2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題11.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）青銅神樹(shù)是四川省廣漢市三星堆遺址出土的文物，共有八棵，其中一號(hào)神樹(shù)有三層枝葉，每層有三根樹(shù)枝，樹(shù)枝上分別有兩條果枝，一條上翹、一條下垂，每層上翹的果枝上都站立著一只鳥(niǎo)，鳥(niǎo)共九只（即太陽(yáng)神鳥(niǎo)）.現(xiàn)從中任選三只神鳥(niǎo)，則三只神鳥(niǎo)來(lái)自不同層枝葉的選法種數(shù)為（）A．6 B．18 C．27 D．362．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有（）A．360種 B．50種 C．60種 D．90種3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）1.計(jì)算：（1）將2封信投入4個(gè)郵箱，每個(gè)郵箱最多投一封，共有多少種不同的投法？（2）將2封信隨意投入4個(gè)郵箱，共有多少種不同的投法？6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，把硬幣有幣值的一面稱為正面，有花的一面稱為反面．拋一次硬幣，得到正面記為1，得到反面記為0．現(xiàn)拋一枚硬幣5次，按照每次的結(jié)果，可得到由5個(gè)數(shù)組成的數(shù)組（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，則結(jié)果可記為，則可得不同的數(shù)組共有多少個(gè)？7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有不同的紅球個(gè)，不同的白球個(gè).（1）從中取出一個(gè)球，共有多少種不同的取法？（2）從中取出兩個(gè)顏色不同的球，共有多少種不同的取法？8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有一項(xiàng)活動(dòng)，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加．（1）若只需1人參加，則有多少種不同的選法？（2）若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？10.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇揚(yáng)州中學(xué)高一月考）已知集合，若A，B是P的兩個(gè)非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為（）A．49 B．48 C．47 D．462．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．（1）如圖①，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？（2）如圖②，圓環(huán)分成4等份，分別為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？3．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知集合，表示平面上的點(diǎn)，問(wèn)：（1）P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？（2）P可表示多少個(gè)不在直線上的點(diǎn)？4．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某同學(xué)計(jì)劃用不超過(guò)30元的現(xiàn)金購(gòu)買筆與筆記本．已知筆的單價(jià)為4元，筆記本的單價(jià)為5元，且筆至少要買2支，筆記本至少要買2本，問(wèn)不同的購(gòu)買方案有多少種？5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有些共享單車的密碼鎖是由4個(gè)數(shù)字組成的，你認(rèn)為共享單車的密碼鎖能設(shè)置成由3個(gè)數(shù)字組成嗎？5個(gè)數(shù)字呢？為什么？6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有多少對(duì)？7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字可以重復(fù)的兩位數(shù)？8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知n是一個(gè)小于10的正整數(shù)，且由集合中的元素可以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共25個(gè)，求n的值．9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（3）4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，343，94249等．顯然，2位數(shù)的回文數(shù)有9個(gè)，即11，22，33，…，99；3位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999．求：（1）4位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)；（2）位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（山東省2018年普通高校招生（春季））景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設(shè)沒(méi)有其他道路，某游客計(jì)劃從山的一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（）A．6B．10C．12D．202.（2013·山東高考真題（理））用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243B．252C．261D．2793．（2012·北京高考真題（理））從0，2中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24B．18C．12D．64.（2016全國(guó)甲理5）如圖所示，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會(huì)合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A.24B.18C.12D.95．（2012·四川高考真題（文））方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{?2,0,1,2,3}A．28條 B．32條 C．36條 D．48條6．（2011·安徽高考真題（理））設(shè)集合則滿足且的集合的個(gè)數(shù)為（）A．57 B．56 C．