第17節(jié)三角形與全等三角形1．(2020·湘潭)如圖，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，則∠A＝(D)A．40°B．50°C．55°D．60°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2題圖))2．(2021·懷化)如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；再分別以M，N為圓心，大于eq\f(1,2)MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長交BC于點(diǎn)D.則下列說法正確的是(C)A．AD＋BD＜ABB．AD一定經(jīng)過△ABC的重心C．∠BAD＝∠CADD．AD一定經(jīng)過△ABC的外心3．(2021·陜西)如圖，點(diǎn)D，E分別在線段BC，AC上，連接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，則∠1的大小為(B)A．60°B．70°C．75°D．85°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))4．(2021·鹽城)將一副三角板按如圖方式重疊，則∠1的度數(shù)為(C)A．45°B．60°C．75°D．105°5．(2021·重慶)如圖，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一個(gè)條件，不能證明△ABC和△DCB全等的是(B)A．∠ABC＝∠DCBB．AB＝DCC．AC＝DBD．∠A＝∠Deq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))6．(2021·鹽城)工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個(gè)角．如圖，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別取OC＝OD，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C，D重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)M的射線OM就是∠AOB的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是(D)A．SASB．ASAC．AASD．SSS7．(2021·常州)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，則∠AED＝100°.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))8．(2021·齊齊哈爾)如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．(只需寫出一個(gè)條件即可)9．(2021·瀘州)如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE.證明：在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠A，,AB＝AC，,∠B＝∠C，))∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴AD＝AE，∴BD＝CE10．(2021·宜賓)如圖，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD.求證：△AOB≌△COD.證明：∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOB＝∠COD，,OB＝OD，))∴△AOB≌△COD(SAS)11．(2021·哈爾濱)如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D是對應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為(B)A．30°B．25°C．35°D．65°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))12．(2021·陜西)如圖，AB，BC，CD，DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A，C，E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是(A．6cmB．7cmC．6eq\r(2)cmD．8cm【點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性質(zhì)得到AM＝CM＝3，CN＝EN，在Rt△BCM中，根據(jù)勾股定理求出BM＝4，根據(jù)全等三角形判定證得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，進(jìn)而求出．13．(2021·婁底)如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若S△ABC＝1，則PE＋PF＝1．【點(diǎn)撥】連接AP，則S△ABC＝S△ACP＋S△ABP，依據(jù)S△ACP＝eq\f(1,2)AC·PF，S△ABP＝eq\f(1,2)AB·PE，代入計(jì)算即可得到PE＋PF＝1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))14．(2021·河北)如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖)，AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應(yīng)減少(填“增加”或“減少”)10度．【點(diǎn)撥】延長EF，交CD于點(diǎn)G，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求∠ACB，根據(jù)對頂角相等可得∠DCE，再由三角形內(nèi)角和定理的推論得到∠DGF的度數(shù)；利用∠EFD＝110°和三角形的外角的性質(zhì)可得∠D的度數(shù)，從而得出結(jié)論．15．(2021·長沙)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使得CE＝CA，連接AE.(1)求證：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．解：(1)在△ADB和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,∠ADB＝∠ADC，,BD＝CD，))∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠ACB(2)在Rt△ADB中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(52－42)＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴DE＝CD＋CE＝8，BE＝BD＋DE＝11，在Rt△ADE中，AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，∴C△ABE＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4eq\r(5)＝16＋4eq\r(5)，S△ABE＝eq\f(1,2)BE·AD＝eq\f(1,2)×11×4＝2216．(2021·福建)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊BC上，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長線上．(1)求證：∠ADE＝∠DFC；(2)求證：CD＝BF.證明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF＋∠DFC＝90°，∵△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，∴∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE＋∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC(2)連接AE，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四