銀行排隊(duì)問題的數(shù)學(xué)建模

（一）銀行的排他性隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，現(xiàn)代金融已經(jīng)成為社會(huì)經(jīng)濟(jì)體制中不可或缺的一部分。作為金融領(lǐng)域的主體，銀行已經(jīng)成為中國現(xiàn)代生活最密切相關(guān)的服務(wù)體系。銀行的運(yùn)營效率已成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。但是，目前去銀行辦事，大家最頭疼的是排隊(duì)問題。而各家銀行為減少排隊(duì)等候時(shí)間也是八仙過海、招數(shù)頻出，甚至將顧客等候時(shí)間列入銀行相關(guān)管理人員的責(zé)任考核指標(biāo)。盡管這樣，銀行的排隊(duì)問題依然沒有很好解決。實(shí)際上，銀行的排隊(duì)問題蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、行為學(xué)、管理學(xué)等學(xué)科的知識(shí)理論，絕不是看上去的那么簡(jiǎn)單。一般地，銀行的排隊(duì)問題是由顧客數(shù)量，服務(wù)水平和服務(wù)窗口數(shù)量等因素綜合決定，服務(wù)水平可通過銀行內(nèi)部管理實(shí)現(xiàn)，顧客多，要減少排隊(duì)等候時(shí)間就要增加服務(wù)窗口，就要增加投入，而增加窗口有可能出現(xiàn)空閑，又浪費(fèi)資源。因此，解決銀行排隊(duì)問題就是要盡可能地找到一個(gè)平衡點(diǎn)，使三者達(dá)到最佳的平衡狀態(tài)。（二）顧客流量服務(wù)服務(wù)構(gòu)銀行排隊(duì)問題作為排隊(duì)系統(tǒng)，其基本結(jié)構(gòu)由輸入過程（顧客流量）、服務(wù)時(shí)間（業(yè)務(wù)辦理時(shí)間）、服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)窗口設(shè)置）和排隊(duì)規(guī)則等四個(gè)部分構(gòu)成。1.顧客的泊松分布見圖1顧客流量是指單位時(shí)間內(nèi)到銀行辦理業(yè)務(wù)的顧客數(shù)。顧客到達(dá)的方式通常是一個(gè)一個(gè)到達(dá)的，當(dāng)然也有成批到達(dá)的，但顧客的到達(dá)總是有一定的規(guī)律。根據(jù)概率理論，顧客的到達(dá)規(guī)律可以用概率來描述，即顧客的到達(dá)或到達(dá)時(shí)間間隔符合一定的概率分布，通常假設(shè)為相互獨(dú)立且遵從同一概率分布的隨機(jī)變量。常用的分布規(guī)律有：泊松分布、愛爾朗分布、等長(zhǎng)分布等。在排隊(duì)系統(tǒng)中，泊松分布是應(yīng)用最為廣泛的，服從泊松分布過程的到達(dá)被認(rèn)為是隨機(jī)到達(dá)，當(dāng)顧客以泊松分布到達(dá)時(shí)，顧客在各個(gè)時(shí)刻到達(dá)的可能性相同并與其它顧客的到達(dá)無關(guān)。服從泊松分布要求滿足4個(gè)條件：平穩(wěn)性、無后效性、普通性、有限性。即：(1)平穩(wěn)性：在某一時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)概率只與這段時(shí)間的長(zhǎng)度和顧客數(shù)有關(guān)；(2)無后效性：不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的；(3)普通性：在同時(shí)間點(diǎn)上最多到達(dá)1個(gè)顧客，不存在同時(shí)到達(dá)2個(gè)以上顧客的情況；(4)有限性：在有限的時(shí)間區(qū)間內(nèi)只能到達(dá)有限位顧客，不可能有無限個(gè)顧客到達(dá)。可見，在銀行的排隊(duì)問題中，顧客流量可以說是滿足泊松分布條件的，在實(shí)際系統(tǒng)模型中，一般都要假設(shè)顧客的到達(dá)是服從泊松分布的，實(shí)踐證明：這種假設(shè)是有效的。泊松分布函數(shù)為：即在時(shí)間T內(nèi)有k位顧客到達(dá)的概率為：其中，λT是在時(shí)間T內(nèi)顧客到達(dá)的平均顧客數(shù)，λ為平均到達(dá)速率。2.