皰工巧解牛知識?巧學(xué)一、向量的加法求任意兩個向量和的運算，叫做向量的加法，兩個向量的和仍是向量.由于向量是自由平移的對兩個向量進(jìn)行求和的過程，可按以下兩個法則進(jìn)行.已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點A，作=a，=b，則向量叫做向量a、b的和，記作a+b，即a+b=+=.(1)利用向量加法的三角形法則求兩個向量的和如圖2-2-1(1)、(2)、(3)中，=a，=b，則+=.圖2-2-1圖2-2-1的(1)、(2)、(3)中各有兩個向量，只要把其中一個向量的起點平移，使之與第二個向量的終點重合，則從第一個向量的起點指向第二個向量終點的向量，就是兩個向量的和向量.(2)向量加法的三角形法則適用的范圍及應(yīng)用①三角形法則對于兩個向量共線時也適用.對于零向量，課本規(guī)定a+0=0+a=a(a≠0)，我們可利用三角形法則，通過幾何作圖法作出a+0,0+a,a，觀察結(jié)果，去認(rèn)識規(guī)定的合理性.圖2-2-2②任何一個向量均可以寫成兩個任意向量之和，只要注意到這個向量的起點、終點即可，如：=+，如圖2-2-2所示，這里的O點具有任意性.學(xué)法一得對于首尾相連的兩個向量的和，等于以第一個向量的起點為起點，以第二個向量的終點為終點的向量，這就是向量加法的三角形法則的幾何意義.記憶要訣不管平面內(nèi)的點O選在何處，對于首尾相連的兩個向量的和向量，它的方向總是由第一個向量的起點指向第二個向量的終點.二、平行四邊形法則a、b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線就是a與b的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.圖2-2-32.用向量加法的平行四邊形法則求兩個向量的和時要注意以下幾點：(1)當(dāng)兩個向量共線時，不能用平行四邊形法則求和，因為不可能以兩平行向量為鄰邊作平行四邊形，所以，平行四邊形法則對于兩個向量共線時是不適用的.(2)用向量加法的平行四邊形法則求兩個向量的和時，可在空間任取一點O，使兩個向量的起點同時移到點O上去，也可把其中一個向量的起點移到另一個向量的起點上去，再作和.學(xué)法一得以從同一點O出發(fā)的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則從公共點O出發(fā)的對角線表示的向量就是兩個向量的和，這就是向量加法的平行四邊形法則的幾何意義.三、向量加法的交換律和結(jié)合律先看看求兩個向量和時,兩個向量相加的次序能否交換.圖2-2-4a、b,如圖2-2-4所示，作=a，=b，如果A、B、C不共線，則=a+b.再看看b+a等于什么?作=b，連結(jié)，如果我們能證明=a，那么也就證明了加法交換律成立.由作圖可知，==b，所以四邊形ABCD是平行四邊形(為什么?)，這就證明了=a，即加法交換律成立.圖2-2-5如圖2-2-5，作=a，=b,=c，由向量加法的定義，知=+=a+b,=+=b+c,所以=+=(a+b)+c,=+=a+(b+c),從而(a+b)+c=a+(b+c)，即向量的加法滿足結(jié)合律.學(xué)法一得與實數(shù)的運算相類比，向量也滿足交換律和結(jié)合律，利用向量的運算律，可有效地簡化向量的運算.四、向量加法的多邊形法則由兩個向量加法的定義可知，兩個向量的和仍是一個向量，這樣我們就能把三個、四個或任意多個(有限)向量相加.現(xiàn)以四個向量為例說明，如圖2-2-6.圖2-2-6已知向量a、b、c、d，在平面上任選一點O，作=a，=b，=c，=d，則=+++=a+b+c+d.已知n個向量，依次把這n個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第n個向量的終點為終點的向量叫做這n個向量的和向量.這個法則叫做向量求和的多邊形法則.當(dāng)首尾順次相接的向量構(gòu)成封閉的向量鏈時，其中各向量的和就是0.記憶要訣n個向量首尾順次相連，首起為起，終終為終點的向量叫做n個向量的和向量.典題?熱題知識點一向量加法的三角形法則例1某人先位移向量a：“向東走3km”，接著再位移向量b：“向北走3km”，求a+b.解：如圖2-2-7所示，適當(dāng)選取比例尺，作圖2-2-7=a=“向東3km”，=b=“向北3km”，=+=a+b.因為△ABC為直角三角形，所以||=(km).又∠AOB=45°，所以a+b表示向東北走km.例2用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖2-2-8如圖2-2-8，已知四邊形ABCD，對角線AC與BD交于點O，且AO=OC，DO=OB.