思維深化微課堂活用函數(shù)性質(zhì)中的三個“二級結(jié)論”類型一奇函數(shù)的最值性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)＝x+12+sinxx2+1的最大值為M[思維架橋]先對函數(shù)f(x)的解析式進行變形，得到f(x)＝1＋g(x)，其中g(shù)(x)是奇函數(shù)，且gxmin+gxmax＝0，那么f(x)min＋f(2解析：顯然函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝x+12+設(shè)g(x)＝2x+sinxx2+1，則g∴g(x)為奇函數(shù)．由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2+g已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.類型二抽象函數(shù)的周期性已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，有f(x＋3)＝－f(x)，且當x∈(0，3)時，f(x)＝x＋1，則f(－2023)＋f(2024)＝()A．3 B．2C．1 D．0[思維架橋]由f(x＋3)＝－f(x)，得f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期為6.再通過f(x)為奇函數(shù)可得f(－2023)＋f(2024)＝－f(2023)＋f(2024)＝－f(1)＋f(2)，得到答案．C解析：因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2023)＝－f(2023)．因為當x≥0時，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即當x≥0時，自變量的值每增加6，對應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次．又當x∈(0，3)時，f(x)＝x＋1，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2023)＋f(2024)＝－f(2023)＋3＝1.(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1fx(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T＝2(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期T＝2a.類型三抽象函數(shù)的對稱性(2022·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，g(2)＝4，則kf(k)＝()A．－21 B．－22C．－23 D．－24[思維架橋]由y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，推出g(2－x)＝g(x＋2)；在g(x)－f(x－4)＝7中用x＋2代換x，與f(x)＋g(2－x)＝5結(jié)合推出f(x)＋f(x－2)＝－2；在g(x)－f(x－4)＝7中用x＋4代換x，與f(x)＋g(2－x)＝5結(jié)合推出g(2－x)＋g(x＋4)＝12，進而推出函數(shù)y＝g(x)圖象的對稱性；依據(jù)以上信息可求值．D解析：因為y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以g(2－x)＝g(x＋2)，因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.因為f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因為g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因為f(x)＋g(2－x)＝5，聯(lián)立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的圖象關(guān)于點(3，6)中心對稱，因為函數(shù)g(x)的定義域為R，所以g(3)＝6.因為f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以

k=122fk

＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a+b2對稱．特別地，若f(a