顧客接收點(diǎn)的時(shí)間分布銀行對(duì)顧客是一個(gè)一個(gè)進(jìn)行服務(wù)的，且對(duì)每一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間長(zhǎng)短不一。將服務(wù)時(shí)間看作隨機(jī)變量，那么它們是相互獨(dú)立且遵循同一分布的。因此，顧客接受服務(wù)的時(shí)間規(guī)律往往也是通過概率分布描述的。常見的服務(wù)時(shí)間分布有定長(zhǎng)分布、負(fù)指數(shù)分布和愛爾朗分布。一般來說，簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間往往服從負(fù)指數(shù)分布。其分布函數(shù)為：其中μ>0為常數(shù)，代表單位時(shí)間內(nèi)的平均服務(wù)率。則平均服務(wù)時(shí)間可表示為：1/μ。3.服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)是指服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)。其類型有：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)、多服務(wù)臺(tái)；對(duì)銀行排隊(duì)系統(tǒng)來說，一般是屬于多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)。如圖1示。4.服務(wù)窗口的分配銀行的排隊(duì)規(guī)則是一種“先到先服務(wù)（First-ComeFirst-Served,即FCFS）”的規(guī)則，即先到達(dá)的顧客，優(yōu)先得到服務(wù)。對(duì)多臺(tái)服務(wù)窗口的情況，通常顧客到達(dá)后總是排在最短的隊(duì)列后面，所以我們可以認(rèn)為每個(gè)服務(wù)臺(tái)的隊(duì)伍是趨于一樣長(zhǎng)的，目前，許多銀行設(shè)立了排隊(duì)機(jī)，這種情況也是一致的。為了說明問題，我們首先認(rèn)為銀行的排隊(duì)是一種無損等待制，即顧客到達(dá)后服務(wù)窗口無空閑時(shí)就進(jìn)入隊(duì)列排隊(duì)，并沒從系統(tǒng)中流失，隊(duì)列沒有無故損失。（三）主要性能指標(biāo)數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問題中各因素及其之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)形式表示出來，將銀行排隊(duì)問題建立數(shù)學(xué)模型就是把排隊(duì)問題中的各個(gè)變量符號(hào)化，并對(duì)問題的基本結(jié)構(gòu)模型化。從前面的分析知，銀行的排隊(duì)問題的基本數(shù)學(xué)模型可表示為M|M|C模型。M|M|C模型表示輸入過程（顧客到達(dá)）為泊松輸入、服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布、共有C個(gè)服務(wù)窗口的排隊(duì)系統(tǒng)模型。該模型的主要數(shù)量指標(biāo)用符號(hào)可表示為：Ls：表示系統(tǒng)中的顧客數(shù)，包括排隊(duì)等候的和正在接受服務(wù)的所有顧客（也稱為平均隊(duì)長(zhǎng)）；Lq：表示系統(tǒng)中排隊(duì)等候的顧客數(shù)（稱為平均隊(duì)列長(zhǎng)）Tq：表示顧客在系統(tǒng)中的平均等待時(shí)間(即平均排隊(duì)等待時(shí)間)；Ts：表示顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間(包括等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間)；λ：表示顧客的平均到達(dá)率（稱為顧客到達(dá)速率）；μ：表示系統(tǒng)的平均服務(wù)率（即服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)速率）；ρ：表示服務(wù)強(qiáng)度,其值為有效的平均到達(dá)率λ與平均服務(wù)率μ之比,即ρ=λ/μ。說明：前四項(xiàng)主要性能指標(biāo)(又稱主要工作指標(biāo))的值越小，說明系統(tǒng)排隊(duì)越少，等待時(shí)間越少，因而系統(tǒng)性能越好。