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.思路分析：要證明四邊形是平行四邊形，只要證明某一組對邊平行且相等即可.由相等向量的意義可知，只需證明其一組對邊對應(yīng)的向量是相等向量.解：由已知得=，=.∵=+=+=，且A、D、B、C不在同一直線上.故四邊形ABCD是平行四邊形.例3輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40nmile(海里)到達(dá)B處，再由B處沿正北方向行駛40nmile到達(dá)C處.求此時輪船與A港的相對位置.思路分析：如圖2-2-9，設(shè)、分別表示輪船發(fā)生的位移，輪船到達(dá)C處可由確定，則=+.圖2-2-9解：設(shè)、分別表示輪船的兩次位移，則表示輪船的合位移，=+.在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，||=40nmile，所以||=20nmile，||=203nmile.在Rt△ADC中，∠ADC=90°，||=60nmile，所以||=nmile.因為||=2||，所以∠CAD=60°.答：輪船此時位于A港東偏北60°，且距A港nmile的C處.方法歸納向量的模可通過勾股定理求解，方向可通過銳角的三角函數(shù)的定義求解.知識點二平行四邊形法則例4已知正方形的邊長為1，=a，=b,=c，試作向量a+b+c.解：如圖2-2-10,由已知得a+b=+=，又=c，所以延長AC至E，使||=||，則a+b+c=，||=.圖2-2-10例5兩個力F1和F2同時作用在一個物體上，其中F1=40N，方向向東，F(xiàn)2=30N，方向向北，求它們的合力.解：如圖2-2-11所示，表示F1，表示F2.以、為鄰邊作OACB，則表示合力F.圖2-2-11在Rt△OAC中，||=40N，||=||=30N.由勾股定理，得F=||=(N).設(shè)合力F與力F1的夾角為θ，則tanθ==0.75.所以θ≈37°.答：合力大小為50N，方向向東偏北37°.知識點三和向量的模例6若||=8,||=5,則|的取值范圍是()A.［3,8］B.(3,8)C.［3.13］D.(3,13)思路分析：∵=,當(dāng)、同向時，||=85=3;當(dāng)、反向時，||=8+5=13；當(dāng)、不共線時，3≤||≤13.答案：C例7下列命題①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必與a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有++=0；③若++=0，則A、B、C為一個三角形的三個頂點；④若a、b均為非零向量，則|a+b|與|a|+|b|一定相等.其中真命題的個數(shù)為()A.0B.1思路分析：a+b=0時，命題不成立.②真命題.③假命題.當(dāng)A、B、C三點共線時也可以有++=0.a與b同向時，相等，其他情況均為|a+b|>|a|+|b|.答案：B方法歸納(1)當(dāng)向量a、b共線且同向時，|a+b|=|a|+|b|；(2)當(dāng)向量a、b共線且反向時，若|a|>|b|，則|a+b|=|a||b|；若|a|<|b|，則|a+b|=|b||a|.因為三角形中兩邊之和大于第三邊，由向量加法的幾何意義不難知道，當(dāng)a與b不共線時，恒有|a+b|<|a|+|b|，即兩個向量和的長度小于兩個向量長度之和.在一般情況下，有|a+b|≤|a|+|b|.問題?探究方案設(shè)計探究問題課堂上老師布置作兩個向量的和，同學(xué)們選擇的始點通常都是不相同的，那么選擇不同的始點作出的向量都相等嗎？或許你會認(rèn)為，這還需要理由嗎，這是“顯然”成立的.到底這種“顯然”是否正確，你能否設(shè)計一個方案邏輯地說明這個問題？探究思路：如圖2-2-12，在平面內(nèi)任取一點A，以A為始點依次作向量=a，=b，連結(jié)向量，則由三角形法則知=a+b.再任取一點A′,以A′為始點依次作向量=a，=b，連結(jié)向量.圖2-2-12由于==a，故四邊形AA′B′B為平行四邊形，則AA′∥BB′且AA′=BB′.由==b，則四邊形BB′C′C為平行四邊形，則BB′∥CC′且BB′=CC′.所以AA′∥CC′且AA′=CC′,即四邊形AA′C′C為平行四邊形.則AC∥A′C′且AC=A′C′.又與方向相同，所以=.探究結(jié)論：選擇不同的始點作出的向量和都相等.于是你所認(rèn)為的“顯然”是非常正確的，你的直覺沒有欺騙你.思想方法探究問題如果已知五個四邊形ACPH，AMBE，AHBT，BMHK，CKXP都是平行四邊形(所有四邊形的頂點按同一方向排列)，那么四邊形ABTE也是平行四邊形，你能證