三角單晶光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)與填充率的關(guān)系

1金屬光子晶體的特性光緒年間是一個周期性調(diào)整器結(jié)構(gòu)（或折射）。由于自身激發(fā)的自激輻射限制和光緒年間化性質(zhì)，光緒年間得到了簡單的限制和調(diào)節(jié)。Yablonovitch和John最早于1987年分別提出了光子晶體的概念。光子晶體的產(chǎn)生有著重大的科學(xué)意義。目前,光子晶體主要應(yīng)用在光通訊、激光器、光子器件等領(lǐng)域,現(xiàn)正在逐步向光計算方面發(fā)展。光子晶體分為很多種類型,從結(jié)構(gòu)上可分為一維、二維或三維周期結(jié)構(gòu);對于構(gòu)成材料來說,目前常見的是半導(dǎo)體介質(zhì)型,此外還包括金屬型和金屬介質(zhì)混合型。通常介質(zhì)型光子晶體,第一帶隙的上部和下底頻率的電場被高度集中在介質(zhì)棒和空氣中。而金屬光子晶體中,電場沒有被集中在金屬棒,帶邊模將它們的波的能量集中在空氣區(qū)(背景介質(zhì))。金屬型光子晶體與半導(dǎo)體介質(zhì)型相比,有很多優(yōu)良特性。首先,對E極化波來說,在零頻率和截止頻率之間有一個很寬的光子帶隙,而半導(dǎo)體介質(zhì)型不存在;其次,在微波波段,二維金屬光子晶體可用于性能優(yōu)良的濾波器、偏振器和反射器。由于金屬對電磁波的吸收非常小,接近完全反射,對電磁波的調(diào)控作用非常強(qiáng),因此金屬光子晶體器件的維度尺寸要比通常半導(dǎo)體介質(zhì)材料光子晶體要小得多,這在體積上來說具有一定的優(yōu)勢,更加有利于器件集成;另外,金屬光子晶體能承受更高的功率。金屬層厚幾百納米的一維金屬-介質(zhì)光子晶體對可見光傳輸?shù)目尚行砸驳玫搅死碚摵蛯?shí)驗上的證實(shí)。關(guān)于光子晶體帶隙特性的數(shù)值分析,目前有很多種方法,其中主要包括平面波展開法、時域矩陣法、時域有限差分法(FDTD)、空域有限差分法、周期矩量法(PMM)等。FDTD方法具有概念簡單,計算和存儲量較小,只與網(wǎng)格數(shù)目成正比,能模擬復(fù)雜的金屬和半導(dǎo)體介質(zhì)結(jié)構(gòu)等特點(diǎn),在電磁場分析和計算中得到了很廣泛的應(yīng)用。這種方法于1966年由Yee提出來,1995年,C.T.Chan等人把該方法用于計算光子晶體的能帶結(jié)構(gòu),Sakoda等人在2001年把FDTD推廣到金屬光子晶體。目前,對金屬光子晶體的研究相對較多的是一維的,二維的也基本上以正方形為晶格。2005年,王華娟等人采用時域有限差分方法,研究了太赫茲波在二維正方晶格金屬光子晶體中的傳播特性;2007年,楊光杰等人比較了不同金屬材料之間的帶隙差異;2009年,閆斌英等人研究了太赫茲波段金屬光子晶體的帶隙及缺陷特性。這些文獻(xiàn)對金屬光子晶體的設(shè)計和制作提供了很好的理論依據(jù),但全部基于正方晶格。本文應(yīng)用FDTD數(shù)值分析方法,設(shè)計了一種三角晶格的二維金屬光子晶體?？紤]金屬的色散特性,結(jié)合Ag和Al具體的材料參數(shù),給出了不同填充率下的帶隙結(jié)構(gòu)。計算結(jié)果表明,三角晶格金屬光子晶體比正方晶格具有更寬闊的第一帶隙和中心頻率更高的第二帶隙。此類功率型金屬光子晶體可用于提升和擴(kuò)展光子器件如濾波器、波導(dǎo)等的性能和應(yīng)用范圍。2dr法規(guī)則擬合中心由于三角晶格和正方晶格在工藝上相對容易實(shí)現(xiàn),因此本文所討論的結(jié)構(gòu)基于這兩種模型。