顯然，它們是顧客與服務(wù)部門都很關(guān)注的，顧客希望等待時(shí)間和隊(duì)列長(zhǎng)越短越好，當(dāng)然對(duì)服務(wù)員來說，服務(wù)強(qiáng)度越小越好。（四）pnt驅(qū)動(dòng)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型求解就是利用數(shù)學(xué)方法對(duì)模型中的各個(gè)變量進(jìn)行計(jì)算，得出模型中重要變量的計(jì)算表達(dá)式，對(duì)模型的定量研究提供依據(jù)。首先討論C=1時(shí)的情況，此時(shí)模型變?yōu)镸|M|1，即模型表示只有一個(gè)服務(wù)窗口的情況，此時(shí)ρ=λ/μ,當(dāng)ρ<1時(shí)，即在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客平均數(shù)小于被服務(wù)完的顧客平均數(shù)時(shí)，隊(duì)長(zhǎng)才能避免無限增長(zhǎng)而達(dá)到平衡。設(shè)在任意時(shí)刻t系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率為Pn(t)。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后,Pn(t)趨于穩(wěn)定狀態(tài)概率Pn，此時(shí),Pn與t無關(guān)，稱系統(tǒng)處于統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，并稱Pn為統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)概率，它表示系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下有n個(gè)顧客的概率，此時(shí)Pn=(1-ρ)ρn，特別地P0=1-ρ(ρ<1)。由以上分析并利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)我們得到如下表達(dá)式：(1）處在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)(平均隊(duì)長(zhǎng))Ls為：(2）處在隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)(平均隊(duì)列長(zhǎng))Lq(3）顧客在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間Ts和在隊(duì)列中的平均等待時(shí)間Tq分別為：其次，當(dāng)C≥2時(shí)，我們?cè)O(shè)每個(gè)服務(wù)窗口的平均服務(wù)率相同，即都是μ，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的平均服務(wù)率為Cμ，則服務(wù)強(qiáng)度ρ=λ/Cμ.當(dāng)ρ<1時(shí)，系統(tǒng)存在平衡狀態(tài)，此時(shí)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻顧客數(shù)為n的概率為:Pn=P{N=n}；特別當(dāng)n=0時(shí)，Pn即P0,P0表示穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務(wù)臺(tái)全部空閑(因系統(tǒng)中顧客數(shù)為0)的概率。根據(jù)排隊(duì)理論及概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，可得：此時(shí)，模型的性能指標(biāo)如下：(1）平均隊(duì)列長(zhǎng)Lq為:(2）平均隊(duì)長(zhǎng)Ls為:Ls=Lq+Cρ.(3）顧客在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間(4）顧客在隊(duì)列中平均等待時(shí)間根據(jù)以上各表達(dá)式知，只要知道系統(tǒng)中顧客的平均到達(dá)速率λ和平均服務(wù)速率μ，我們就可以計(jì)算出系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間和顧客排隊(duì)的平均等待時(shí)間，從而可根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置窗口數(shù)量，提高服務(wù)質(zhì)量，做出相應(yīng)的決策，使銀行服務(wù)系統(tǒng)達(dá)到最佳的平衡狀態(tài)。