初中圓的根本性質(zhì)解答難題專練含詳細答案一．解答題〔共30小題〕1．〔2014?**〕如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．〔1〕求證：EF∥CG；〔2〕求點C，點A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影局部的面積．2．〔2014?〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．〔1〕求∠ACB的度數(shù)；〔2〕過點O作OF⊥AC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．3．〔2014?〕〔1〕問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為_________；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為_________．〔2〕拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=，假設(shè)點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．4．〔2014?〕如圖①，等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設(shè)AB=3*．〔1〕用*表示AD和CD；〔2〕用*表示S，并求S的最大值；〔3〕如圖②，當S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．5．〔2013?〕如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，OF⊥AC于點F，〔1〕請?zhí)剿鱋F和BC的關(guān)系并說明理由；〔2〕假設(shè)∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影局部的面積．〔結(jié)果保存π〕6．〔2013?〕：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點E、F，OF的延長線交⊙O于點D，且AE=BF，∠EOF=60°．〔1〕求證：△OEF是等邊三角形；〔2〕當AE=OE時，求陰影局部的面積．〔結(jié)果保存根號和π〕7．〔2013?〕〔1〕甲市共有三個郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：郊縣人數(shù)/萬人均耕地面積/公頃A200.15B50.20C100.18求甲市郊縣所有人口的人均耕地面積〔準確到0.01公頃〕；〔2〕先化簡下式，再求值：，其中，；〔3〕如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E，假設(shè)BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．8．〔2013?〕如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設(shè)DA=2．〔1〕求線段EC的長；〔2〕求圖中陰影局部的面積．9．〔2013?〕如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．參考公式：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．10．〔2013?〕如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．〔1〕如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為_________；〔2〕如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為_________；〔3〕如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點B，求弧D′D″的長．〔結(jié)果保存π〕11．〔2012?〕如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點〔不與點A、B重合〕OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．〔1〕當BC=1時，求線段OD的長；〔2〕在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；〔3〕設(shè)BD=*，△DOE的面積為y，求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．12．〔2012?〕，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．〔1〕求證：△ABD≌△CBE；〔2〕如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．13．〔2012?崇左〕如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．〔1〕求點D沿三條弧運動到點G所經(jīng)過的路線長；〔2〕判斷直線GB與DF的位置關(guān)系，并說明理由．14．〔2012?〕如圖，是數(shù)軸的一局部，其單位長度為a，△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．〔1〕用直尺和圓規(guī)作出△ABC〔要求：使點A，C在數(shù)軸上，保存作圖痕跡，不必寫出作法〕；〔2〕記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π．15．〔2012?〕在平面直角坐標系*Oy中，點A〔0，2〕，直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°〔如圖1〕，設(shè)點A關(guān)于直線OP的對稱點為B．〔1〕寫出點B的坐標；〔2〕過原點O的直線l從OP的位置開場，繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖1，當直線l順時針旋轉(zhuǎn)10°到l1的位置時，點A關(guān)于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數(shù)是_________，線段OC的長為_________；②如圖2，當直線l順時針旋轉(zhuǎn)55°到l2的位置時，點A關(guān)于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數(shù)是_________；③直線l順時針旋轉(zhuǎn)n°〔0＜n≤90〕，在這個運動過程中，點A關(guān)于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑長為_________〔用含n的代數(shù)式表示〕．16．〔2012?〕如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上，將△ABC向下平移4個單位、再向右平移3個單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B2C2．〔1〕在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A1B2C2；〔2〕計算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積〔重疊局部不重復(fù)計算〕17．〔2012?〕〔1〕如圖1，點E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE〔2〕如圖2，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形．①畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積〔結(jié)果保存π〕18．〔2011?〕如圖，在平面直角坐標系*Oy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C〔注：不含AB線段〕．A〔﹣1，0〕，B〔1，0〕，AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上．〔1〕求兩條射線AE，BF所在直線的距離；〔2〕當一次函數(shù)y=*+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值圍；當一次函數(shù)y=*+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值圍；〔3〕?AMPQ〔四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列〕的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標*的取值圍．19．〔2011?〕閱讀下面的情景對話，然后解答問題：〔1〕根據(jù)“奇異三角形〞的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形〞是真命題還是假命題？〔2〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，假設(shè)Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；〔3〕如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點〔不與點A、B重合〕，D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側(cè)，假設(shè)在⊙O存在點E，使AE=AD，CB=CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．