圖1所示為三角晶格二維金屬光子晶體,金屬柱沿Y軸方向無限長,XZ平面內(nèi)為具有周期性的三角晶格陣列。金屬柱截面為圓形,直徑為R,晶格常數(shù)為a,背景為空氣,相對介電常數(shù)ε0=1。FDTD方法從麥克斯韋方程組出發(fā):?×E(r,t)=-μ0??tΗ(r,t)(1)?×Η(r,t)=??t{D0(r,t)+Ρd(r,t)}(2)式中,E(r,t),H(r,t)和μ0分別表示電場、磁場和自由空間的磁導(dǎo)率;Pd(r,t)表示振蕩偶極距,有:Pd(r,t)=μδ(r-r0)exp(-iωt)(3)式中,μ和r0分別表示偶極距的大小和位置;δ是單位沖擊函數(shù)。電位移矢量D0(r,t)通常表示成電場強(qiáng)度和介電響應(yīng)函數(shù)Φ(r,t)的卷積積分:D0(r,t)=ε0∫∞-∞dt′Φ(r,t-t′)E(r,t′)(4)式中,ε0是自由空間的介電常數(shù);Φ(r,t)為介電響應(yīng)函數(shù),它是介電常數(shù)的時域表達(dá)式,即頻域介電常數(shù)ε(r,ω)的傅里葉逆變換:Φ(r,t)=12π∫∞-∞dωε(r,ω)exp(-iωt)(5)Φ(r,t)在t<0時滿足:Φ(r,t)=0(6)金屬的介電常量滿足Drude模型:εm(r,ω)=ε∞[1-ω2p(ω+iδ)(ω+iγ)](7)式中,ε∞是在頻率足夠高的時候的介電常數(shù);ωp是金屬的等離子體頻率;γ是金屬的弛豫率;δ是一個正的無窮小量,引入它的目的是為計算Fourier積分時使實(shí)軸無極點(diǎn)。通過式(5)積分得到:Φ(r,t)=ε∞δ(t)+ε∞ω2pγ[1-exp(-γt)]θ(t)(8)式中,θ(t)為單位階躍函數(shù)。FDTD方法分離麥克斯韋方程式的差分形式為:Ηz|n+1/2i,j=Ηz|n-1/2i,j-Δtμi,j(Ey|ni,j+1-Ey|ni,jΔx)(9)Ηx|n+1/2i,j=Ηx|n-1/2i,j-Δtμi,j(Ey|ni,j+1-Ey|ni,jΔz)(10)Ey|n+1i,j=εi,j-σi,jΔt/2ΜEy|ni,j+ΔtΜ(Ηx|n+1/2i,j-Ηx|n+1/2i-1,jΔz-Ηz|n+1/2i,j-Ηz|n+1/2i,j-1Δx)(11)電磁場邊界條件滿足Bloch理論:E(r+α,t)=exp(ik·α)E(r,t)(12)H(r+α,t)=exp(ik·α)H(r,t)(13)式中,k為第一布里淵區(qū)波矢量;α為基元點(diǎn)陣矢量。3金屬光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)本文所討論的帶隙,全部針對于TM模式,也即電場方向平行于單個金屬柱所在的方向。晶格常數(shù)定為1μm,改變金屬柱直徑的大小,使填充率R/a從0.02變化到0.76,分析分別由兩種金屬Ag和Al構(gòu)成的三角晶格二維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)。Ag和Al的介電常量有如下的Drude模型參數(shù):Ag:ωp=2π×2175THz,γ=2π×4.35THzAl:ωp=2π×3570THz,γ=2π×19.4THz計算結(jié)果表明,金屬光子晶體對于TM模式來說存在一個截止頻率,也就是說從零到截止頻率這一個頻率段,TM模式是不能傳播的,以下簡稱為第一帶隙。金屬光子晶體對H極化波是透明的,不存在明顯的光子帶隙,所以金屬光子晶體對于TE模式來說,不存在這種特性。增大金屬柱的直徑,第一帶隙會隨著增寬,當(dāng)填充率超過某一個值時,在截止頻率之上將會出現(xiàn)第二個光子帶隙,以下簡稱第二帶隙。