49 D．8專題11.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）青銅神樹(shù)是四川省廣漢市三星堆遺址出土的文物，共有八棵，其中一號(hào)神樹(shù)有三層枝葉，每層有三根樹(shù)枝，樹(shù)枝上分別有兩條果枝，一條上翹、一條下垂，每層上翹的果枝上都站立著一只鳥(niǎo)，鳥(niǎo)共九只（即太陽(yáng)神鳥(niǎo)）.現(xiàn)從中任選三只神鳥(niǎo)，則三只神鳥(niǎo)來(lái)自不同層枝葉的選法種數(shù)為（）A．6 B．18 C．27 D．36【答案】C【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理從每層枝葉各選一只神鳥(niǎo)即可得到答案.【詳解】每只神鳥(niǎo)有3種選法，三只神鳥(niǎo)來(lái)自不同層枝葉的選法種數(shù)有（種）.故選：C.2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有（）A．360種 B．50種 C．60種 D．90種【答案】B【分析】首先根據(jù)題意分成第一類甲同學(xué)選擇牛和第二類甲同學(xué)選擇馬，分別計(jì)算各類的選法，再相加即可.【詳解】第一類：甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)，第二類：甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法．故選：B.3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)【答案】750【分析】由分步計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】首先給最左邊的一個(gè)格子涂色，有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選擇，第三個(gè)格子有5種選擇，第四個(gè)格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法．故答案為：7504．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而組成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè).【答案】40【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1＝8個(gè)；第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2＝8×4＝32個(gè)，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40個(gè).故答案為：405．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）1.計(jì)算：（1）將2封信投入4個(gè)郵箱，每個(gè)郵箱最多投一封，共有多少種不同的投法？（2）將2封信隨意投入4個(gè)郵箱，共有多少種不同的投法？【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）（2）用分步乘法原理求解.【詳解】（1）將2封信投入4個(gè)郵箱，每個(gè)郵箱最多投一封，第一封信有4種選擇，第二封有3種選擇，答案為（種）；（2）將2封信隨意投入4個(gè)郵箱，則每封信都有4種選擇，所以共有（種）.6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，把硬幣有幣值的一面稱為正面，有花的一面稱為反面．拋一次硬幣，得到正面記為1，得到反面記為0．現(xiàn)拋一枚硬幣5次，按照每次的結(jié)果，可得到由5個(gè)數(shù)組成的數(shù)組（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，則結(jié)果可記為，則可得不同的數(shù)組共有多少個(gè)？【答案】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】依題意可知不同的數(shù)組共有個(gè).7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有不同的紅球個(gè)，不同的白球個(gè).（1）從中取出一個(gè)球，共有多少種不同的取法？（2）從中取出兩個(gè)顏色不同的球，共有多少種不同的取法？【答案】（1）（2）【分析】（1）分別計(jì)算出取出一個(gè)紅球、取出一個(gè)白球的方法種數(shù)，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果；（2）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.（1）解：從中取出一個(gè)紅球，有種取法，從中取出一個(gè)白球，有種取法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，從中取出一個(gè)球，共有種不同的取法.（2）解：從中取出一個(gè)紅球，有種取法，從中取出一個(gè)白球，有種取法，由分布乘法計(jì)數(shù)原理可知，從中取出兩個(gè)顏色不同的球，共有種不同的取法.8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有一項(xiàng)活動(dòng)，需從3位教師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加．（1）若只需1人參加，則有多少種不同的選法？（2）若需教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人參加，則有多少種不同的選法？【答案】（1）16(種)；（2）120(種).【分析】（1）利用分類加法原理求解（1）利用分步乘法原理求解【詳解】（1）選1人，可分三類：第1類，從教師中選1人，有3種不同的選法；第2類，從男同學(xué)中選1人，有8種不同的選法；第3類，從女同學(xué)中選1人，有5種不同的選法．共有3＋8＋5＝16(種)不同的選法．（2）選教師、男同學(xué)、女同學(xué)各1人，分三步進(jìn)行：第1步，選教師，有3種不同的選法；第2步，選男同學(xué)，有8種不同的選法；第3步，選女同學(xué)，有5種不同的選法．共有3×8×5＝120(種)不同的選法．9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若直線方程Ax＋By＝0中的A，B可以從0，1，2，3，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，則方程所表示的不同直線共有多少條？【答案】14條【分析】分類討論A或B中有一個(gè)為0時(shí)和都不取0時(shí)的情況，根據(jù)計(jì)數(shù)原理即可求解．