20．〔2011?〕如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．〔1〕點N是線段BC的中點嗎？為什么？〔2〕假設(shè)圓環(huán)的寬度〔兩圓半徑之差〕為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．21．〔2011?〕如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．〔1〕證明：B、C、E三點共線；〔2〕假設(shè)M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；〔3〕將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜90°〕后，記為△D1CE1〔圖2〕，假設(shè)M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=OM1是否成立？假設(shè)是，請證明；假設(shè)不是，說明理由．22．〔2011?〕如圖①，小慧同學(xué)把一個正三角形紙片〔即△OAB〕放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點B1按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處〔即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2處〕．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中．頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進展類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O1處〔即點B處〕，點C運動到了點C1處，點B運動到了點B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，…．按上述方法經(jīng)過假設(shè)干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：問題①：假設(shè)正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點0經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；假設(shè)正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)．求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點0經(jīng)過的路程是？23．〔2010?崇左〕我市為了紀念龍州起義80周年，對紅八軍紀念廣場進展了改造，改造后安裝了八個石球．小明想知道其中一個球的半徑，于是找了兩塊厚10cm的磚塞在球的兩側(cè)〔如圖〕，并量得兩磚之間的距離是60cm．請你在圖中利用所學(xué)的幾何知識，求出石球的半徑〔要寫出計算過程〕．24．〔2010?〕正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．〔1〕如圖①，假設(shè)點E在上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；〔2〕在〔1〕的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE﹣BE=AE．請你說明理由；〔3〕如圖②，假設(shè)點E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關(guān)系．〔不必證明〕25．〔2010?〕如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為〔1，0〕，以O(shè)A為邊在第一象限作正方形OABC，點D是*軸正半軸上一動點〔OD＞1〕，連接BD，以BD為邊在第一象限作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．〔1〕試找出圖1中的一個損矩形；〔2〕試說明〔1〕中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；〔3〕隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發(fā)生變化？假設(shè)沒有發(fā)生變化，求出點N的坐標；假設(shè)發(fā)生變化，請說明理由；〔4〕在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，假設(shè)四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．26．〔2010?**〕圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD如下圖那樣疊放在一起，連接AC、BD．〔1〕求證：△AOC≌△BOD；〔2〕假設(shè)OA=3cm，OC=1cm，求陰影局部的面積．27．〔2009?永州〕問題探究：〔1〕如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．〔探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長〕；〔2〕如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；〔3〕如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．28．〔2009?〕問題探究〔1〕在圖①的半徑為R的半圓O〔含弧〕，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正三角形，并求出這個正三角形的面積？〔2〕在圖②的半徑為R的半圓O〔含弧〕，畫出一邊落在直徑MN上的面積最大的正方形，并求出這個正方形的面積？問題解決〔3〕如圖③，現(xiàn)有一塊半徑R=6的半圓形鋼板，是否可以裁出一邊落在MN上的面積最大的矩形？假設(shè)存在，請說明理由，并求出這個矩形的面積；假設(shè)不存在，說明理由？29．〔2009?〕如圖，AD是⊙O的直徑．〔1〕如圖①，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則∠B1的度數(shù)是_________°，∠B2的度數(shù)是_________°；〔2〕如圖②，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求∠B1，∠B2，∠B3的度數(shù)；〔3〕如圖③，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…，Bn把圓周2n等分，請你用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度數(shù)〔只需直接寫出答案〕．30．〔2009?〕如圖1至圖5，⊙O均作無滑動滾動，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點時刻的位置，⊙O的周長為c．閱讀理解：〔1〕如圖1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動到⊙O2的位置，當AB=c時，⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周；〔2〕如圖2，∠ABC相鄰的補角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動，在點B處，必須由⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置，⊙O繞點B旋轉(zhuǎn)的角∠O1BO2=n°，⊙O在點B處自轉(zhuǎn)周．實踐應(yīng)用：〔1〕在閱讀理解的〔1〕中，假設(shè)AB=2c，則⊙O自轉(zhuǎn)_________周；假設(shè)AB=l，則⊙O自轉(zhuǎn)_________周．在閱讀理解的〔2〕中，假設(shè)∠ABC=120°，則⊙O在點B處自轉(zhuǎn)_________周；假設(shè)∠ABC=60°，則⊙O在點B處自轉(zhuǎn)_________周；〔2〕如圖3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滾動到⊙O4的位置，⊙O自轉(zhuǎn)_________周．拓展聯(lián)想：〔1〕如圖4，△ABC的周長為l，⊙O從與AB相切于點D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請說明理由；〔2〕如圖5，多邊形的周長為l，⊙O從與*邊相切于點D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時針方向沿多邊形滾動，又回到與該邊相切于點D的位置，直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．初中圓的根本性質(zhì)解答難題專練含詳細答案參考答案與試題解析一．解答題〔共30小題〕1．〔2014?**〕如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG．〔1〕求證：EF∥CG；〔2〕求點C，點A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影局部的面積．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；扇形面積的計算．專題：幾何綜合題．分析：〔1〕根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得△ABF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據(jù)錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行證明；〔2〕求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據(jù)S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計算即可得解．解答：〔1〕證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；〔2〕解：∵AD=2，E是AB的中點，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S陰影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×〔1+2〕×1﹣，=﹣．點評：此題考察了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，扇形的面積計算，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．2．〔2014?〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．〔1〕求∠ACB的度數(shù)；〔2〕過點O作OF⊥AC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．考點：三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：幾何圖形問題．分析：〔1〕首先得出△AEB≌△DEC，進而得出△EBC為等邊三角形，即可得出答案；〔2〕由得出EF，BC的長，進而得出CM，BM的長，再求出AM的長，再由勾股定理求出AB的長．解答：〔1〕證明：在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC〔ASA〕，∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC為等邊三角形，∴∠ACB=60°；〔2〕解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵△EBC為等邊三角形，∴∠GEF=60°，∴∠EGF=30°，∵EG=2，∴EF=1，又∵AE=ED=3，∴CF=AF=4，∴AC=8，EC=5，∴BC=5，作BM⊥AC于點M，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=，BM==，∴AM=AC﹣CM=，∴AB==7．點評：此題主要考察了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出CM，BM的長是解題關(guān)鍵．3．〔2014?〕〔1〕問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為AD=BE．〔2〕拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〔3〕解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD=，假設(shè)點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．考點：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：綜合題；探究型．分析：〔1〕由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．〔2〕仿照〔1〕中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．〔3〕由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進展討論．然后，添加適當?shù)妮o助線，借助于〔2〕中的結(jié)論即可解決問題．解答：解：〔1〕①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE〔SAS〕．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．〔2〕∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2，∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE〔SAS〕．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．〔3〕∵PD=1，∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點P在以BD為直徑的圓上．∴點P是這兩圓的交點．①當點P在如圖3①所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵A、P、D、B四點共圓，∴∠APB=∠ADB=45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，∴由〔2〕中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴AH=．②當點P在如圖3②所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．∴=2AH﹣1．∴AH=．綜上所述：點A到BP的距離為或．點評：此題考察了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考察了運用已有的知識和經(jīng)歷解決問題的能力，是表達新課程理念的一道好題．而通過添加適當?shù)妮o助線從而能用〔2〕中的結(jié)論解決問題是解決第〔3〕的關(guān)鍵．4．〔2014?〕如圖①，等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設(shè)AB=3*．〔1〕用*表示AD和CD；〔2〕用*表示S，并求S的最大值；〔3〕如圖②，當S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．考點：圓的綜合題；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理．專題：綜合題．分析：〔1〕作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，易得四邊形AHGB為矩形，則HG=AB=3*，再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設(shè)DH=t，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=2t，AH=t，然后根據(jù)等腰梯形ABCD的周長為48得3*+2t+t+3*+t+2t=48，解得t=8﹣*，于是可得AD=18﹣2*，CD=16+*；〔2〕根據(jù)梯形的面積公式計算可得到S=﹣2*2+8*+64，再進展配方得S=﹣2〔*﹣2〕2+72，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解；〔3〕連結(jié)OA、OD，如圖②，由〔2〕得到*=2時，則AB=6，CD=18，等腰梯形的高為6，所以AE=3，DF=9，由于點E和點F分別是AB和CD的中點，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，所以EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根據(jù)垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設(shè)OE=a，則OF=6﹣a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在Rt△ODF中，利用勾股定理得〔6﹣a〕2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32=〔6﹣a〕2+92，解得a=5，最后利用R2=〔5〕2+32求解．解答：解：〔1〕作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，則四邊形AHGB為矩形，∴HG=AB=3*，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設(shè)DH=t，∵∠ADC=60°，∴∠DAH=30°，∴AD=2t，AH=t，∴BC=2t，CG=t，∵等腰梯形ABCD的周長為48，∴3*+2t+t+3*+t+2t=48，解得t=8﹣*，∴AD=2〔8﹣*〕=16﹣2*，CD=8﹣*+3*+8﹣*=16+*；〔2〕S=〔AB+CD〕?AH=〔3*+16+*〕?〔8﹣*〕=﹣2*2+8*+64，∵S=﹣2〔*﹣2〕2+72，∴當*=2時，S有最大值72；〔3〕連結(jié)OA、OD，如圖②，當*=2時，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高為×〔8﹣2〕=6，則AE=3，DF=9，∵點E和點F分別是AB和CD的中點，∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，∴EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設(shè)OE=a，則OF=6﹣a，在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=OA2，∴a2+32=R2，在Rt△ODF中，∵OF2+DF2=OD2，∴〔6﹣a〕2+92=R2，∴a2+32=〔6﹣a〕2+92，解得a=5，∴R2=〔5〕2+32=84，∴R=2．點評：此題考察了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論和等腰梯形的性質(zhì)；會運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；熟練運用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進展計算．5．〔2013?〕如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，OF⊥AC于點F，〔1〕請?zhí)剿鱋F和BC的關(guān)系并說明理由；〔2〕假設(shè)∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影局部的面積．〔結(jié)果保存π〕考點：垂徑定理；三角形中位線定理；圓周角定理；扇形面積的計算．分析：〔1〕先根據(jù)垂徑定理得出AF=CF，再根據(jù)AO=BO得出OF是△ABC的中位線，由三角形的中位線定理即可得出結(jié)論；〔2〕連接OC，由〔1〕知OF=，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AB及AC的長，根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOC的度數(shù)，根據(jù)S陰影=S扇形AOC﹣S△AOC即可得出結(jié)論．解答：解：〔1〕OF∥BC，OF=BC．理由：由垂徑定理得AF=CF．∵AO=BO，∴OF是△ABC的中位線．∴OF∥BC，OF=BC．〔2〕連接OC．由〔1〕知OF=．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵∠D=30°，∴∠A=30°．∴AB=2BC=2．∴AC=．∴S△AOC=×AC×OF=．∵∠AOC=120°，OA=1，∴S扇形AOC==．∴S陰影=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣．點評：此題考察的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．6．〔2013?〕：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點E、F，OF的延長線交⊙O于點D，且AE=BF，∠EOF=60°．〔1〕求證：△OEF是等邊三角形；〔2〕當AE=OE時，求陰影局部的面積．〔結(jié)果保存根號和π〕考點：垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算．分析：〔1〕作OC⊥AB于點C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根據(jù)AE=BF可知EC=FC，因為OC⊥EF，所以O(shè)E=OF，再由∠EOF=60°即可得出結(jié)論；〔2〕在等邊△OEF中，因為∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的長，根據(jù)S陰影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出結(jié)論．解答：〔1〕證明：作OC⊥AB于點C，∵OC⊥AB，∴AC=BC，∵AE=BF，∴EC=FC，∵OC⊥EF，∴OE=OF，∵∠EOF=60°，∴△OEF是等邊三角形；〔2〕解：∵在等邊△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°，∴∠AOF=90°，∵AO=10，∴OF=，∴S△AOF=××10=，S扇形AOD=×102=25π，∴S陰影=S扇形AOD﹣S△AOF=25π﹣．點評：此題考察的是垂徑定理，涉及到等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及扇形的面積等知識，難度適中．7．〔2013?〕〔1〕甲市共有三個郊縣，各郊縣的人數(shù)及人均耕地面積如表所示：郊縣人數(shù)/萬人均耕地面積/公頃A200.15B50.20C100.18求甲市郊縣所有人口的人均耕地面積〔準確到0.01公頃〕；〔2〕先化簡下式，再求值：，其中，；〔3〕如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E，假設(shè)BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．考點：圓周角定理；分式的化簡求值；等腰三角形的判定；加權(quán)平均數(shù)．分析：〔1〕求出總面積和總?cè)丝?，再相除即可；?〕先算加法，再化成最簡分式，再代入求出即可；〔3〕求出∠A=∠BCE=∠E，即可得出AD=DE．解答：解：〔1〕甲市郊縣所有人口的人均耕地面積是≈0.17〔公頃〕；〔2〕原式===*﹣y，當*=+1，y=2﹣2時，原式=+1﹣〔2﹣2〕=3﹣；〔3〕證明：∵A、D、C、B四點共圓，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即△ADE是等腰三角形．點評：此題考察了分式求值，四點共圓，等腰三角形的性質(zhì)和判定，求平均數(shù)等知識點的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理和計算能力．8．〔2013?〕如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設(shè)DA=2．〔1〕求線段EC的長；〔2〕求圖中陰影局部的面積．考點：扇形面積的計算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性質(zhì)．分析：〔1〕根據(jù)扇形的性質(zhì)得出AB=AE=4，進而利用勾股定理得出DE的長，即可得出答案；〔2〕利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠DEA=30°，進而求出圖中陰影局部的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．解答：解：〔1〕∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；〔2〕∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴圖中陰影局部的面積為：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB=﹣×2×2﹣=﹣2．點評：此題主要考察了扇形的面積計算以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)得出DE的長是解題關(guān)鍵．9．〔2013?〕如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．參考公式：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．考點：圓錐的計算．分析：設(shè)出圓錐的半徑與母線長，利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長得到圓錐的半徑與母線長，進而表示出母線與高的夾角的正弦值，也就求出了夾角的度數(shù)．解答：解：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則：πl(wèi)=2πr，∴l(xiāng)=2r，∴母線與高的夾角的正弦值==，∴母線AB與高AO的夾角30°．點評：此題主要考察了圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長；注意利用一個角相應(yīng)的三角函數(shù)值求得角的度數(shù)．10．〔2013?〕如圖①，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=．〔1〕如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的D′處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為；〔2〕如圖③，再將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，B′C′交AE于點F，則四邊形B′FED′的面積為﹣；〔3〕如圖④，將圖②中的△AED′繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α角，得△A′ED″，使得EA′恰好經(jīng)過頂點B，求弧D′D″的長．〔結(jié)果保存π〕考點：翻折變換〔折疊問題〕；矩形的性質(zhì)；弧長的計算．專題：探究型．分析：〔1〕先根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)得出AD′，D′E的長，再根據(jù)勾股定理求出AE的長即可；〔2〕由〔1〕知，AD′=，故可得出BD′的長，根據(jù)圖形反折變換的性質(zhì)可得出B′D′的長，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出B′F的長，根據(jù)梯形的面積公式即可得出結(jié)論；〔3〕先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BEC的度數(shù)，由翻折變換的性質(zhì)可得出∠DEA的度數(shù)，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧長公式即可得出結(jié)論．