第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖北省荊州市沙市中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分別是(

)A.110，110 B.310，15 C.15，32.已知{a,b,A.a+b，b+c，a?c

B.a+2b，b，a+c

C.23.已知兩個向量a=(2,?1,3A.1 B.2 C.4 D.84.已知向量a=(23,0,2)A.(3,0,3) B.5.如圖，元件Ai(i=1,2,3,4)通過電流的概率均為A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.98916.同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記事件A=“點數(shù)之和為7”，事件B=“點數(shù)之和為3的倍數(shù)”，則(

)A.A+B為不可能事件 B.A與B為互斥事件

C.AB為必然事件 D.A7.袋子里裝有形狀大小完全相同的4個小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球上數(shù)字是1”，B表示事件“第二次取出的球上數(shù)字是2”，C表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是5”，D表示事件“兩次取出的球上數(shù)字之和是6”，通過計算，則可以得出(

)A.B與D相互獨立 B.A與D相互獨立 C.B與C相互獨立 D.C與D相互獨立8.在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將△DA.5π B.4π C.5π二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是(

)A.若空間中的O，A，B，C滿足OC=13OA+23OB，則A，B，C三點共線

B.空間中三個向量a，b，c，若a//b，則a，b，c共面

C.對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA+10.已知空間向量m=(?1,2A.當(dāng)m⊥n時，x=3 B.當(dāng)m//n時，x=?8

C.11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點O為底面ABA.D1O⊥AC

B.存在一點P，使得D1O//B1P

C.三棱錐

12.已知長方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB=AD=

A.當(dāng)λ=1，γ=0時，P到A1D1的距離為3

B.當(dāng)μ=1時，點P到平面BDD1B1的距離的最大值為1

C.當(dāng)λ=0，三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外的任意一點，若點P在平面ABC內(nèi)，且OP=114.如圖，在二面角α?l?β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB

15.如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB

16.中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=5，E四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足a+c=b(3sinA+cosA)．

(18.(本小題12.0分)

某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(119.(本小題12.0分)

為了普及垃圾分類知識，某校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為q(p>q)，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響，已知每題甲、乙兩人同時答對的概率為12、恰有一人答對的概率為512．

(1)求p和20.(本小題12.0分)

我省從2021年開始，高考不分文理科，實行“3+1+2”模式．其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必選科目，“1”指的是考生在物理、歷史2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門再選科目中選擇2門．已知福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)生物至少1門．

(1)從所有選科組合中任意選取121.(本小題12.0分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點．

22.(本小題12.0分)

如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，M是線段AD上的一動點，將△ABM沿著BM折起，使點A到達點A′的位置，滿足點A′?平面BCDM且點A′在平面BCDM內(nèi)的射影E落在線段BC上．

(1)當(dāng)點M與端點D重合時，證明：答案和解析1.【答案】A

【解析】解：在抽樣過程中，個體a每一次被抽中的概率是相等的，

∵總體容量為10，

故個體a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均為110，

故選：A．

在抽樣過程中，個體a每一次被抽中的概率是相等的，結(jié)合已知中的總體容量，可得答案．

2.【答案】B

【解析】解：對于ACD，∵a+b=(b+c)+(a?c)，a+b+c=12(2a+b)+12(b+2c)，a+c=123.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了空間向量共線定理、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

由a//b，則存在實數(shù)k【解答】

解：∵a//b，

∴存在實數(shù)k使得a=kb，

∴2=4k?1=km4.【答案】A

【解析】解：由于向量a=(23,0,2)，向量b=(12,0,5.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關(guān)系，屬于中檔題．

求出電流不能通過A1、A2，且也不能通過A3的概率，用1減去此概率，即得電流能通過系統(tǒng)A1、A2、A3的概率．再根據(jù)電流能通過A4【解答】

解：電流能通過A1、A2，的概率為0.9×0.9=0.81，電流能通過A3的概率為0.9，

故電流不能通過A1、A2，且也不能通過A3的概率為(1?0.81)(1?0.9)=0.019，

故電流能通過系統(tǒng)A1、A26.【答案】B

【解析】解：同時拋擲兩顆骰子，有36個結(jié)果，

事件A=“點數(shù)之和為7”，包括：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，

事件B=“點數(shù)之和為3的倍數(shù)”，包括：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)7.【答案】C

【解析】解：由題意得，P(A)=14,P(B)=12，P(C)=44×4=14，P(D)=34×4=316，

對于A，P(BD)=116≠P(B)×P(8.【答案】C

【解析】解：如圖所示，

當(dāng)平面

ABC⊥平面DAC時，三棱錐體積最大，

取AC中點E，連接BE，DE，由條件知BE⊥DE，

設(shè)O1，O2分別為△ABC，△ADC的外心，過O1作平面ABC的垂線m，過O2作平面ADC的垂線n，

則m，n9.【答案】AB【解析】解：對于A，根據(jù)向量的線性運算，若空間中的O，A，B，C滿足OC=13OA+23OB，則A，B，C三點共線，故A正確，

對于B，因為a//b，則a,b共線，則根據(jù)共面向量的定義可得，a，b，c共面，故B正確，

對于C，對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA+2022OB?2023OC10.【答案】BC【解析】解：若m⊥n，?1×2+2×(?4)+4x=0，∴x=52，

