26九月20231.2.應(yīng)用舉例解三角形的應(yīng)用解三角形問題是三角學(xué)的根本問題之一。什么是三角學(xué)？三角學(xué)來自希臘文“三角形〞和“測(cè)量〞。最初的理解是解三角形的計(jì)算，后來，三角學(xué)才被看作包括三角函數(shù)和解三角形兩局部?jī)?nèi)容的一門數(shù)學(xué)分學(xué)科。

解三角形的方法在度量工件、測(cè)量距離和高度及工程建筑等生產(chǎn)實(shí)際中，有廣泛的應(yīng)用，在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計(jì)算也要用到解三角形的方法。我國(guó)古代很早就有測(cè)量方面的知識(shí)，公元一世紀(jì)的?周髀算經(jīng)?里，已有關(guān)于平面測(cè)量的記載，公元三世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在計(jì)算圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形的邊長(zhǎng)時(shí)，就已經(jīng)取得了某些特殊角的正弦……正弦定理余弦定理（R為三角形的外接圓半徑）ABCacb解三角形理論

在實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語(yǔ)1.仰角、俯角、視角?！?〕.當(dāng)視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線所成角叫仰角?！?〕.當(dāng)視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線所成角叫俯角?！?〕.由一點(diǎn)出發(fā)的兩條視線所夾的角叫視角?！惨话氵@兩條視線過被觀察物的兩端點(diǎn)〕水平線視線視線仰角俯角2.方向角、方位角?！?〕.方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于900的水平角叫方向角?！?〕.方位角：指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角叫方位角。東西北南600300450200ABCD點(diǎn)A在北偏東600，方位角600.點(diǎn)B在北偏西300，方位角3300.點(diǎn)C在南偏西450，方位角2250.點(diǎn)D在南偏東200，方位角1600.3.水平距離、垂直距離、坡面距離。水平距離垂直距離坡面距離坡度〔坡度比〕i:垂直距離/水平距離坡角α:tanα=垂直距離/水平距離αABC問題一：測(cè)量距離問題〔1〕：有一點(diǎn)可到達(dá)解三角形解三角形的應(yīng)用----實(shí)地測(cè)量舉例想一想：例1：

如何測(cè)定河兩岸兩點(diǎn)A、B間的距離？AB解三角形解三角形的應(yīng)用----實(shí)地測(cè)量舉例想一想：

如何測(cè)定河兩岸兩點(diǎn)A、B間的距離？ABαβC在B的同一側(cè)選定一點(diǎn)C解三角形解三角形的應(yīng)用----實(shí)地測(cè)量舉例想一想：

如何測(cè)定河兩岸兩點(diǎn)A、B間的距離？ABαβCABαβC55簡(jiǎn)解:由正弦定理可得AB/sinα=BC/sinA

55假設(shè)BC=55,∠α=510,α∠β=750,求AB的長(zhǎng).問題一：測(cè)量距離問題〔2〕：兩點(diǎn)都不可到達(dá)解斜三角形解三角形的應(yīng)用---實(shí)地測(cè)量舉例例2、

如何測(cè)定河對(duì)岸兩點(diǎn)A、B間的距離？ABD如圖在河這邊取一點(diǎn)D，構(gòu)造三角形ABD，能否求出AB?為什么？？解斜三角形解三角形的應(yīng)用----實(shí)地測(cè)量舉例例2、

為了測(cè)定河對(duì)岸兩點(diǎn)A、B間的距離，在岸邊選定a公里長(zhǎng)的基線CD，并測(cè)得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，求A、B兩點(diǎn)的距離.ABDCABDCa公里分析：在四邊形ABCD中欲求AB長(zhǎng)，只能去解三角形，與AB聯(lián)系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB?！螧CA=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，αβγδ練習(xí)1.一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行。在A處看燈塔S在船的北偏東20o的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65o的方向，距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行平安區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？練習(xí)2．如圖，自動(dòng)卸貨汽車采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長(zhǎng)度〔如圖〕．車廂的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為，AC長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算BC的長(zhǎng)〔保存三個(gè)有效數(shù)字〕．〔1〕什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度

（2）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角形？在△ABC中什么，要求什么？BACD抽象數(shù)學(xué)模型CAB練習(xí)2:已知△ABC的兩邊AB＝1.95m，AC＝1.40m，夾角A＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：頂桿BC約長(zhǎng)1.89m。

B(B0)CA(A0)圖1CBAB0A0圖2c練習(xí)3：下圖是曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖。當(dāng)曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)曲柄在位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在

處。設(shè)連桿AB長(zhǎng)為cm,曲柄CB長(zhǎng)為60cm,曲柄自按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60o，求活塞移動(dòng)的距離。解：A0AB0BC60o60練習(xí)3總結(jié)實(shí)際問題抽象概括示意圖數(shù)學(xué)模型推理演算數(shù)學(xué)模型的解實(shí)際問題的解還原說明問題二：測(cè)量高度問題〔1〕：底部不可以到達(dá)問題二：測(cè)量高度問題〔2〕：底部可以到達(dá)問題三：測(cè)量角度問題例5:我海軍艦艇在A處得悉某漁船發(fā)出的求救信號(hào)后,立即測(cè)出該漁船在方位角(指由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角)為,距離A為10海里的C處,并測(cè)得漁船正沿方位角的方向以9海里/時(shí)速度向某島P靠攏,我海軍艦艇立即以21海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救,試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)?并求出靠近漁船所用時(shí)間。北北BCA解：練習(xí)：

解：如圖，在△ABC中由余弦定理得：A1我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/小時(shí)的速度航行．問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？CB∴我艦的追擊速度為14nmile/h又在△ABC中由正弦定理得：故我艦行的方向?yàn)楸逼珫|練習(xí)2：如以下圖，半圓的直徑AB=2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC=1，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)。以PC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC的面積的最大值。CPDOAB解：1、解決應(yīng)用題的思想方法是什么？2、解決應(yīng)用題的步驟是什么？實(shí)際問題數(shù)學(xué)問