解答：解：〔1〕∵△ADE反折后與△AD′E重合，∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE===；〔2〕∵由〔1〕知AD′=，∴BD′=1，∵將四邊形BCED′沿D′E向左翻折，壓平后得四邊形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1，∵由〔1〕知AD′=AD=D′E=DE=，∴四邊形ADED′是正方形，∴B′F=AB′=﹣1，∴S梯形B′FED′=〔B′F+D′E〕?B′D′=〔﹣1+〕×1=﹣；故答案為：〔1〕；〔2〕﹣；〔3〕∵∠C=90°，BC=，EC=1，∴tan∠BEC==，∴∠BEC=60°，由翻折可知：∠DEA=45°，∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴==．點評：此題考察的是圖形的翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．〔2012?〕如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點〔不與點A、B重合〕OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．〔1〕當BC=1時，求線段OD的長；〔2〕在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；〔3〕設(shè)BD=*，△DOE的面積為y，求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．考點：垂徑定理；勾股定理；三角形中位線定理．專題：壓軸題；探究型．分析：〔1〕根據(jù)OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；〔2〕連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據(jù)D和E是中點可得出DE=；〔3〕由BD=*，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，DF=，EF=*即可得出結(jié)論．解答：解：〔1〕如圖〔1〕，∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；〔2〕如圖〔2〕，存在，DE是不變的．連接AB，則AB==2，∵D和E分別是線段BC和AC的中點，∴DE=AB=；〔3〕如圖〔3〕，連接OC，∵BD=*，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE．∴DF==，由〔2〕DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF?OE=??=，〔0＜*＜〕．點評：此題考察的是垂徑定理、勾股定理、三角形的性質(zhì)，綜合性較強，難度中等．12．〔2012?〕，如圖1，△ABC中，BA=BC，D是平面不與A、B、C重合的任意一點，∠ABC=∠DBE，BD=BE．〔1〕求證：△ABD≌△CBE；〔2〕如圖2，當點D是△ABC的外接圓圓心時，請判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論．考點：三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．專題：幾何綜合題；探究型．分析：〔1〕由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS定理可知△ABD≌△CBE；〔2〕由〔1〕可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根據(jù)點D是△ABC外接圓圓心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判斷出BD=BE=CE=CD，故可得出四邊形BDCE是菱形．解答：〔1〕證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD與△CBE中，∵，∴△ABD≌△CBE…4分〔2〕解：四邊形BDCE是菱形．證明如下：同〔1〕可證△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵點D是△ABC外接圓圓心，∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四邊形BDCE是菱形．點評：此題考察的是三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定定理，先根據(jù)題意判斷出△ABD≌△CBE是解答此題的關(guān)鍵．13．〔2012?崇左〕如圖，正方形ABCD的邊長為1，其中弧DE、弧EF、弧FG的圓心依次為點A、B、C．〔1〕求點D沿三條弧運動到點G所經(jīng)過的路線長；〔2〕判斷直線GB與DF的位置關(guān)系，并說明理由．考點：弧長的計算；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：〔1〕根據(jù)弧長的計算公式，代入運算即可．〔2〕先證明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，從而利用等量代換可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．解答：解：〔1〕根據(jù)弧長公式得所求路線長為：++=3π．〔2〕GB⊥DF．理由如下：在△FCD和△GCB中，∵，∴△FCD≌△GCB〔SAS〕，∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．點評：此題考察了弧長的計算、全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練各個知識點，將所學(xué)知識融會貫穿，難度一般．14．〔2012?〕如圖，是數(shù)軸的一局部，其單位長度為a，△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．〔1〕用直尺和圓規(guī)作出△ABC〔要求：使點A，C在數(shù)軸上，保存作圖痕跡，不必寫出作法〕；〔2〕記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π．考點：作圖—復(fù)雜作圖；勾股定理；三角形的外接圓與外心．分析：〔1〕在數(shù)軸上截取AC=5a，再以A，C為圓心3a，4a為半徑，畫弧交點為B；〔2〕利用△ABC的外接圓的面積為S圓，根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)得出AC為外接圓直徑，求出的比值即可．解答：解：〔1〕如下圖：〔2〕∵△ABC的外接圓的面積為S圓，∴S圓=π×〔〕2=π，△ABC的面積S△ABC=×3a×4a=6a2，∴==π＞π．點評：此題主要考察了復(fù)雜作圖以及直角三角形外接圓的性質(zhì)，根據(jù)得出外接圓直徑為AC是解題關(guān)鍵．15．〔2012?〕在平面直角坐標系*Oy中，點A〔0，2〕，直線OP位于一、三象限，∠AOP=45°〔如圖1〕，設(shè)點A關(guān)于直線OP的對稱點為B．〔1〕寫出點B的坐標；〔2〕過原點O的直線l從OP的位置開場，繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖1，當直線l順時針旋轉(zhuǎn)10°到l1的位置時，點A關(guān)于直線l1的對稱點為C，則∠BOC的度數(shù)是20°，線段OC的長為2；②如圖2，當直線l順時針旋轉(zhuǎn)55°到l2的位置時，點A關(guān)于直線l2的對稱點為D，則∠BOD的度數(shù)是110°；③直線l順時針旋轉(zhuǎn)n°〔0＜n≤90〕，在這個運動過程中，點A關(guān)于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑長為〔用含n的代數(shù)式表示〕．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長的計算；坐標與圖形變化-對稱．分析：〔1〕根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形和A的坐標即可求出答案；〔2〕①過A作AZ⊥直線l1于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關(guān)于直線l1的對稱點，根據(jù)軸對稱性質(zhì)求出∠AOC和得出OA=OC，推出∠BOC=2∠AOZ﹣90°，即可得出答案；②過A作AM⊥直線l1于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關(guān)于直線l1的對稱點，求出∠AOD，即可求出∠BOD；〔3〕根據(jù)〔2〕中結(jié)果得出規(guī)律：當旋轉(zhuǎn)n°時，∠BOM=2n°，根據(jù)弧長公式求出即可．解答：〔1〕解：如圖A關(guān)于直線OP的對稱點正好落在*軸上，∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)∴得出OA=OB=2，∴B點的坐標是〔2，0〕；〔2〕解：①如圖1，過A作AZ⊥直線l1于Z，延長AZ到C，使AZ=ZC，則C為A關(guān)于直線l1的對稱點，∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出OA=OC=2，∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，∴∠BOC=55°+55°﹣90°=20°，故答案為：20°，2；②解：如圖2，過A作AM⊥直線l2于M，延長AM到D，使AM=MD，則D為A關(guān)于直線l2的對稱點，∵根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出OA=OD，∴∠AOM=∠DOM=180°﹣〔45°+55°〕=80°，80°+80°﹣90°=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故答案為：110°；③解：直線l順時針旋轉(zhuǎn)n°〔0＜n≤90〕，在這個運動過程中，點A關(guān)于直線l的對稱點所經(jīng)過的路徑為以O(shè)為圓心，以2為半徑的弧BQ〔Q為A關(guān)于旋轉(zhuǎn)n°后直線l1的對稱點〕，圓心角∠BOQ=2〔45°+n°〕﹣90°=2n°，由弧長公式得：=，故答案為：．