若m//n，(?1,11.【答案】AC【解析】解：對于A，連接AD1，CD1，由正方體的性質(zhì)得△ACD1是等邊三角形，

∵O為底面ABCD的中心，故為AC中點，故AC⊥D1O，故A正確；

對于B，將D1O進行平移到過B1點，使之與B1P具有公共頂點，

根據(jù)立體圖象判斷，無論如何也不可能滿足B1H平行或重合于B1P，

∴D1O不可能平行于B1H，故B錯誤；

對于C，由平面BB1C1C//平面ADD1A1，

得三棱錐A?D1DP的體積為：

VA?D1DP=VC?ADD1=13×S△ADD1×DC=13×12×2×2×2=43，故C正確；

如圖，當(dāng)點P在C處時，D1O⊥OC，當(dāng)點P在B1B的中點P1時，

12.【答案】CD【解析】解：A．AP=AB+μAD=AB+μBC，μ∈[0,1]，

∴點P在BC上，∵A1D1//BC，∴P到A1D1的距離為A1B=22+12=5，故A錯誤．

B.當(dāng)μ=1時，AP=λAB+AD+γAA1=AD+λDC+γDD1，λ、γ∈[0,1]，即AP?AD=λAB+γDD1，即DP=λAB+γDD1，λ、γ∈[0,1]，

∴點P在平面CDD1C1上，

則當(dāng)P位于CC1上，P到平面BDD113.【答案】215【解析】解：法一：因為點P在平面ABC內(nèi)，點O在平面ABC外，

所以由共面向量基本定理知，15+23+m=1，解得m=215．

法二：因為OP=15OA+23OB+mOC，

所以O(shè)P=O14.【答案】120°【解析】解：設(shè)二面角α?l?β的大小為θ，且AC⊥l，BD⊥l，

所以<AC，BD>=θ，

所以CD2=(?AC+AB+BD)2=A15.【答案】?1【解析】解：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

因為AE?平面PAB，所以BC⊥AE，

因為AE⊥PB，BC∩PB=B，BC，PB?平面PBC，

所以AE⊥平面16.【答案】20π【解析】解：鱉臑P?ADE可以看成如圖所示的長方體的一部分：

則長方體的外接球即為鱉臑P?ADE的外接球，

又∵鱉臑P?ADE的外接球的體積為92π，

∴鱉臑P?ADE的外接球的半徑R=322，

∴12ED2+AD2+PA2=322，∴PA17.【答案】解：(1)因為a+c=b(3sinA+cosA)，

由正弦定理可得sinA+sinC=sinB(3sinA+cosA)，

即sinA+sin(A+B)【解析】(1)根據(jù)正弦定理、輔助角公式等知識化簡已知條件，從而求得B．

(2)利用三角形ABC的面積求得18.【答案】解：(1)設(shè)這20人的平均年齡為x?，

則x?=(20+252×0.01+25+302×0.07+30+352×0.06+35+402×0.04+40+452×0.02)×5=32.25，

設(shè)第80百分位數(shù)為a，由5×0.02+(【解析】(1)由平均值的求法可得平均數(shù)；

(2)由題意可得第四組，第五組的平均數(shù)及方差，可得第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為z?19.【答案】解：(1)設(shè)A=“甲同學(xué)答對第一題”，B=“乙同學(xué)答對第一題”，P(A)=p，P(B)=q．

設(shè)C=“A∩B”，D=(A∩B?)∪(A?∩B)．

因為甲乙兩人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，

所以A與B相互獨立，A∩B?與A?∩B互斥，

所以P(C)=P(A∩B)【解析】(1)根據(jù)相互獨立事件的乘法公式列式求解即可；

(2)分別求得甲2道、乙1道，甲20.【答案】解：(1)用a，b分別表示“選擇物理”，“選擇歷史”，

用c，d，e，f分別表示“選擇化學(xué)”，“選擇生物”，“選擇政治”，“選擇地理”，

則所有選科組合的樣本空間為：

Ω={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bcf,bde,bdf,bef}，

∴n(Ω)=12，

設(shè)M=“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，

則【解析】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)用a，b分別表示“選擇物理”，“選擇歷史”，用c，d，e，f分別表示“選擇化學(xué)”，“選擇生物”，“選擇政治”，“選擇地理”，利用列舉法能求出該選科組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率．

(2)設(shè)甲、乙、丙每人選擇的組合符合福建醫(yī)科大學(xué)臨床類招生選科要求分別是事件N1，N2，N3，由題意知事件N1，N221.【答案】證明：(1)由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．

因為E為BC的中點，所以AE⊥BC

又BC//AD，因此AE⊥AD

因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE

而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A

所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD

所以AE⊥PD.(3分)

解：(2)設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH．

由(1)知AE⊥平面PAD

所以∠EHA為EH與平面PAD所成的角

在Rt△EAH中，AE=3，

所以當(dāng)AH最短時，∠EHA最大，即當(dāng)AH⊥PD時，∠EHA最大．

因為sin∠EHA=155，此時tan∠EHA=AEAH=3AH=62

因此AH=2.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.(5分)

解法一：因為PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC