基于首次穿越模型的概率攝動法多參數(shù)響應(yīng)模型

在設(shè)計結(jié)構(gòu)中，由于制造和安裝誤差的原因，描述結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機性。結(jié)構(gòu)動態(tài)方程的函數(shù)參數(shù)（如質(zhì)量矩陣）是隨機參數(shù)的函數(shù)。同時,由于載荷動態(tài)特性、結(jié)構(gòu)幾何非線性等因素的影響,使得對這類具有隨機參數(shù)動態(tài)非線性隨機結(jié)構(gòu)的分析設(shè)計遠比靜態(tài)結(jié)構(gòu)要復(fù)雜得多。近年來隨機結(jié)構(gòu)的分析研究取得了長足進展,文獻基于概率密度演化思想,討論了非線性系統(tǒng)隨機響應(yīng)的概率分布狀況。文獻應(yīng)用虛擬激勵法、精細積分法,研究了結(jié)構(gòu)隨機激勵下的響應(yīng)問題。此外,應(yīng)用概率攝動方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和區(qū)間分析方法等,對隨機非線性系統(tǒng)響應(yīng)問題均獲得了較為滿意的結(jié)果。Monte-Carlo隨機模擬技術(shù)能夠?qū)﹄S機結(jié)構(gòu)響應(yīng)問題獲得近似精確解,但隨著求解結(jié)構(gòu)規(guī)模的增大,其計算所耗費的人力物力是驚人的。工程系統(tǒng)可靠性(失效概率)的計算和評估是結(jié)構(gòu)安全性設(shè)計過程中非常重要的一環(huán)。自從Freuenthal在國際上發(fā)表“結(jié)構(gòu)的安全度”一文以來,可靠性理論與實踐取得了驚人的發(fā)展和推廣。合理的考慮系統(tǒng)中各個結(jié)構(gòu)(單元)間失效的相關(guān)性是非常重要的,如果處理不當會帶來很大誤差甚至使計算結(jié)果失去實際意義?？陀^而真實的考慮系統(tǒng)響應(yīng)之間的相關(guān)性,是進行結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計的必然要求。然而目前無論是理論分析還是實際結(jié)構(gòu)設(shè)計,非線性隨機振動系統(tǒng)失效模式間動態(tài)相關(guān)性的討論還處于初級階段,較少有成果發(fā)表。然而工程實際中非線性隨機振動系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用和失效相關(guān)性的普遍存在,因此有必要對失效模式間動態(tài)相關(guān)性問題進行探討。本文基于結(jié)構(gòu)破壞的首次穿越模型,應(yīng)用隨機結(jié)構(gòu)分析的概率攝動法確定系統(tǒng)響應(yīng)及失效模式之間動態(tài)相關(guān)性。數(shù)值算例中分別對單自由度隨機非線性系統(tǒng)位移和速度共同失效狀態(tài)下,以及多自由度系統(tǒng)多層位移共同失效狀態(tài)下的不同失效模式間動態(tài)相關(guān)系數(shù)的確定問題進行探討。計算表明,隨機非線性系統(tǒng)不同位移之間、位移與速度之間均存在相關(guān)性。系統(tǒng)不同失效模式間具有相關(guān)性,并且在考察的大部分狀態(tài)下,這種相關(guān)性具有動態(tài)、強相關(guān)等特點。數(shù)值算例中,本文方法所得結(jié)果應(yīng)用了Monte-Carlo隨機模擬進行驗證,均較好吻合,表明了本文方法是能夠滿足工程計算要求的,從而為非線性隨機振動系統(tǒng)不同失效模式間動態(tài)相關(guān)系數(shù)的確定提供方法參考。1系統(tǒng)響應(yīng)方差和協(xié)方差的估計與求解多自由度非線性隨機振動系統(tǒng)動力微分方程為其中M為系統(tǒng)質(zhì)量陣,f為廣義內(nèi)力向量,F為外激勵向量,X為系統(tǒng)響應(yīng),上標“·”代表其對時間t的導(dǎo)數(shù)。