PAGE微專題77定點定直線問題一、基礎(chǔ)知識：1、處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為SKIPIF1<0）（2）利用條件找到SKIPIF1<0與過定點的曲線SKIPIF1<0的聯(lián)系，得到有關(guān)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等式（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點SKIPIF1<0，使得無論SKIPIF1<0的值如何變化，等式恒成立。此時要將關(guān)于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等式進(jìn)行變形，直至易于找到SKIPIF1<0。常見的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含SKIPIF1<0的項歸在一組，變形為“SKIPIF1<0”的形式，從而SKIPIF1<0只需要先讓括號內(nèi)的部分為零即可②若等式為含SKIPIF1<0的分式，SKIPIF1<0的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關(guān)；或者考慮讓分子分母消去SKIPIF1<0的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）2、一些技巧與注意事項：（1）面對復(fù)雜問題時，可從特殊情況入手，以確定可能的定點（或定直線）。然后再驗證該點（或該直線）對一般情況是否符合。屬于“先猜再證”。（2）有些題目所求與定值無關(guān)，但是在條件中會隱藏定點，且該定點通常是解題的關(guān)鍵條件。所以當(dāng)遇到含參數(shù)的方程時，要清楚該方程為一類曲線（或直線），從而觀察這一類曲線是否過定點。尤其在含參數(shù)的直線方程中，要能夠找到定點，抓住關(guān)鍵條件。例如：直線SKIPIF1<0，就應(yīng)該能夠意識到SKIPIF1<0，進(jìn)而直線繞定點SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)二、典型例題：例1：橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其左焦點到點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點（SKIPIF1<0不是左右頂點），且以SKIPIF1<0為直徑的圓過橢圓SKIPIF1<0的右頂點。求證：直線SKIPIF1<0過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解：（1）SKIPIF1<0，設(shè)左焦點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0（2）由（1）可知橢圓右頂點SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓過SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①聯(lián)立直線與橢圓方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入到①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0為橢圓右頂點，不符題意，故舍去SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0例2：已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，且橢圓的離心率為SKIPIF1<0（1）求橢圓的方程（2）過橢圓的右焦點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，設(shè)線段SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0恒過一個定點解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率不存在時，SKIPIF1<0所以可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸當(dāng)SKIPIF1<0斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，直線方程對SKIPIF1<0均成立SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0而SKIPIF1<0斜率不存在時，直線SKIPIF1<0也過SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0例3：如圖，已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點為SKIPIF1<0，其上頂點為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程（2）過點SKIPIF1<0任作一動直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，記SKIPIF1<0，若在線段SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，試判斷當(dāng)直線SKIPIF1<0運動時，點SKIPIF1<0是否在某一定直線上運動？若在，請求出該定直線；若不在請說明理由解：（1）由橢圓方程可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0為邊長是2的三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）設(shè)SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0①聯(lián)立方程組SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入到①可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上例4：已知橢圓SKIPIF1<0的中心在坐標(biāo)原點，左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<0，以原點為中心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線SKIPIF1<0相切（1）求橢圓的方程（2）若直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0且與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的右頂點，直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0兩點，試問以線段SKIPIF1<0為直徑的圓是否過SKIPIF1<0軸上的定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由解：（1）SKIPIF1<0因為圓與直線相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓方程為：SKIPIF1<0（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)SKIPIF1<0，由橢圓方程可得點SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，分別令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0軸上的定點為SKIPIF1<0若SKIPIF1<0為直徑的圓是否過SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0問題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0恒成立即SKIPIF1<0①由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入到①可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0圓過定點SKIPIF1<0當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為直徑的圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0所以以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過SKIPIF1<0軸上定點SKIPIF1<0例5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，離心率為SKIPIF1<0的橢圓SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，過原點SKIPIF1<0的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0兩點，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）試問以SKIPIF1<0為直徑的圓是否過定點（與SKIPIF1<0的斜率無關(guān)）？請證明你的結(jié)論解：（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0由對稱性可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）設(shè)SKIPIF1<0由對稱性可知SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與橢圓方程：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0圓方程為：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0所以令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓恒過SKIPIF1<0例6：已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線SKIPIF1<0相切，過點SKIPIF1<0且不垂直SKIPIF1<0軸的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程（2）若SKIPIF1<0點關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點是SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于定點解：（1）SKIPIF1<0已知圓方程為：SKIPIF1<0因為與直線相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0（2）設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0聯(lián)立方程可得：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0考慮直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于定點SKIPIF1<0例7：在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知橢圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，四個點SKIPIF1<0中有三個點在橢圓SKIPIF1<0上，剩余一個點在直線SKIPIF1<0上（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程（2）若動點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，過SKIPIF1<0作直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，使得SKIPIF1<0，再過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解：（1）因為四個點中有三點在橢圓上，由橢圓的對稱性可知：SKIPIF1<0必在橢圓上若SKIPIF1<0在橢圓上，則為橢圓的左頂點。但SKIPIF1<0，所以與SKIPIF1<0在橢圓上矛盾SKIPIF1<0在橢圓上SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0（2）依題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0共線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0在橢圓內(nèi)部設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中垂線設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，過SKIPIF1<0SKIPIF1<0無論SKIPIF1<0位于哪個位置，直線SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0例8：已知圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0（1）求動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程（2）過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的動直線SKIPIF1<0交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，在SKIPIF1<0軸上是否存在定點SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）由圖像可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0點的軌跡為以SKIPIF1<0為焦點的橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立可得：SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，因為以SKIPIF1<0為直徑的圓過SKIPIF1<0點SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入到①可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以只需：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以存在定點SKIPIF1<0例9：已知橢圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左頂點，下頂點和右焦點（1）點SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上位于第二象限的一點，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0（2）點SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上位于SKIPIF1<0軸右側(cè)的動點，且直線SKIPIF1<0的斜率是直線SKIPIF1<0斜率的2倍，求證：直線SKIPIF1<0恒過定點解：（1）由橢圓可得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在第二象限可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入圓方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0與橢圓方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入直線方程可得：SKIPIF1<