Ag和Al構(gòu)成的三角晶格二維金屬光子晶體的帶隙隨填充率的變化關(guān)系如圖2(a)、圖2(b)所示。圖3所示為常見的正方晶格金屬光子晶體。圖4(a)、圖4(b)分別為Ag和Al構(gòu)成的此類型光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)圖。Ag和Al構(gòu)成的光子晶體都在填充率f為某一值時出現(xiàn)第二帶隙,Ag的這個值大于Al。隨著填充率的增加,兩條光子帶隙都會增大,并且?guī)肚€的斜率也在變大,可以看出當(dāng)填充率趨向于1時,兩條光子帶隙將合并,并且變?yōu)闊o限寬。這是因為R/a增大,相鄰的金屬柱子將會相互接觸,形成金屬壁,阻止所有電磁波的傳播。這些計算結(jié)果與文獻(xiàn)繪制的帶隙曲線斜率變小,描述的第二帶隙“在f=0.6左右,三種光子晶體(Cu,Ag,Al)的禁帶都達(dá)到最大”,“在f=0.6～0.75之間禁帶寬度不變,保持最大值”并不一致。通過比較圖2和圖4,不難發(fā)現(xiàn)所設(shè)計的三角晶格二維金屬光子晶體比正方晶格擁有更寬闊的第一帶隙和中心頻率更高的第二帶隙。如表1所示,以Ag為例,當(dāng)填充率f=0.6時,正方晶格的第一帶隙歸一化頻率的上限為0.70,第二帶隙的范圍為0.84～1.06,帶隙結(jié)構(gòu)如圖5(a)所示,陰影部分為禁帶所在的區(qū)域。三角晶格的帶隙結(jié)構(gòu)如圖5(b)所示,相對于正方晶格而言,第一帶隙歸一化頻率的上限拓寬到0.90,第二帶隙的范圍提高到1.24～1.41,但是第二帶隙寬度減少了0.05。在光子晶體中,人們更感興趣的是缺陷的引入對電磁波傳播特性的影響,第一帶隙的展寬使得缺陷的引入更加方便,也有利于提升光子晶體器件如波導(dǎo)等的傳輸效率。由布拉格條件可知,光子帶隙處的電磁波波長與光子晶體的晶格常數(shù)相當(dāng),因此,要得到光子帶隙在紅外或可見光的光子晶體,晶格常數(shù)應(yīng)當(dāng)在微米或亞微米量級。受實(shí)際可用材料的特性和制備工藝的限制,普通光刻技術(shù)已很難達(dá)到制備要求,目前制備難度較大,成本較高。如果光子晶體工作在第二帶隙處,同一波長λ下,第二帶隙歸一化頻率α/λ的提高,相當(dāng)于光子晶體的周期α增大,使得光子晶體的工藝制作更加可行。為了進(jìn)一步印證計算結(jié)果的正確性,研究了電磁波在所設(shè)計的金屬光子晶體中的傳播特性。仍然以Ag材料填充率為0.6的正方晶格為例,在其中某一點(diǎn)放置激勵源,相距適中的另一點(diǎn)放置探測器。探測器接收到的信號是激勵源產(chǎn)生的電磁波通過該光子晶體傳播后得到的能量。得到探測器上的能量分布如圖6所示,陰影部分為探測器上能量為零的波段。圖6中陰影部分分為兩個區(qū)域,橫坐標(biāo)波長λ的范圍①為0.948～1.199μm和1.433～∞μm,也即為此光子晶體結(jié)構(gòu)中不能傳輸?shù)牟ㄩL范圍,也就是禁帶。前文通過時域有限差分方法計算得到的禁帶歸一化頻率α/λ范圍為0～0.70和0.84～1.06。由于晶格常數(shù)α=1μm,因此禁帶波長λ的范圍②為0.943～1.190μm和1.429～∞μm。比較波長范圍①和②,兩者吻合得很好。在實(shí)際光子晶體工藝制作時,填充率在0.25～0.8較合理,這個區(qū)間Al的光子禁帶比Ag稍寬。由于Al存在易氧化性,在空氣中極易生成厚度為數(shù)埃的氧化膜,電磁波在金屬材料中的趨膚深度也僅在納米甚至到亞埃的數(shù)量級,因此這層氧化物極易對通光特性造成影響。Ag存在材料價格較貴的