）

【答案】32

【知識點】分類加法計數(shù)原理；分步乘法計數(shù)原理；簡單計數(shù)與排列組合

【解析】【解答】如果初三學生去，則高二學生選人去，另外三人去，故方法數(shù)有種；

如果初三學生去，則高一學生選人去，另外三人去，故方法數(shù)有種；

如果初三學生去，則高二學生選人去，高一學生選人去，另外兩人去，故方法數(shù)有種.

故總的方法數(shù)有種.

故填：32.

【分析】按照初三學生去三個小鎮(zhèn)分成3類，用分步計數(shù)原理計算出每一類的方法數(shù)，然后相加，得到總的方法數(shù).

16．（2023·浙江模擬）已知向量滿足，則的取值范圍是.

【答案】

【知識點】向量的模；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

【解析】【解答】由，

得，化簡得，

且，

故.

而，

由于，

故.

故填：.

【分析】化簡，根據(jù)，由此即可求得最終的取值范圍.

17．（2023·浙江模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知圓.過原點的動直線l與圓M交于A，B兩點若以線段AB為直徑的圓與以M為圓心MO為半徑的始終無公共點，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】圓的圓心為，半徑，

設(shè)以線段ab為直徑的圓的圓心為C，

要使“以線段AB為直徑的圓與以為圓心為半徑的始終無公共點”，

則兩圓內(nèi)含，即，

即恒成立，

即，

由基本不等式有，

故，所以，

即，也即，

解得.

故答案為：.

【分析】先求得圓M的圓心和半徑，根據(jù)兩個圓內(nèi)含的條件列不等式，解不等式即可求得a的取值范圍.

四、解答題

18．（2023·浙江模擬）已知函數(shù)

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】（1）解：化簡得，所以

（2）解：由于，故，，

解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

【知識點】兩角和與差的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）利用降次公式和輔助角公式化簡，由此求得的值；

（2）根據(jù)絕對值符號對三角函數(shù)單調(diào)性的影響列不等式，解不等式求得的單調(diào)遞增區(qū)間.

19．（2023·浙江模擬）如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，點E，F(xiàn)分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.

（1）若平面平面，求證：.

（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明：因為，平面PC，平面PCD，

所以平面PCD.又因為平面PAB，平面平面，所以.

（2）解：連接PE.

因為，

所以，

則

設(shè)，則.

因為A，E，Q，F(xiàn)四點共面，

所以，解得，則.

取AD的中點O，連接OC，OP，由題意可得OC，OD，OP兩兩垂直

如圖，建立空間直角坐標系，

設(shè)，則，，，.

所以，.

設(shè)平面PCD的一個法向量為，

則，令，得，即，

所以，

所以.

【知識點】直線與平面平行的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角

【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，即可證明；

（2）先根據(jù)四點共面，結(jié)合向量的線性運算，求得，建立空間直角坐標系，利用直線AQ的方向向量和平