【詳解】分兩類完成：第一類：當(dāng)A或B中有一個(gè)為0時(shí)，表示直線為x＝0或y＝0，共有2條；第二類：當(dāng)A，B都不取0時(shí)，直線Ax＋By＝0被確定需分兩步完成：第一步，確定A的值，從1，2，3，5中選一個(gè)，共有4種不同的方法；第二步，確定B的值，共有3種不同的方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共確定4×3＝12(條)直線．由分類加法計(jì)數(shù)原理，方程所表示的不同直線有2＋12＝14(條)．10.（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．【答案】18種【分析】方法一：(直接法)分別考慮黃瓜種在第一塊、第二塊、第三塊土地上的不同的種植方法，再運(yùn)用加法原理可求得所有的不同種植方法．方法二：(間接法)先求得從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上的不同的種植方法，再減去不種黃瓜的不同的種植方法，由此可求得答案．【詳解】解：方法一：(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．方法二：(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同的種植方法24－6＝18(種)．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·江蘇揚(yáng)州中學(xué)高一月考）已知集合，若A，B是P的兩個(gè)非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為（）A．49 B．48 C．47 D．46【答案】A【解析】集合知：1、若A中的最大數(shù)為1時(shí)，B中只要不含1即可：的集合為，而有種集合，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為15；2、若A中的最大數(shù)為2時(shí)，B中只要不含1、2即可：的集合為，而B(niǎo)有種，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為；3、若A中的最大數(shù)為3時(shí)，B中只要不含1、2、3即可：的集合為，而B(niǎo)有種，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為；4、若A中的最大數(shù)為4時(shí)，B中只要不含1、2、3、4即可：的集合為，而B(niǎo)有種，集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為；∴一共有個(gè)，故選：A2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．（1）如圖①，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？（2）如圖②，圓環(huán)分成4等份，分別為a1，a2，a3，a4，則有多少種不同的種植方法？【答案】（1）6種；（2）18種.【分析】（1）利用分步計(jì)數(shù)原理求解即可.（2）首先根據(jù)題意分成兩類：第一類a1，a3不同色和第二類a1，a3同色，分別計(jì)算各類的得數(shù)再相加即可.【詳解】（1）先種植a1部分，有3種不同的種植方法，再種植a2，a3部分．因?yàn)閍2，a3與a1的顏色不同，a2，a3的顏色也不同，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的種植方法有3×2×1＝6(種)．（2）當(dāng)a1，a3不同色時(shí)，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當(dāng)a1，a3同色時(shí)，有3×2×1×2＝12(種)種植方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有6＋12＝18(種)種植方法．3．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知集合，表示平面上的點(diǎn)，問(wèn)：（1）P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？（2）P可表示多少個(gè)不在直線上的點(diǎn)？【答案】（1）6（個(gè)）；（2）30（個(gè)）．【分析】(1)由分步乘法原理求第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，(2)依次確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的可能取法，由分步乘法原理求不在直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)镻表示平面上第二象限的點(diǎn)，故可分兩步：第一步，確定a，a必須小于0，則有3種不同的情況；第二步，確定b，b必須大于0，則有2種不同的情況；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，第二象限的點(diǎn)共有（個(gè)）．（2）因?yàn)镻表示不在直線上的點(diǎn)，故可分兩步：第一步，確定a，有6種不同的情況；第二步，確定b，有5種不同的情況．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不在直線上的點(diǎn)共有（個(gè)）．4．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某同學(xué)計(jì)劃用不超過(guò)30元的現(xiàn)金購(gòu)買筆與筆記本．已知筆的單價(jià)為4元，筆記本的單價(jià)為5元，且筆至少要買2支，筆記本至少要買2本，問(wèn)不同的購(gòu)買方案有多少種？【答案】7【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可．【詳解】設(shè)購(gòu)買筆支，筆記本本，則，得，將y的取值分為三類：①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x可取2，3，4，5，共4種方案．②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x可取2，3，共2種方案；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x只能取2，只有1種方案．由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的購(gòu)買方案有（種）．5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，有些共享單車的密碼鎖是由4個(gè)數(shù)字組成的，你認(rèn)為共享單車的密碼鎖能設(shè)置成由3個(gè)數(shù)字組成嗎？5個(gè)數(shù)字呢？為什么？【答案】3個(gè)數(shù)字的不合適，5個(gè)數(shù)字的合適；【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出所有的密碼組合數(shù)，再根據(jù)概率分析可行性；【詳解】解：如設(shè)成3個(gè)數(shù)字，則一共有種組合，組合數(shù)不是很大，隨便嘗試一次開(kāi)鎖，打開(kāi)鎖的概率，打開(kāi)鎖的概率比較大，不合適；如設(shè)成5個(gè)數(shù)字，則一共有種組合，組合數(shù)比較大，隨便嘗試一次開(kāi)鎖，打開(kāi)鎖的概率，打開(kāi)鎖的概率比較小，合適；6．