r=(rij)s×t為表征結(jié)構(gòu)隨機特性的s×t階隨機參數(shù)矩陣,其中每個元素的統(tǒng)計特性是已知的。若考慮向量A(p×1)為隨機參數(shù)矩陣B(s×t)的函數(shù)。為推導(dǎo)非線性隨機振動系統(tǒng)的隨機響應(yīng)矩陣表達式,做如下定義。為矩陣B均值,為矩陣B關(guān)于均值的一階偏量,為二階偏量,為向量A在矩陣B均值處的函數(shù)值。因此A在處的二階Taylor展開式為:式中cs(B)為矩陣B的列拉直運算,d[cs(B)]=εΔcs(B),ε為小參數(shù),Δ微分算子,;為d[cs(B)]的二階Kronecker冪,符號代表Kronecker積;矩陣導(dǎo)數(shù)定義為對于方程(1)兩邊各項在隨機參數(shù)矩陣r均值處做Taylor級數(shù)展開,取到二階項有這里C和K分別為系統(tǒng)的阻尼矩陣和剛度矩陣,定義為將方程(5)～方程(7)代入方程(1)中,按照小參數(shù)ε的階次整理方程兩邊,得到與方程(1)具有同種形式的零階方程、一階方程和二階方程為零階方程(ε0階)一階方程(ε1階)其中二階方程(ε2階)其中由方程(3)～方程(4),可求得系統(tǒng)各階隨機響應(yīng)的均值、協(xié)方差分別為其中,和為位移、速度、加速度向量的靈敏度矩陣。由矩陣理論,可分別寫為:可見,求得了系統(tǒng)響應(yīng)的靈敏度矩陣,就可以獲得動力響應(yīng)的協(xié)方差矩陣。在求取動力響應(yīng)的方差和協(xié)方差時,這里只涉及響應(yīng)的一階靈敏度,這給解決工程實際問題帶來了相當?shù)姆奖?。因?系統(tǒng)響應(yīng)方差和協(xié)方差的精度是一階的,均值響應(yīng)為二階的。依據(jù)以上推導(dǎo)過程,發(fā)展了國際上通用的隨機有限元法,得到了2D矩陣值函數(shù)的概率攝動法。2失效模式可靠性狀態(tài)方程n維曲面本構(gòu)模型基于首次穿越模式系統(tǒng)可靠性分析問題定義為式中X=[X1,X2,…,Xn]T為隨機響應(yīng)向量,A=[A1,A2,…,An]T為X向量的門檻值向量。這里隨機響應(yīng)可以包含系統(tǒng)位移、速度和加速度等。g(A,X)為狀態(tài)函數(shù),表征系統(tǒng)的安全與失效極限狀態(tài)方程g(A,X)=0為一n維曲面,代表失敗曲面。根據(jù)系統(tǒng)考察不同極限狀態(tài),可以進行多種系統(tǒng)可靠性問題研究,如位移可靠性、速度可靠性、加速度可靠性、穩(wěn)定性可靠性等。由此極限狀態(tài)方程可根據(jù)可靠性研究的具體形式具體化為一方程組其中g(shù)i(Ai,Xi)為第i階系統(tǒng)失效模式可靠性狀態(tài)方程。通常,可以認為響應(yīng)向量X與門檻值向量A為相互獨立的隨機向量。由概率理論可求得極限狀態(tài)方程均值、方差為定義向量Y=[X1,X2,…,Xn,A1,A2,…,An]T為門檻值向量及響應(yīng)向量組成的2n×1維列向量。由概率攝動法確定極限狀態(tài)方程協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)為由以上數(shù)學(xué)推導(dǎo)即可確定系統(tǒng)失效模式之間動態(tài)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),從而可以對隨機系統(tǒng)進行失效模式間的相關(guān)性分析。3計算值的示例3.1初始條件及振動微分方程單自由度隨機非線性系統(tǒng)受水平簡諧激勵F(t)=30sin(10t)(N),模型如圖1所示,其中m=1kg、c=0.5N·s/cm、k=10N/cm、位移門檻值Dm=1.25cm、速度門檻值Vm=6.25cm/s,并且彈簧恢復(fù)力含有位移三次方項。模型參數(shù)為分析僅具有數(shù)學(xué)意義,如果考慮實際情況,可賦予其實際參數(shù)值?？疾熨|(zhì)量塊位移和速度以不超過各自門檻值為安全,試用本方法確定失效模式間相關(guān)性。系統(tǒng)振動微分方程為其中取小參數(shù)ε=0.5。初始條件x(0)=0,。