（五）本地窗口窗口的服務(wù)率系統(tǒng)模型的檢驗(yàn)就是利用實(shí)際采樣的具體數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬，并對(duì)模型是否符合實(shí)際問題進(jìn)行分析，明確系統(tǒng)的實(shí)用性，從而對(duì)實(shí)際問題做出定性分析。我在本地的某銀行營業(yè)廳進(jìn)行觀察，并采樣了數(shù)據(jù)，得數(shù)據(jù)樣本如下表：可得該營業(yè)廳的平均到達(dá)率是：λ=0.475（人/分鐘）。通過一段時(shí)間的數(shù)據(jù)采樣及統(tǒng)計(jì)，計(jì)算均值得到該營業(yè)廳的每個(gè)窗口的平均服務(wù)率是：μ=15（人/每小時(shí)），即μ=0.25(人/分鐘)。下面我們暫不說該服務(wù)廳目前設(shè)立的窗口有多少個(gè)，我們根據(jù)前面得到的模型進(jìn)行模擬：分別假設(shè)服務(wù)窗口為1、2、3、4系統(tǒng)正常工作時(shí)間當(dāng)C=1時(shí)，即只有開一個(gè)窗口，這時(shí)ρ=λ/μ=0.475/0.25=1.9>1，可見系統(tǒng)不會(huì)平衡，排隊(duì)的人會(huì)越來越多，排隊(duì)等候的時(shí)間也越來越多，按每天8小時(shí)工作制算，會(huì)有108人無法辦理業(yè)務(wù)。當(dāng)C=2時(shí)，ρ=λ/2μ=0.475/2*0.25=0.95<1，系統(tǒng)存在穩(wěn)定狀態(tài)。此時(shí)系統(tǒng)各項(xiàng)指標(biāo)計(jì)算如下(以下數(shù)據(jù)計(jì)算過程均取小數(shù)點(diǎn)后4位有效數(shù)字)：1.服務(wù)窗空閑概率為：2.平均排隊(duì)人數(shù)：3.總?cè)藬?shù)為：Ls=Lq+Cρ=17.5590+2*0.95=19.4590≈19(人)；4.隊(duì)列等待時(shí)間如下所示5.滿足一個(gè)服務(wù)窗口可見，該營業(yè)廳如果設(shè)兩個(gè)服務(wù)窗口，平均約有17人排隊(duì)等候，排隊(duì)等待時(shí)間約37分鐘，排隊(duì)問題較為嚴(yán)重!當(dāng)C=3時(shí)，可得：ρ=λ/3μ=0.475/3*0.25=0.6333<1，同理可得：P0=0.1278;Lq=0.6618(人)；Ls=2.5618(人)；Tq=1.3933(分);Ts=5.3933(分)。當(dāng)C=4時(shí)，ρ=λ/4μ=0.475/4*0.25=0.4750<1，同理可得：P0=0.1453;Lq=0.1360(人)；Ls=2.0360(人)；Tq=0.2863(分);Ts=4.2863(分)。可見，設(shè)三個(gè)服務(wù)窗口，排隊(duì)人數(shù)接近1人，等候時(shí)間不到兩分鐘，不存在長(zhǎng)排隊(duì)現(xiàn)象；設(shè)四個(gè)服務(wù)窗口，減少排隊(duì)人數(shù)0.6618-0.1360=0.5258(人)，考慮投入成本，開四個(gè)服務(wù)窗是不合算的。因此，該銀行服務(wù)廳開設(shè)三個(gè)窗是最為合理的。目前該服務(wù)廳開設(shè)的服務(wù)窗口為三個(gè)，不存在排隊(duì)問題，實(shí)際情況與上述模型得到的結(jié)論是一致的。（六）排斥時(shí)間、投入成本及顧客流失的關(guān)系通過對(duì)以上基于銀行排隊(duì)問題的M|M|C模型的實(shí)際應(yīng)用，我們認(rèn)為該模型解決銀行排隊(duì)問題是有效的，它可為銀行服務(wù)窗口的設(shè)置提供決策支持。當(dāng)然在實(shí)際應(yīng)用過程中還涉及成本投入、顧客流失等情況，對(duì)于顧客的流失問題，行為科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，排隊(duì)時(shí)間是影響客戶流失的一條主要原因。研究結(jié)果表明，等候超過10分鐘，情緒開始急躁，流失20%至30%的客戶；超過20分鐘，情緒表現(xiàn)厭煩；若超過40分鐘，常因惱火而離去。行為學(xué)家的這一研究