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有多少對(duì)？【答案】36【分析】如圖，分四類進(jìn)行計(jì)數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的數(shù)目，加起來(lái)即可.【詳解】如圖，在三棱柱中，分四類進(jìn)行計(jì)數(shù)：與上底面異面的直線有對(duì)；與下底面的異面的直線有9對(duì)(除去與上底面的)；與側(cè)棱異面的直線有6對(duì)(除去與下底面的)；側(cè)面對(duì)角線之間成異面直線的有6對(duì).由分類加法計(jì)數(shù)原理，知共有異面直線共有對(duì).7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少個(gè)數(shù)字可以重復(fù)的兩位數(shù)？【答案】（1）（2）【分析】（1）用數(shù)字1，2，3，4，5，6可組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，用兩步完成，第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字在剩下的5個(gè)數(shù)字中選擇有5種方法，運(yùn)用乘法原理，即可得解，（2）按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；（1）解：第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字在剩下的5個(gè)數(shù)字中選擇有5種方法，運(yùn)用乘法原理得．所以可以排成個(gè)不重復(fù)的兩位數(shù)；（2）解：第一步十位數(shù)字有6種選擇，然后第二步個(gè)位數(shù)字有6種選擇，運(yùn)用乘法原理得．所以可以排成個(gè)可以重復(fù)的兩位數(shù)；8．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知n是一個(gè)小于10的正整數(shù)，且由集合中的元素可以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共25個(gè)，求n的值．【答案】5【分析】用列舉法表示集合，再按照分步乘法計(jì)數(shù)原理得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)閚是一個(gè)小于10的正整數(shù)，且，所以，所以從集合中的元素選出兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，則十位有種選法，個(gè)位有種選法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有個(gè)，所以，解得或（舍去）9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（3）4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？【答案】（1）81(種)；（2）24(種)；（3）64(種).【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】（1）要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報(bào)名方法．（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此跑步項(xiàng)目有4種選法，跳高項(xiàng)目有3種選法，跳遠(yuǎn)項(xiàng)目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有4×3×2＝24(種)．（3）要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果.10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，343，94249等．顯然，2位數(shù)的回文數(shù)有9個(gè)，即11，22，33，…，99；3位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999．求：（1）4位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)；（2）位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)．【答案】（1）90（2）【分析】（1）對(duì)于4位數(shù)的回文數(shù)，只需排好前2位即可確定回文數(shù)，首先列舉出第一項(xiàng)為1的四位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，即可知所有4位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)題設(shè)，對(duì)于奇數(shù)個(gè)數(shù)的回文數(shù)，先排好中間的數(shù)字，再在兩側(cè)對(duì)其中一側(cè)排數(shù)即可得所有回文數(shù)的個(gè)數(shù).（1）由題設(shè)，四位數(shù)回文：∴共有90個(gè).（2）位數(shù)，則中間的數(shù)字有10種選法，而兩側(cè)的數(shù)字只需排好一側(cè)，則另一側(cè)確定，不妨排前n位數(shù)字，顯然第一位數(shù)字有9種選法，其余都有10種選法，∴共有個(gè)回文數(shù).練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（山東省2018年普通高校招生（春季））景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設(shè)沒(méi)有其他道路，某游客計(jì)劃從山的一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（）A．6B．10C．12D．20【答案】C【解析】先確定從那一面上，有兩種選擇，再選擇上山與下山道路，可得不同走法的種數(shù)是2×2×3因此選C.2.（2013·山東高考真題（理））用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)(含有重復(fù)數(shù)字的)共有9×10×10=900，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有9×9×8=648，因此組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有900－648=252．3．（2012·北京高考真題（理））從0，2中選一個(gè)數(shù)字．