1材料力學2023年10月5日第六章彎曲變形23§6.1工程中的彎曲變形問題

對梁除了有強度要求外，還有剛度要求。

大多數(shù)情況下，要求梁的變形不能過大；一些特殊情況下，要利用彎曲變形?！?.2撓曲線的微分方程

求解靜不定問題需要計算梁的變形。

撓曲線梁的軸線變形后的曲線。對稱彎曲時，是一條平面曲線。4§6.2撓曲線的微分方程1基本概念梁的軸線變形后的曲線。對稱彎曲時，是一條平面曲線。

彎曲變形的度量

撓度橫截面形心沿y方向的位移，用v表示。

撓曲線5

撓度橫截面形心沿y方向的位移，用v表示。

轉(zhuǎn)角變形后，橫截面相對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度。用

表示。轉(zhuǎn)角

以逆時針為正。

撓曲線方程轉(zhuǎn)角即為撓曲線在該點的切線與x軸的夾角。62撓曲線的微分方程上一章中，已得到：忽略剪力對變形的影響時，梁對稱彎曲時的曲率為

由高等數(shù)學公式7這就是撓曲線的微分方程。8

撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下，

方程中正負號的確定9

撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下，

方程中正負號的確定所以方程中應取正號。10

撓曲線的近似微分方程在小變形的情況下，

方程中正負號的確定方程中應取正號。轉(zhuǎn)角:注意:撓曲線的近似微分方程僅適用于小變形的

平面彎曲問題。11§6.3用積分法求彎曲變形撓曲線近似微分方程積分一次，得再積分一次，得其中，C、D為積分常數(shù)

邊界條件，由邊界條件確定。12

邊界條件幾種典型的邊界條件

簡支梁

懸臂梁

連續(xù)條件

彎曲變形的對稱點處在撓曲線的任意點處，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。13

梁的剛度條件

連續(xù)條件在撓曲線的任意點處，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。D點和C點的連續(xù)條件各為什么？D點：C點：

中間鉸處，撓度連續(xù)，轉(zhuǎn)角不連續(xù)。14例

已知：簡支梁受集中力作用。解：求：轉(zhuǎn)角和撓曲線方程。(1)求支反力，列彎矩方程

支反力

彎矩方程AC段：15(1)求支反力，列彎矩方程

彎矩方程AC段：CB段：(2)列近似微分方程，積分AC段：16(2)列近似微分方程，積分AC段：CB段：17(3)確定積分常數(shù)

連續(xù)條件

邊界條件時,時,代入相應的方程，得:18

邊界條件時,時,代入相應的方程，得:將求得的積分常數(shù)代回方程，得:AC段：CB段：19將求得的積分常數(shù)代回方程，得:AC段：CB段：(4)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度20(4)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度

最大轉(zhuǎn)角由圖，最大轉(zhuǎn)角可能發(fā)生在A點或B點。

最大撓度21

最大撓度經(jīng)分析，最大撓度發(fā)生在AC段。令：經(jīng)討論知，不論P力作用在何處，最大撓度總發(fā)生在中點附近(或中點)。所以可近似地以中點的撓度作為最大撓度。22§6.4用疊加法求彎曲變形

疊加法在線彈性小變形的條件下，得到撓曲線近似這是一個線性的常微分方程。微分方程在第四章中，證明了在小變形的條件下，彎矩與外載荷成線性關(guān)系，可用疊加法求彎矩圖。設(shè)：23這是一個線性的常微分方程。撓曲線近似微分方程設(shè)：則共同作用時：24則共同作用時：即：共同作用下的撓度等于分別在M1(x)、M2(x)單獨作用下的撓度的代數(shù)和。綜合以上討論得到：在線彈性小變形的條件下，外載荷與撓度(力與位移)成線性關(guān)系，可用疊加法計算梁的撓度。25

疊加法的基礎(chǔ)特別是：1、2、3、

4、5、6

。熟悉簡單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。見教材p.188

表6.1

。

疊加法的兩種類型(1)載荷疊加法 將載荷分解為幾個簡單載荷，分別求解后， 進行疊加；(2)變形疊加法 在內(nèi)力不變的前提下，將梁分解(或剛化)為 幾段，求出各段的變形，然后進行疊加。26例3

已知：q,

l,EI

=常數(shù)。解：求：vC,

B。分解為三個簡單載荷。27

由表7.1

中的5

由表7.1

中的628

由表7.1

中的5

由表7.1

中的429

由表6.1

中的8

由表7.1

中的630

由表7.1

中的6

疊加31例4

已知：q,

l,EI

=常數(shù)。解：求：vC,

C。表中沒有對應的情況。方法：湊成表中相應的情況。再分為兩種載荷。

由表7.1

中的332再分為兩種載荷。

由表7.1

中的3

由表7.1

中的333

由表7.1

中的3

注意，變形后

BC為直線。34所以35例5

已知：P,l,EI,EA。解：求：vE

。(1)將剛架看成是剛體則AB相當于簡(2)剛架變形支梁。

思路36(1)將剛架看成是剛體則AB相當于簡(2)剛架變形支梁。

求vB(3)CD看成剛體(4)BC看成剛體37

求vB(3)CD看成剛體(4)BC看成剛體

具體計算

對BC，由表7.1中的1

CD的壓縮變形38

具體計算

對BC，由表7.1中的1

CD的壓縮變形

CD的彎曲變形，由表7.1中的2所以，39

CD的彎曲變形，由表7.1中的2所以，

對簡支梁AB,又:由表7.1中的440

對簡支梁AB,

又:由表7.1中的441§6.5簡單靜不定梁

本節(jié)討論簡單靜不定梁的求解。

例子車床上被加工的工件。計算簡圖如圖是一次靜不定問題。

基本概念

靜定基42

基本概念

靜定基將靜不定系統(tǒng)中的多余約束解除后，得到的“靜定基本系統(tǒng)”。

相當系統(tǒng)在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，便得到受力和變形與靜不定系統(tǒng)完全相同的“相當系統(tǒng)”。

本例中

解除B處可 動支座約束， 得到靜定基。43

解除B處可動支座約束，得到靜定基。

在靜定基上加上P和RB,得到相當系統(tǒng)。PRB

求B點撓度用疊加法44

在靜定基上加上P和RB,得到相當系統(tǒng)。PRB

變形協(xié)調(diào)條件

求B點撓度用疊加法

具體計算B點撓度45

變形協(xié)調(diào)條件

具體計算B點撓度由表6.1中的3由表6.1中的2代入變形協(xié)調(diào)條件，可解出求出RB后，就可象求解靜定梁一樣求解了。46§6.6提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的措施：

梁的撓曲線微分方程為1改善結(jié)構(gòu)形式， 減小彎矩值471改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩值

縮小跨度或增加約束梁受集中力作用時，撓度與跨度(l)的三次方成正比。2選擇合理的截面形狀

彈性模