選取質(zhì)量m、阻尼c、剛度k、位移門檻值Dm和速度門檻值Vm為一組變異系數(shù)0.05相互獨立的正態(tài)隨機變量,應(yīng)用本文方法求取系統(tǒng)位移和速度相關(guān)系數(shù)以及位移速度失效模式間相關(guān)系數(shù)如下。3.2位移響應(yīng)及振動方程考慮二層剛架結(jié)構(gòu),假設(shè)各層支柱只提供彎曲剛度,不計質(zhì)量;而質(zhì)量塊認為只具有質(zhì)量,不具有剛度。系統(tǒng)受力情況如圖4所示,只考慮各層水平方向運動。m1-3.7kg,m2-1.5kg為確定性常量;隨機彈性剛度k1和k2分別是變異系數(shù)為0.01正態(tài)隨機變量,均值分別為45×106N/cm和45×106N/cm。系統(tǒng)失效模式取為位移首次穿越失效,即一層位移超過門檻值A(chǔ)th1為一層失效,二層位移超過門檻值A(chǔ)th2為二層失效。隨機各層門檻值A(chǔ)th1和Ath2也為服從變異系數(shù)為0.01的正態(tài)隨機變量,均值分別為1.2cm和2.1cm。隨機參數(shù)矩陣r=[k1,k2]T。系統(tǒng)振動微分方程為初始條件為,X(0)=0。其中應(yīng)用微分方程變步長四階五級Runge-Kutta數(shù)值算法,求解上面各階方程。對非線性系統(tǒng)(ε=0.5),求取兩層位移響應(yīng)之間以及各層位移與速度之間相關(guān)系數(shù)曲線,并與Monte-Carlo模擬結(jié)果對比如下。由極限狀態(tài)方程(29),計算兩位移失效模式協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)曲線如圖8～圖9所示3.3非線性振動系統(tǒng)失效模式相關(guān)性分析首先,由圖2、圖5～圖7,由于非線性因素及隨機因素的影響,雖然選取描述系統(tǒng)隨機特性的參數(shù)相互獨立,但是系統(tǒng)位移之間、位移與速度之間不再獨立,具有相關(guān)性;并且系統(tǒng)響應(yīng)之間相關(guān)系數(shù)不唯一,具有隨時間變化的動態(tài)特點,在考察時間段內(nèi)的許多情形中,系統(tǒng)響應(yīng)相關(guān)程度表現(xiàn)為強相關(guān)(|ρ(t)|≥0.66)。因此,就非線性隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言,響應(yīng)的相關(guān)性是普遍存在的;這種相關(guān)性表現(xiàn)出具有動態(tài)、強相關(guān)等特點。其次,由圖3以及圖8～圖9表明:系統(tǒng)不同失效模式間存在協(xié)方差,不同失效模式間具有相關(guān)性。失效模式的獨立僅在相關(guān)系數(shù)曲線過渡過程中的某些離散時刻成立,可以認為失效模式在整個考察期限內(nèi)是相關(guān)的;并且在大多數(shù)情況下,失效模式之間的相關(guān)性表現(xiàn)為中等相關(guān)或強相關(guān),相關(guān)失效是隨機非線性振動系統(tǒng)失效的主要模式。應(yīng)用matlab軟件編寫數(shù)值算例計算程序,對于算例1,本文數(shù)值算法所用時間為0.7077s,Monte-Carlo隨機模擬所用時間為285.1879s;算例2中,本文數(shù)值算法與Monte-Carlo隨機模擬所用時間分別為0.9324s和515.6945s;通過結(jié)果對比可知,本文數(shù)值算法在保證工程計算求解精度的前提下,節(jié)約了大量計算資源(文中算例隨機樣本數(shù)均為2000個)。4數(shù)值結(jié)果與分析本文基于結(jié)構(gòu)破壞的首次穿越模型,應(yīng)用隨機結(jié)構(gòu)分析概率攝動法確定系統(tǒng)響應(yīng)及系統(tǒng)不同失效模式之間動態(tài)相關(guān)性。數(shù)值算例中分別對單自由度隨機非線性系統(tǒng)位移和速度共同失效狀態(tài),以及多自由度隨機非線性系統(tǒng)多層位移共同失效狀態(tài)下不同失效模式間動態(tài)相關(guān)系數(shù)的確定問題進行探討。計算表明,隨機非線性系統(tǒng)不同