從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24B．18C．12D．6【答案】B【解析】由于題目要求的是奇數(shù)，那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個(gè)位開(kāi)始分析(3種選擇)，之后十位(2種選擇)，最后百位(2種選擇)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇，分析同理：個(gè)位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種，因此總共12+6=18種情況．4.（2016全國(guó)甲理5）如圖所示，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會(huì)合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】從的最短路徑有種走法，從的最短路徑有種走法，由乘法原理知，共種走法.故選B．5．（2012·四川高考真題（文））方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{?2,0,1,2,3}A．28條 B．32條 C．36條 D．48條【答案】B【解析】方程ay=b2x2所以，分b=-2,1,2,3四種情況：（1）若b=-2，;（2）若b="2,"以上兩種情況下有4條重復(fù)，故共有9+5=14條；同理若b=1，共有9條；若b=3時(shí)，共有9條.綜上，共有14+9+9=32種6．（2011·安徽高考真題（理））設(shè)集合則滿足且的集合的個(gè)數(shù)為（）A．57 B．56 C．49 D．8【答案】B【解析】由題意可知集合S可以表示為的形式，其中為集合的非空子集，為集合的非空子集，由子集個(gè)數(shù)公式可得，集合M的個(gè)數(shù)為7個(gè)，集合N的個(gè)數(shù)為7個(gè)，則集合S的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.專題11.2排列與組合練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·福建寧德·高三期中）三名學(xué)生報(bào)名參加校園文化活動(dòng)，活動(dòng)共有三個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，則恰有兩名學(xué)生報(bào)同一項(xiàng)目的報(bào)名方法種數(shù)有（）A．6種 B．9種 C．18種 D．36種2．（2021·山東濰坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第名到第名的名次.甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō):“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍”，對(duì)乙說(shuō):“你不會(huì)是最差的”，從這兩個(gè)回答分析，這人的名次排列所有可能的情況共有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．（2021·全國(guó)·高三月考（理））某地計(jì)劃在10月18日至11月18日舉辦“菊花花會(huì)”，如圖是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供選擇擺放，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）A．240種 B．300種C．360種 D．420種4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某工程隊(duì)有卡車?挖掘機(jī)?吊車?混凝土攪拌車各一輛，將它們?nèi)颗赏?個(gè)工地進(jìn)行作業(yè)，每個(gè)工地至少派一輛，則不同的派法種數(shù)是（）A．18 B．9 C．27 D．365．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若從這個(gè)9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為，則使得為偶數(shù)的不同排列方法有（）A．1224 B．1200C．1080 D．8406．（2021·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（）A．22 B．25 C．20 D．487.【多選題】（2021·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A．1人 B．2人 C．3人 D．4人8．（2021·上?！らh行中學(xué)高三期中）從4男2女六名航天員中選出三名作為神舟十四號(hào)乘組，則恰好有一名女航天員被選中的選法有______種．（用數(shù)字作答）9．（2020·新疆·克拉瑪依市教育研究所三模（理））新型冠狀肺炎疫情發(fā)生后，新疆某醫(yī)院有2名醫(yī)生，4名護(hù)士自愿報(bào)名參加援助武漢醫(yī)療隊(duì)，現(xiàn)要將這6名醫(yī)護(hù)人員分成2個(gè)小組，分別安排到武漢市的兩所方艙醫(yī)院參加醫(yī)療救助活動(dòng)，每個(gè)小組由1名醫(yī)生和2名護(hù)士組成，不同的安排方案共有_________種．（用數(shù)字作答）10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列各式中的正整數(shù)n：（1）；（2）．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·上海市滬新中學(xué)高三月考）某校組隊(duì)參加辯論賽，從名學(xué)生中選出人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，若其中學(xué)生甲必須參賽且不擔(dān)任四辯，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)_______(結(jié)果用數(shù)值表示)2．（2018·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）為宣傳地方特色，某電視臺(tái)派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪.期間工作的任務(wù)有A，B，C，D四項(xiàng)，每項(xiàng)任務(wù)至少一人參加，但兩名女記者不參加A任務(wù)，則不同的安排方案數(shù)共有_______.3．（2021·全國(guó)·高三月考）某學(xué)校安排甲，乙等位中層干部深入個(gè)班級(jí)進(jìn)行班級(jí)課堂教學(xué)調(diào)研，每班至少安排一位中層干部，若甲、乙不能安排到同一個(gè)班級(jí)，則不同的安排方法共有______________________種(用數(shù)字作答)．4．利用組合數(shù)公式證明．