PAGEPAGE9不等式一、選擇填空題1.〔江蘇2023年4分〕二次函數y=ax2＋bx＋c(x∈R)的局部對應值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集是▲.【答案】?！究键c】一元二次不等式與二次函數?！痉治觥坑杀砜傻枚魏瘮档牧泓c，可設其兩根式，然后代入一點求得解析式，即可得到不等式ax2＋bx＋c>0的解集：由表可設y=a〔x＋2〕〔x－3〕，又∵x=0，y=－6，代入知a=1?！鄖=〔x＋2〕〔x－3〕∴由ax2＋bx＋c=〔x＋2〕〔x－3〕＞0得x＞3或x＜－2?！嗖坏仁絘x2＋bx＋c>0的解集為：。2.〔江蘇2023年4分〕函數的定義域為▲【答案】【考點】函數的定義域，對數函數的意義，一元二次不等解法?！痉治觥坑深}意得：，那么由對數函數性質得：，即，解得或。∴函數的定義域為：。3.〔江蘇2023年5分〕設、、是互不相等的正數，那么以下等不式中不恒成立的是【】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C?！究键c】不等式恒成立的條件?！痉治觥窟\用排除法，C選項，當時不成立。應選C。4.〔江蘇2023年5分〕不等式的解集為▲【答案】?！究键c】數函數單調性和不等式的解法?！痉治觥俊?，∴，即。解得。5.〔江蘇2023年5分〕假設集合，那么中有▲個元素【答案】6?！究键c】交集及其運算，解一元二次不等式?！痉治觥肯然喖螦，即解一元二次不等式，再求與Z的交集：由得，解得。∴，共有6個元素。6.〔江蘇2023年5分〕設為正實數，滿足，那么的最小值是▲【答案】3?！究键c】根本不等式?！痉治觥坑煽赏瞥?，代入中，消去，再利用均值不等式求解即可：由得，代入得，當且僅當＝3時取“＝〞。7.〔江蘇2023年5分〕集合，假設那么實數的取值范圍是，其中=▲.【答案】4?！究键c】集合的子集的概念，利用對數的性質解不等式?！痉治觥俊叩?，∴。又∵，，∴，即實數的取值范圍是。∴4。8.〔江蘇2023年5分〕設實數，滿足3≤≤8，4≤≤9，那么的最大值是▲。【答案】27。【考點】根本不等式在最值問題中的應用，等價轉化思想?！痉治觥俊?≤≤8，∴；又∵4≤≤9，∴，即?！?，∴，即?！嗟淖畲笾凳?7。9.〔江蘇2023年5分〕在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數的圖象交于P、Q兩點，那么線段PQ長的最小值是▲【答案】4?！究键c】函數的圖象及性質的應用，根本不等式的應用。【分析】根據函數的對稱性，設經過原點的直線與函數的交點為，，那么。此題也可以直接畫圖結合函數的對稱性可知，當直線的斜率為1時，線段PQ長的最小，最小值為4。10、〔2023江蘇卷14〕正數滿足：那么的取值范圍是．【解析】根據條件，得到，得到.又因為，所以，由，得到.從而，解得.【點評】此題主要考查不等式的根本性質、對數的根本運算.關鍵是注意不等式的等價變形，做到每一步都要等價.此題屬于中高檔題，難度較大.二、解答題1.〔江蘇2023年12分〕制定投資方案時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個工程.根據預測，甲、乙工程可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損分別為30﹪和10﹪.投資人方案投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個工程各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？【答案】解：設投資人分別用萬元、萬元投資甲、乙兩個工程。由題意知目標函數z=+0.5。上述不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，陰影局部〔含邊界〕即可行域，作直線，并作平行于直線的一組直線，與可行域相交，其中有一條直線經過可行域上的M點，且與直線的距離最大。這里M點是直線和的交點。解方程組，得=4，=6。此時〔萬元〕。，∴當=4，=6時，z取得最大值。答：投資人用4萬元投資甲工程、6萬元投資乙工程，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大?！究键c】根本不等式在最值問題中的應用。【分析】設投資人對甲、乙兩個工程各投資和萬元，列出和的不等關系及目標函數z=+0.5，利用線性規(guī)劃或不等式的性質求最值即可。2.〔江蘇2023年14分〕函數滿足以下條件：對任意的實數1，2都有和，其中是大于0的常數.設實數，，滿足和(Ⅰ)證明，并且不存在，使得；(Ⅱ)證明；(Ⅲ)證明.【答案】證明：〔I〕任?、俸廷诳芍?，從而。假設有①式知，∴不存在?！睮I〕由③可知④由①式，得⑤由和②式知，⑥將⑤、⑥代入④式，得?！睮II〕由③式可知〔用②式〕〔用①式〕【考點】不等式的證明?！痉治觥俊并瘛骋C明，并且不存在，使得，由條件和合并，可以直接得出。再假設有，使得，根據判斷出矛盾即得到不存在，使得?！并颉骋C明；把不等式兩邊和分別用題中的等式化為同一的函數值得形式，再證明不等式成立即可?！睮II〕由和〔Ⅱ〕中的不等式逐步推導即可。3.〔江蘇2023年16分〕按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件本錢為元，如果他賣出該產品的單價為元，那么他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，那么他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，那么他對這兩種交易的綜合滿意度為.現假設甲生產A、B兩種產品的單件本錢分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件本錢分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為學科.網(1)求和關于、的表達式；當時，求證：=；(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？學科(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適中選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由?！敬鸢浮拷猓骸?〕由題意，得，，〔〕?！弋敃r，。，∴=。〔2〕當時，，由，故當即時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為?！?〕由〔2〕知：=，由得：，令那么，∴。同理，由得：。另一方面，，，，∴，當且僅當，即=時，取等號。所以不能否適中選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立?！究键c】函數的概念，根本不等式，數學建模能力、抽象概括能力以及數學閱讀能力。【分析】〔1〕由直接求出和關于、的