第三章(上)圖像頻域變換主要內(nèi)容：1，二維離散傅立葉變換2，快速傅立葉變換3，二維離散傅立葉變換的應(yīng)用4，離散余弦變換1第四章圖象增強(qiáng)人類視覺所感受到的圖像是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。但是，往往許多問題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面。例如，空間位置上的變化不改變信號(hào)的頻域特性。

問題的提出2第四章圖象增強(qiáng)首先，提出的變換必須是有好處的，換句話說，可以解決時(shí)域中解決不了的問題。

其次，變換必須是可逆的，可以通過逆變換還原回原時(shí)域中。

圖像變換的前提條件3第四章圖象增強(qiáng)因?yàn)閿?shù)字圖像信號(hào)是二維的數(shù)字信號(hào)，所以必須采用二維傅立葉變換才能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)圖像的頻域變換。相對(duì)而言，聲音是一維信號(hào)。1，二維離散傅立葉變換4第四章圖象增強(qiáng)二維離散Fourier變換設(shè)圖像大小為M*N，原圖為f(x,y)，其頻譜為，則：二維Fourier變換可以轉(zhuǎn)化為兩次一維Fourier變換。5第四章圖象增強(qiáng)二維離散Fourier反變換逆變換的系數(shù)不為1。6第四章圖象增強(qiáng)二維離散Fourier變換的作用可以得出信號(hào)在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。變換后還是一幅圖像，圖幅大小不變，系數(shù)發(fā)生改變新的系數(shù)表示各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。7第四章圖象增強(qiáng)圖像的Fourier變換結(jié)果

8第四章圖象增強(qiáng)Fourier變換示例9第四章圖象增強(qiáng)2，快速Fourier變換（FFT）快速Fourier變換的提出，是為了減少計(jì)算量?；舅枷胧牵页鯢ourier變換中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，按照其規(guī)律整理出適合計(jì)算機(jī)運(yùn)算的邏輯結(jié)構(gòu)。10第四章圖象增強(qiáng)FFT的算法原理首先，將原函數(shù)分為奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，再通過不斷的一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的相加（減），最終得到需要的結(jié)果。也就是說FFT是將復(fù)雜的運(yùn)算變成兩個(gè)數(shù)相加（減）的簡單運(yùn)算的重復(fù)。這恰好符合計(jì)算機(jī)計(jì)算所擅長的計(jì)算規(guī)律。11第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟1.先將數(shù)據(jù)進(jìn)行奇、偶分組。下標(biāo)為2x下標(biāo)為2x+112第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟分析偶數(shù)部分的數(shù)據(jù)項(xiàng)：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110如果下標(biāo)用二進(jìn)制數(shù)表示為：末尾一位是0。13第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟分析奇數(shù)部分的數(shù)據(jù)項(xiàng)：0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1111如果下標(biāo)用二進(jìn)制數(shù)表示為：末尾一位是1。14第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟二進(jìn)制數(shù)為：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110第一層下標(biāo)為：

024681012142.對(duì)偶數(shù)部分進(jìn)行分層分組排序因?yàn)槠鏀?shù)部分的數(shù)據(jù)項(xiàng)排列規(guī)律為2x+1，所以只需要給出偶數(shù)項(xiàng)部分，奇數(shù)項(xiàng)部分則可以類推。15第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟二進(jìn)制數(shù)為：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，11100246

1357

/2*2第一層下標(biāo)分組為：

0，4，8，12；2，6，10，14移位：000，001，010，011，100，101，110，111偶數(shù)組：000，010，100，110奇數(shù)組：001，011，101，11116第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟二進(jìn)制數(shù)為：0000，0100，1000，1100第二層下標(biāo)為：048120213/4*4第二層下標(biāo)分組為：

0，8；4，12；移位：00，01，10，11偶數(shù)組：00，10奇數(shù)組：01，1117第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟3.根據(jù)每層偶數(shù)組的排序方式，獲得奇數(shù)組的排序方式。因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的系數(shù)為f(2x)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為f(2x+1)，所以由第二層偶數(shù)排序：可以得到第一層偶數(shù)排序?yàn)椋?，8，

4，12；0，8，4，12，2，6，10，14；18第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟再根據(jù)第一層的偶數(shù)排序：獲得奇數(shù)項(xiàng)的排序?yàn)椋?，9，5，13，3，7，11，150，8，4，12，2，6，10，14；最后，獲得原始數(shù)據(jù)的排序?yàn)椋?9第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟4.進(jìn)行分層的奇、偶項(xiàng)相加。對(duì)排好序的數(shù)據(jù)項(xiàng)，進(jìn)行第一層計(jì)算有：8個(gè)數(shù)一組8個(gè)數(shù)一組20第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟對(duì)得到的偶數(shù)數(shù)據(jù)項(xiàng)，進(jìn)行第二層計(jì)算有：4個(gè)數(shù)一組4個(gè)數(shù)一組21第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟對(duì)得到的奇數(shù)數(shù)據(jù)項(xiàng)，進(jìn)行第二層計(jì)算有：4個(gè)數(shù)一組4個(gè)數(shù)一組22第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟對(duì)得到的偶數(shù)數(shù)據(jù)項(xiàng)，進(jìn)行第三層計(jì)算有：兩個(gè)數(shù)一組23第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟對(duì)得到的奇數(shù)數(shù)據(jù)項(xiàng)，進(jìn)行第三層計(jì)算有：兩個(gè)數(shù)一組24第四章圖象增強(qiáng)FFT算法步驟最后，將獲得的所有數(shù)據(jù)項(xiàng)進(jìn)行合并：25第四章圖象增強(qiáng)FFT變換蝶形圖26第四章圖象增強(qiáng)FFT算法圖示27第四章圖象增強(qiáng)一個(gè)FFT算例

設(shè)對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行快速Fourier變換，函數(shù)在采樣點(diǎn)上的值設(shè)為：28第四章圖象增強(qiáng)偶數(shù)項(xiàng)部分：下標(biāo)值分別為：000，010，100，110排序?yàn)椋?00,100,

010,110奇數(shù)項(xiàng)部分：下標(biāo)值分別為：001，011，101，111排序?yàn)椋?01,101,

011,11129第四章圖象增強(qiáng)分成偶數(shù)、奇數(shù)為（偶數(shù)在左，奇數(shù)在右）：30第四章圖象增強(qiáng)按照前面敘述的FFT方法,第1層(4組2個(gè)點(diǎn)的運(yùn)算)：偶數(shù)項(xiàng)部分奇數(shù)項(xiàng)部分31第四章圖象增強(qiáng)第2層偶數(shù)部分：第2層奇數(shù)部分：32第四章圖象增強(qiáng)第3層（1組8個(gè)點(diǎn)的運(yùn)算）：33第四章圖象增強(qiáng)3，二維Fourier變換的應(yīng)用Fourier變換的兩個(gè)好處可以獲得信號(hào)的頻域特性；可以將卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘積運(yùn)算。二維Fourier變換的應(yīng)用也是根據(jù)這兩個(gè)特點(diǎn)來進(jìn)行的。34第四章圖象增強(qiáng)應(yīng)用1：用于圖像濾波由于Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。35第四章圖象增強(qiáng)圖像的頻率特性

36第四章圖象增強(qiáng)Fourier變換的低通濾波示例37第四章圖象增強(qiáng)Fourier變換的高通濾波示例38第四章圖象增強(qiáng)應(yīng)用2：用于圖像壓縮變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值。在小波變換沒有提出時(shí)，用來進(jìn)行壓縮編碼?？紤]到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。39第四章圖象增強(qiáng)基于Fourier變換的壓縮示例另一幅圖像效果壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：140第四章圖象增強(qiáng)基于Fourier變換的壓縮示例壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：141第四章圖象增強(qiáng)應(yīng)用3：用于計(jì)算卷積從圖像處理算法原理知道，如果抽象來看，其實(shí)都可以認(rèn)為是圖像信息經(jīng)過了濾波器的濾波（如：平滑濾波、銳化濾波等）。如果濾波器的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，直接進(jìn)行時(shí)域中的卷積運(yùn)算是不可思議的。Fourier變換可以卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為點(diǎn)乘運(yùn)算，由此簡化運(yùn)算，提高計(jì)算速度。42第四章圖象增強(qiáng)

43第四章圖象增強(qiáng)4，離散余弦變換（DCT）Fourier變換的一個(gè)最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此