5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）把分別標(biāo)有1，2，3，4號(hào)的4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的盒子中，不許有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的放法共有多少種？6．（2021·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）為配合國(guó)家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級(jí)教師（不同姓）到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為多少種？（請(qǐng)寫(xiě)出分類過(guò)程）7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有編號(hào)分別為，，，，，，的7個(gè)不同的小球，將這些小球排成一排（1）若要求，，相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若要求排在正中間，且，，各不相鄰，則有多少種不同的排法？8．（2021·河北·藁城新冀明中學(xué)高二月考）從1到6的六個(gè)數(shù)字中取兩個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).試問(wèn)：（1）能組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？（2）四位數(shù)中，兩個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？（3）兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有幾個(gè)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加某項(xiàng)競(jìng)賽，決出了第一名到第五名的5個(gè)名次．甲、乙兩人去詢問(wèn)成績(jī)，組織者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從組織者的回答分析，這五名同學(xué)的名次排列共有多少種不同的情況．10．（2021·江西·橫峰中學(xué)高二期中（理））1.如圖，已知圖形ABCDEF，內(nèi)部連有線段.（用數(shù)字作答）（1）由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有多少條？（2）由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有多少條？（3）求出圖中總計(jì)有多少個(gè)矩形？練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·海南省高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種C．60種 D．30種2.（2021·全國(guó)·高考真題（理））將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種3．（2018·浙江高考真題）從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成___________個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)4．（2017·天津高考真題（理））用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè).（用數(shù)字作答）5.（2015·上海高考真題（理））在報(bào)名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）．6.（2020·全國(guó)高考真題（理））4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有__________種.專題11.2排列與組合練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·福建寧德·高三期中）三名學(xué)生報(bào)名參加校園文化活動(dòng)，活動(dòng)共有三個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，則恰有兩名學(xué)生報(bào)同一項(xiàng)目的報(bào)名方法種數(shù)有（）A．6種 B．9種 C．18種 D．36種【答案】C【分析】根據(jù)題意首先從三名學(xué)生中選名選報(bào)同一項(xiàng)目，再?gòu)娜齻€(gè)項(xiàng)目中選項(xiàng)項(xiàng)目，全排即可.【詳解】由題意可得，故選：C2．（2021·山東濰坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第名到第名的名次.甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō):“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍”，對(duì)乙說(shuō):“你不會(huì)是最差的”，從這兩個(gè)回答分析，這人的名次排列所有可能的情況共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3種情況；再排甲，也有3種情況；余下的問(wèn)題是三個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得到結(jié)果．【詳解】由題意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3種情況；再排甲，也有3種情況；余下3人有種排法．故共有種不同的情況．故選：C.3．（2021·全國(guó)·高三月考（理））某地計(jì)劃在10月18日至11月18日舉辦“菊花花會(huì)”，如圖是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供選擇擺放，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）A．240種 B．300種C．360種 D．420種【答案】D【分析】先放A，分B、D選則同一種花和不同種花兩種情況，再考慮C、E，由分步乘法和分類加法原理可得答案.【詳解】先放A，共有5種選擇，若B、D選則同一種花，有四種選擇，剩下的C、E均有三種選擇，共種，若B、D選則不同種花，有種選擇，剩下的C、E均有兩種選擇，共種，故共有180+240=420種.故選：D.4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某工程隊(duì)有卡車?挖掘機(jī)?吊車?混凝土攪拌車各一輛，將它們?nèi)颗赏?個(gè)工地進(jìn)行作業(yè)，每個(gè)工地至少派一輛，則不同的派法種數(shù)是（）A．18 B．9 C．27 D．