點評：此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，弧長公式，坐標與圖形性質(zhì)等知識點，此題難度偏大，對學(xué)生提出較高的要求．16．〔2012?〕如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上，將△ABC向下平移4個單位、再向右平移3個單位得到△A1B1C1，然后將△A1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B2C2．〔1〕在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1和△A1B2C2；〔2〕計算線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積〔重疊局部不重復(fù)計算〕考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；扇形面積的計算；作圖-平移變換．專題：壓軸題；探究型．分析：〔1〕根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A1B1C1及△A1B2C2即可；〔2〕根據(jù)圖形平移及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，將△ABC向下平移4個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當△A1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°到△A1B2C2時，A1C1所掃過的面積是以A1為圓心以以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，再減去重疊局部的面積，根據(jù)平行四邊形的面積及扇形面積公式進展解答即可．解答：解：〔1〕如下圖：〔2〕∵圖中是邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格，∴AC==2，∵將△ABC向下平移4個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積；當△A1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°到△A1B2C2時，A1C1所掃過的面積是以A1為圓心以2為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，重疊局部是以A1為圓心，以2為半徑，圓心角為45°的扇形的面積，∴線段AC在變換到A1C2的過程中掃過區(qū)域的面積=4×2+3×2+﹣=14+π．點評：此題考察的是旋轉(zhuǎn)變換及平移變換，扇形的面積公式，熟知圖形旋轉(zhuǎn)、平移不變性的特點是解答此題的關(guān)鍵．17．〔2012?〕〔1〕如圖1，點E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求證：△ABF≌△CDE〔2〕如圖2，方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形．①畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1②再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2，并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積〔結(jié)果保存π〕考點：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；全等三角形的判定；扇形面積的計算；作圖-平移變換．分析：〔1〕由AB∥CD可知∠A=∠C，再根據(jù)AE=CF可得出AF=CE，由AB=CD即可判斷出△ABF≌CDE；〔2〕根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出平移后的圖形，再根據(jù)在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于以點C1為圓心，以A1C1為半徑，圓心角為90度的扇形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式進展解答即可．解答：〔1〕證明：∵AB∥CD∴∠A=∠C．∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE∵AB=CD∴∴△ABF≌CDE〔SAS〕．〔2〕解：①如下圖；②如下圖：在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A1C1所掃過的面積等于=4π．點評：此題考察的是作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定及扇形面積的計算，熟知圖形平移及旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．18．〔2011?〕如圖，在平面直角坐標系*Oy中，我們把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C〔注：不含AB線段〕．A〔﹣1，0〕，B〔1，0〕，AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上．〔1〕求兩條射線AE，BF所在直線的距離；〔2〕當一次函數(shù)y=*+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值圍；當一次函數(shù)y=*+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值圍；〔3〕?AMPQ〔四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列〕的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標*的取值圍．考點：一次函數(shù)綜合題；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：綜合題；壓軸題；分類討論．分析：〔1〕利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定三角形ADB為等腰直角三角形，其直角邊的長等于兩直線間的距離；〔2〕利用數(shù)形結(jié)合的方法得到當直線與圖形C有一個交點時自變量*的取值圍即可；〔3〕根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及其四個頂點均在圖形C上，可能會出現(xiàn)四種情況，分類討論即可．解答：解：〔1〕如圖1，分別連接AD、DB，則點D在直線AE上，∵點D在以AB為直徑的半圓上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，∵AE∥BF，∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為．〔2〕當一次函數(shù)y=*+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，b的取值圍是b=或﹣1＜b＜1；當一次函數(shù)y=*+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，b的取值圍是1＜b＜〔3〕假設(shè)存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據(jù)點M的位置，分以下四種情況討論：①當點M在射線AE上時，如圖2∵AMPQ四點按順時針方向排列，∴直線PQ必在直線AM的上方，∴PQ兩點都在弧AD上，且不與點A、D重合，∴0＜PQ＜．∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜∴﹣2＜*＜﹣1，②當點M在弧AD上時，如圖3∵點A、M、P、Q四點按順時針方向排列，∴直線PQ必在直線AM的下方，此時，不存在滿足題意的平行四邊形．③當點M在弧BD上時，設(shè)弧DB的中點為R，則OR∥BF，當點M在弧DB上時，如圖4，過點M作OR的垂線交弧DB于點Q，垂足為點S，可得S是MQ的中點．∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形，∴0≤*＜．當點M在弧RB上時，如圖5，直線PQ必在直線AM的下方，此時不存在滿足題意的平行四邊形．④當點M在射線BF上時，如圖6，直線PQ必在直線AM的下方，此時，不存在滿足題意的平行四邊形．綜上，點M的橫坐標*的取值圍是﹣2＜*＜﹣1或0≤*＜．點評：此題是一道一次函數(shù)的綜合題，題目中還涉及到了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的相關(guān)知識，題目中還滲透了分類討論思想．19．〔2011?〕閱讀下面的情景對話，然后解答問題：〔1〕根據(jù)“奇異三角形〞的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形〞是真命題還是假命題？