36【答案】D【分析】利用捆綁法，先把4輛車分成3組，再把分好的3組分別派給3個(gè)工地，即可得到答案；【詳解】先把4輛車分成3組，再把分好的3組分別派給3個(gè)工地，則不同的派法共有（種）.故選：D5．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若從這個(gè)9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為，則使得為偶數(shù)的不同排列方法有（）A．1224 B．1200C．1080 D．840【答案】A【分析】考慮為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，判斷的奇偶性，根據(jù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)計(jì)算得到答案.【詳解】為偶數(shù)，則為偶數(shù)，有；為奇數(shù)，則為奇數(shù)，四個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，有.故共有1224種．故選：A.6．（2021·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（）A．22 B．25 C．20 D．48【答案】C【分析】將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將它們隔開(kāi)，即分成4組，據(jù)此即可的解.【詳解】解：將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，因?yàn)槊總€(gè)盒子都有球，所以每個(gè)盒子至少又一個(gè)球，不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將它們隔開(kāi)，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為20.故選：C.7.【多選題】（2021·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A．1人 B．2人 C．3人 D．4人【答案】BC【分析】設(shè)女生有n人，則男生有8-n人，由求解.【詳解】設(shè)女生有n人，則男生有8-n人，由題意得：，即，解得或，故選：BC8．（2021·上?！らh行中學(xué)高三期中）從4男2女六名航天員中選出三名作為神舟十四號(hào)乘組，則恰好有一名女航天員被選中的選法有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用組合數(shù)來(lái)計(jì)算出選法數(shù).【詳解】依題意可知，選法有種.故答案為：9．（2020·新疆·克拉瑪依市教育研究所三模（理））新型冠狀肺炎疫情發(fā)生后，新疆某醫(yī)院有2名醫(yī)生，4名護(hù)士自愿報(bào)名參加援助武漢醫(yī)療隊(duì)，現(xiàn)要將這6名醫(yī)護(hù)人員分成2個(gè)小組，分別安排到武漢市的兩所方艙醫(yī)院參加醫(yī)療救助活動(dòng)，每個(gè)小組由1名醫(yī)生和2名護(hù)士組成，不同的安排方案共有_________種．（用數(shù)字作答）【答案】12【分析】先從2名醫(yī)生中選1名去一所方艙醫(yī)院，再?gòu)?名護(hù)士選2名護(hù)士去同一所方艙醫(yī)院，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求出.【詳解】先從2名醫(yī)生中選1名去一所方艙醫(yī)院，有種，再?gòu)?名護(hù)士選2名護(hù)士去同一所方艙醫(yī)院，有種，剩下的1名醫(yī)生2名護(hù)士去另一所方艙醫(yī)院，則不同的安排方案共有種.故答案為：12.10．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列各式中的正整數(shù)n：（1）；（2）．【答案】（1）（2）6【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)公式列出方程即可求解；（2）根據(jù)排列數(shù)公式列出方程即可求解；（1）解：因?yàn)?，所以，解得；?）解：因?yàn)?，又，所以，解?練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2020·上海市滬新中學(xué)高三月考）某校組隊(duì)參加辯論賽，從名學(xué)生中選出人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，若其中學(xué)生甲必須參賽且不擔(dān)任四辯，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)_______(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】180【分析】利用組合和排列的含義分別求出從6名學(xué)生中選出四名且甲必須參賽和甲不擔(dān)任四辯的情況種數(shù)，然后按照分步乘法原理計(jì)算即可.【詳解】首先從6名學(xué)生中選出四名且甲必須參賽共有種情況，甲不擔(dān)任四辯的情況共有種，故不同的安排方法種數(shù)為.故答案為：180.2．（2018·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心高三學(xué)業(yè)考試）為宣傳地方特色，某電視臺(tái)派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪.期間工作的任務(wù)有A，B，C，D四項(xiàng)，每項(xiàng)任務(wù)至少一人參加，但兩名女記者不參加A任務(wù)，則不同的安排方案數(shù)共有_______.【答案】【分析】采用分類計(jì)數(shù)原理，排列組合進(jìn)行計(jì)算可得.【詳解】?jī)擅浾卟粎⒓覣任務(wù)，由題意分兩類情況：①1男參加A任務(wù)；②2男參加A任務(wù),其余人員再排列;即:①1男參加A任務(wù)，將3男選1排在A任務(wù)，再將剩下4人選兩人打捆,再排在其它3項(xiàng)任務(wù)，即種.②2男參加A任務(wù)，將3男選2人排在A任務(wù),再將剩下的人排在其它3項(xiàng)任務(wù),即種,所以選出符合條件參加活動(dòng)的人員共有:108+18=126種，故答案為:126種3．（2021·全國(guó)·高三月考）某學(xué)校安排甲，乙等位中層干部深入個(gè)班級(jí)進(jìn)行班級(jí)課堂教學(xué)調(diào)研，每班至少安排一位中層干部，若甲、乙不能安排到同一個(gè)班級(jí)，則不同的安排方法共有______________________種(用數(shù)字作答)．【答案】【分析】先將位中層干部分成組，有組人其他組各人，除去甲、乙分在一起的情況，所以分組結(jié)果有種，再分配到個(gè)班級(jí)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】首先把位中層干部分成組，有組人其他組各人．又甲、乙不能分在一起，因此有種，再對(duì)分好的組分配到個(gè)班級(jí)有種，根據(jù)分步乘法原理得：種，故答案為：.4．