〔2〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，假設(shè)Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；〔3〕如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點〔不與點A、B重合〕，D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側(cè)，假設(shè)在⊙O存在點E，使AE=AD，CB=CE．①求證：△ACE是奇異三角形；②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．考點：勾股定理；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：壓軸題；新定義．分析：〔1〕根據(jù)“奇異三角形〞的定義與等邊三角形的性質(zhì)，求證即可；〔2〕根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；〔3〕①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質(zhì)即可證得；②利用〔2〕中的結(jié)論，分別從AC：AE：CE=1：：與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結(jié)果．解答：解：〔1〕設(shè)等邊三角形的一邊為a，則a2+a2=2a2，∴符合奇異三角形〞的定義．∴是真命題；〔2〕∵∠C=90°，則a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；〔3〕∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵點D是半圓的中點，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇異三角形；②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2=2AE2，當△ACE是直角三角形時，由〔2〕得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，當AC：AE：CE=1：：時，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；當AC：AE：CE=：：1時，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°．點評：此題考察了新定義的知識，勾股定理以及圓的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識．解題的關(guān)鍵是理解題意，抓住數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．〔2011?〕如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．〔1〕點N是線段BC的中點嗎？為什么？〔2〕假設(shè)圓環(huán)的寬度〔兩圓半徑之差〕為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．考點：垂徑定理；勾股定理；矩形的性質(zhì)．專題：幾何綜合題；探究型．分析：〔1〕由AD是小圓的切線可知OM⊥AD，再由四邊形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂徑定理即可得出結(jié)論；〔2〕延長ON交大圓于點E，由于圓環(huán)的寬度〔兩圓半徑之差〕為6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的長．解答：解：〔1〕∵AD是小圓的切線，M為切點，∴OM⊥AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴ON⊥BC，∴N是BC的中點；〔2〕延長ON交大圓于點E，連接OB，∵圓環(huán)的寬度〔兩圓半徑之差〕為6cm，AB=5cm，∴EN=6﹣5=1cm，∴ME=6cm，在Rt△OBN中，設(shè)OM=r，OB2=BN2+〔OM+MN〕2，即〔r+6〕2=52+〔r+5〕2，解得r=7cm，故小圓半徑為7cm．點評：此題考察的是垂徑定理，涉及到切線的性質(zhì)及勾股定理、矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．21．〔2011?〕如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．〔1〕證明：B、C、E三點共線；〔2〕假設(shè)M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；〔3〕將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α〔0°＜α＜90°〕后，記為△D1CE1〔圖2〕，假設(shè)M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=OM1是否成立？假設(shè)是，請證明；假設(shè)不是，說明理由．考點：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°；〔2〕連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；〔3〕證明的方法和〔2〕一樣．解答：〔1〕證明：∵AB是直徑，∴∠BCA=90°，而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，∴B、C、E三點共線；〔2〕連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖1，∵CB=CA，CD=CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點，∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，∴MN=OM；〔3〕成立．理由如下：如圖2，連接BD1，AE1，ON1，∵∠ACB﹣∠ACD1=∠D1CE1﹣∠ACD1，∴∠BCD1=∠ACE1，又∵CB=CA，CD1=CE1，∴△BCD1≌△ACE1，與〔2〕同理可證BD1⊥AE1，△ON1M1為等腰直角三角形，從而有M1N1=OM1．點評：此題考察了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì)；也考察了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．22．〔2011?〕如圖①，小慧同學(xué)把一個正三角形紙片〔即△OAB〕放在直線l1上．OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O1處，點B運動到了點B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1，繞點B1按順吋針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點A1處，點O1運動到了點O2處〔即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達O2處〕．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中．頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形A001的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進展類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片0ABC放在直線l2上，0A邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O1處〔即點B處〕，點C運動到了點C1處，點B運動到了點B2處，小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點B1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，…．按上述方法經(jīng)過假設(shè)干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：問題①：假設(shè)正方形紙片0ABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點0經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；假設(shè)正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)．求頂點O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點0經(jīng)過的路程是？考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弧長的計算；扇形面積的計算．專題：壓軸題．分析：①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)3次和5次的路徑，利用弧長計算公式以及扇形面積公式求出即可，②再利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進而得出=20〔1+〕π+，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)．解答：解：①如下圖，正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O運動所形成的圖形是三段圓弧，∴頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：2+=〔1+〕π，頂點O在此過程中經(jīng)過的圖形與直線l2圍成的圖形面積為：×2++2××1=1+π．正方形紙片OABC經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：3+=〔+〕π，②正方形紙片OABC經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點O在此過程中經(jīng)過的路程為：∵2+=〔1+〕π，根據(jù)第四次正方形旋轉(zhuǎn)時O點不動，也就是此時也是正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)的路程；∴=20〔1+〕π+，∴正方形紙片OABC經(jīng)過了：20×4+1=81次旋轉(zhuǎn)．點評：此題主要考察了圖形的旋轉(zhuǎn)以及扇形面積公式和弧長計算公式，分別得出旋轉(zhuǎn)3，4，5次旋轉(zhuǎn)的路徑是解決問題的關(guān)鍵．23．〔2010?崇左〕我市為了紀念龍州起義80周年，對紅八軍紀念廣場進展了改造，改造后安裝了八個石球．小明想知道其中一個球的半徑，于是找了兩塊厚10cm的磚塞在球的兩側(cè)〔如圖〕，并量得兩磚之間的距離是60cm．請你在圖中利用所學(xué)的幾何知識，求出石球的半徑〔要寫出計算過程〕．考點：垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．專題：應(yīng)用題．分析：根據(jù)題意可知，兩磚之間的距離正好是圓中弦的距離，磚的厚度是拱高，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求出圓的半徑．解答：解：根據(jù)題意可以建立圓中垂徑定理的模型如圖：AC=60cm，BD=10cm，設(shè)半徑為rcm，∵OB⊥AC，∴AD=AC=30，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，可得：302+〔r﹣10〕2=r2，解得r=50cm．答：石球的半徑為50cm．點評：解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，假設(shè)設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2=d2+〔〕2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．24．〔2010?〕正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．〔1〕如圖①，假設(shè)點E在上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；〔2〕在〔1〕的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE﹣BE=AE．請你說明理由；〔3〕如圖②，假設(shè)點E在上．寫出線段DE、BE、AE之間的等量關(guān)系．〔不必證明〕考點：圓周角定理；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性質(zhì)．專題：證明題；探究型．分析：〔1〕中易證AD=AB，EB=DF，所以只需證明∠ADF=∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；〔2〕中易證△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需證明DE﹣BE=EF即可，由BE=DF不難證明此問題；〔3〕類比〔2〕不難得出〔3〕的結(jié)論．解答：解：〔1〕在正方形ABCD中，AB=AD〔1分〕∵∠1和∠2都對，∴∠1=∠2，〔3分〕在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE〔SAS〕；〔4分〕〔2〕由〔1〕有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4．〔5分〕在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠3=90°．∴∠BAF+∠4=90°．∴∠EAF=90°．〔6分〕∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．〔7分〕∴EF=AE．〔8分〕即DE﹣DF=AE．∴DE﹣BE=AE．〔9分〕〔3〕BE﹣DE=AE．理由如下：〔12分〕在BE上取點F，使BF=DE，連接AF．易證△ADE≌△ABF，∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．〔5分〕在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠DAF=90°．∴∠DAE+∠DAF=90°．∴∠EAF=90°．〔6分〕∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．〔7分〕∴EF=AE．〔8分〕即BE﹣BF=AE．∴BE﹣DE=AE．〔9分〕點評：此題主要考察圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，難度適中．25．〔2010?〕如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為〔1，0〕，以O(shè)A為邊在第一象限作正方形OABC，點D是*軸正半軸上一動點〔OD＞1〕，連接BD，以BD為邊在第一象限作正方形DBFE，設(shè)M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N．如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形．〔1〕試找出圖1中的一個損矩形；〔2〕試說明〔1〕中找出的損矩形的四個頂點一定在同一個圓上；〔3〕隨著點D位置的變化，點N的位置是否會發(fā)生變化？假設(shè)沒有發(fā)生變化，求出點N的坐標；假設(shè)發(fā)生變化，請說明理由；〔4〕在圖②中，過點M作MG⊥y軸于點G，連接DN，假設(shè)四邊形DMGN為損矩形，求D點坐標．考點：確定圓的條件；正方形的性質(zhì)．專題：壓軸題；新定義．分析：〔1〕根據(jù)題中給出的損矩形的定義，從圖找出只有一組對角是直角的四邊形即可；〔2〕證明四邊形BADM四個頂點到BD的中點距離相等即可；〔3〕利用同弧所對的圓周角相等可得∠MAD=∠MBD，進而得到OA=ON，則就求得了點N的坐標；〔4〕根據(jù)正方形的性質(zhì)及損矩形含有的直角，利用勾股定理求解．解答：解：〔1〕從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形ADMB就是一個損矩形．∵點M是正方形對角線的交點，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四邊形ADMB就是一個損矩形．〔2〕取BD中點H，連接MH，AH．∵四邊形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴損矩形ABMD一定有外接圓．〔3〕∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四邊形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N點的坐標為〔0，﹣1〕．〔4〕延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥*軸于點Q，設(shè)點MG=*，則四邊形APMQ為正方形，∴PM=AQ=*﹣1，∴OG=MQ=*﹣1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=*﹣2，∴MN2=2*2，ND2=〔2*﹣2〕2+12，MD2=〔*﹣1〕2+〔*﹣2〕2，∵四邊形DMGN為損矩形，∴2*2=〔2*﹣2〕2+12+〔*﹣1〕2+〔*﹣2〕2，∴2*2﹣7*+5=0，∴*=2.5或*=1〔舍去〕，∴OD=3，∴D點坐標為〔3，0〕．點評：解決此題的關(guān)鍵是理解損矩形的只有一組對角是直角的性質(zhì)，綜合考察了四點共圓的判定及勾股定理的應(yīng)用．26．〔2010?**〕圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD如下圖那樣疊放在一起，連接AC、BD．〔1〕求證：△AOC≌△BOD；〔2〕假設(shè)OA=3cm，OC=1cm，求陰影局部的面積．考點：扇形面積的計算；全等三角形的判定．專題：幾何綜合題．分析：〔1〕利用SAS證明全等即可；〔2〕根據(jù)扇形面面積公式求出陰影局部的面積．解答：〔1〕證明：∵∠COD=∠AOB=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD；〔3分〕〔2〕解：S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COD=π×32﹣π×12=2π〔cm2〕．故答案為：2πcm2．點評：此題考察兩個知識點：全等三角形的判定和如何計算扇形的面積．27．〔2009?永州〕問題探究：〔1〕如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．〔探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長〕；〔2〕如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；〔3〕如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．考點：平面展開-最短路徑問題；等邊三角形的判定