利用組合數(shù)公式證明．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用組合數(shù)公式分別計(jì)算等式左右兩邊即可證明.【詳解】證明：因?yàn)?，，所以?．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）把分別標(biāo)有1，2，3，4號(hào)的4個(gè)不同的小球放入3個(gè)分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)的盒子中，不許有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的放法共有多少種？【答案】12【分析】由于4號(hào)球沒(méi)有限制，所以以4號(hào)球分兩類討論：一類是4號(hào)球與1，2，3號(hào)球中的一個(gè)在一個(gè)盒子，另一類是4號(hào)球單獨(dú)放在一個(gè)盒子，其他3個(gè)球放入兩個(gè)盒子.【詳解】由于4號(hào)球沒(méi)有限制，所以以4號(hào)球分類：當(dāng)4號(hào)球與1，2，3號(hào)球中的一個(gè)在一個(gè)盒子時(shí)，它們有2個(gè)盒子可選，其他兩個(gè)球只有1種放法，共有種放法；當(dāng)4號(hào)球單獨(dú)放在一個(gè)盒子，其他3個(gè)球放入兩個(gè)盒子時(shí)，首先在1，2，3號(hào)球中先選出兩個(gè)球占一個(gè)盒子有種，再分配剩下那個(gè)球與4號(hào)球，滿足條件的放法種數(shù)為種，所以共有種不同放法.6．（2021·福建省漳州第一中學(xué)高二月考）為配合國(guó)家精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級(jí)教師（不同姓）到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行扶貧支教，每所學(xué)校至少1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為多少種？（請(qǐng)寫(xiě)出分類過(guò)程）【答案】360【分析】根據(jù)題意，按甲校安排的人數(shù)分4種情況討論，求出每種情況下安排方案的數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案.【詳解】分四種情況討論：甲校安排1名老師，分配方案種數(shù)有，甲校安排2名老師，分配方案種數(shù)有，甲校安排3名老師，分配方案種數(shù)有，甲校安排4名老師，分配方案種數(shù)有所以分配方案共有150+140+60+10=360種.7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有編號(hào)分別為，，，，，，的7個(gè)不同的小球，將這些小球排成一排（1）若要求，，相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若要求排在正中間，且，，各不相鄰，則有多少種不同的排法？【答案】（1）720；（2）216.【分析】（1）利用“捆綁法”可求；（2）分，，中有1個(gè)在的左側(cè)和有2個(gè)在的左側(cè)討論求解.【詳解】（1）把，，看成一個(gè)整體與剩余的4個(gè)球全排列，則不同的排法有（種）．（2）在正中間，所以的排法只有1種．因?yàn)?，，互不相鄰，所以，，不可能同時(shí)在的左側(cè)或右側(cè)．若，，中有1個(gè)在的左側(cè)，2個(gè)在的右側(cè)且不相鄰，則不同的排法有（種），若，，中有2個(gè)在的左側(cè)且不相鄰，1個(gè)在的右側(cè)，則不同的排法有（種）．故所求的不同排法有（種）．8．（2021·河北·藁城新冀明中學(xué)高二月考）從1到6的六個(gè)數(shù)字中取兩個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).試問(wèn)：（1）能組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？（2）四位數(shù)中，兩個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？（3）兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有幾個(gè)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）【答案】（1）216（2）108（3）108【分析】（1）分三步完成：第一步，取兩個(gè)偶數(shù)，第二步，取兩個(gè)奇數(shù)，第三步，將取出的四個(gè)數(shù)全排列，最后利用分步計(jì)數(shù)原理求解；（2）分三步完成：第一步，取兩個(gè)偶數(shù)，第二步，取兩個(gè)奇數(shù)，第三步，將兩個(gè)偶數(shù)看作一個(gè)整體與兩個(gè)奇數(shù)排列，最后利用分步計(jì)數(shù)原理求解；（3分三步完成：第一步，取兩個(gè)偶數(shù)，第二步，取兩個(gè)奇數(shù)，第三步，先將兩個(gè)奇數(shù)排列，再?gòu)娜齻€(gè)空中選兩個(gè)空，將兩個(gè)偶數(shù)排列上，最后利用分步計(jì)數(shù)原理求解.（1）解：分三步完成：第一步，取兩個(gè)偶數(shù)，有種方法，第二步，取兩個(gè)奇數(shù)，有種方法，第三步，將取出的四個(gè)數(shù)全排列，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得：共能組成個(gè)不同的四位數(shù)；（2）解：分三步完成：第一步，取兩個(gè)偶數(shù)，有種方法，第二步，取兩個(gè)奇數(shù)，有種方法，第三步，將兩個(gè)偶數(shù)看作一個(gè)整體與兩個(gè)奇數(shù)排列，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得：共能組成個(gè)不同的四位數(shù)；（3）解：分三步完成：第一步，取兩個(gè)偶數(shù)，有種方法，第二步，取兩個(gè)奇數(shù)，有種方法，第三步，先將兩個(gè)奇數(shù)排列，再?gòu)娜齻€(gè)空中選兩個(gè)空，將兩個(gè)偶數(shù)排列上，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得：共能組成個(gè)不同的四位數(shù)；9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加某項(xiàng)競(jìng)賽，決出了第一名到第五名的5個(gè)名次．甲、乙兩人去詢問(wèn)成績(jī)，組織者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從組織者的回答分析，這五名同學(xué)的名次排列共有多少種不同的情況．【答案】54【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同學(xué)完成，由分步乘法原理求滿